Меню

Как найти высоту призмы треугольной через объем



Треугольная призма все формулы и примеры задач

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы .

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как Sбок=Pосн . h, то получим:

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы :

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см 2 , то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см 3 . Если площадь основания в мм 2 , то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм 3 и т. д.

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Формулы по математике для ЕГЭ и ОГЭ

Шар и сфера, объем шара, площадь сферы, формулы

Источник статьи: http://novstudent.ru/treugolnaya-prizma-vse-formulyi-i-primeryi-zadach/

Объем призмы и другие ее характеристики

Перед вами иллюстрированный гид о призме.

В картинках. С пояснениями к формулам. С примерами.

Определение, виды призм, высота, площадь, объем призмы – все, все, все!

Читайте и делитесь впечатлениями в комментариях!

Призма – коротко о главном

Определение призмы:

Призма – это многогранник, две грани которого (основания) – равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани – параллелограммы.

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

Параллелепипед – это призма, основанием которой является параллелограмм.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Другие призмы называются наклонными.

Правильная призма – это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы – равные прямоугольники.

Объем призмы

Главная формула объема призмы:
( displaystyle V=S<< >_<основания>>cdot text),
где ( <>_<основания>>) – площадь основания,
( H) – высота.

Необычная формула объема призмы:
( text=<>_>cdot l),
где ( <>_>) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

Заходите и готовьтесь к ЕГЭ.

Что такое призма

Давай ответим сперва картинками:

Смотри: у призмы сверху и снизу два одинаковых многоугольника – они называются основаниями.

Остальные грани называются боковыми.

Плоскости оснований параллельный. Боковые грани – параллелограммы.

Смотри: бывают рёбра основания и боковые рёбра.

Все боковые рёбра призмы равны и параллельны.

  • Если в основании призмы лежит треугольник, то призма называется треугольной, если четырёхугольник, то четырёхугольной и т.д.;
  • Бывают и десятиугольные, и двадцатиугольные призмы, но, к счастью, не в твоих задачах;
  • А тебе будут встречаться чаще всего треугольные, четырёхугольные и шестиугольные призмы.

Думаю, теперь мы можем дать более строгое определение призмы.

Определение призмы

Призма — многогранник, две грани которого (основания) — равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковые грани — параллелограммы.

Призма, основанием которой является параллелограмм, называется параллелепипедом.

Прямая призма – это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.

Другие призмы называются наклонными.

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Высота призмы

Высота призмы – перпендикуляр, опущенный из одной из вершин призмы на плоскость противоположного основания.

И ясно, что та же самая высота получится, если опустить перпендикуляр из любой точки на верхней плоскости.

Объем призмы

Главная формула объема призмы

Необычная формула объема призмы

( text=<>_>cdot l),
где ( <>_>) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,
( l) – длина бокового ребра.

Площадь призмы

Прямая призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, то призма называется прямой.

Свойства прямой призмы:

  • Все боковые грани прямоугольники;
  • Все сечения, проходящие через боковые рёбра, – прямоугольники;
  • Даже сечения, проходящие только через одно боковое ребро, – прямоугольники;
  • У прямой призмы высота совпадает с боковым ребром.

Правильная призма

Если боковые рёбра призмы перпендикулярны основанию, а в основании лежит правильный многоугольник, то призма называется правильной.

То есть правильная призма – это прямая призма, у которой в основании правильный многоугольник.

Тебе, скорее всего, может встретиться:

Правильная треугольная призма – в основании правильный треугольник, боковые грани – прямоугольники.

Правильная четырёхугольная призма – это ещё и разновидность прямоугольного параллелепипеда – в основании квадрат, боковые грани – прямоугольники.

Правильная шестиугольная призма – в основании правильный шестиугольник, боковые грани – прямоугольники.

Главная формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то ( H) «превращается» в боковое ребро. И тогда

( displaystyle V=S<< >_<основания>>cdot боковое ребро)

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы:

( <>_>) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Объем правильной треугольной призмы

Пусть дано, что сторона основания равна ( a), а боковое ребро равно ( b).

Вспомним, как находить площадь правильного треугольника:

Подставляем в формулу объёма:

Объем правильной четырёхугольной призмы

Опять дано: сторона основания равна ( a), боковое ребро равно ( b).

Ну, площадь квадрата долго искать не надо:

Объем правильной шестиугольной призмы

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Площадь поверхности призмы

Площадь боковой поверхности призмы – сумма площадей всех боковых граней.

Нет, в общем случае нет. Просто нужно искать площади боковых граней и суммировать их.

Площадь полной поверхности призмы – сумма площадей всех граней.

Формулу можно написать для прямой призмы:

( displaystyle <>_<боков.>>=textcdot text

), где ( displaystyle P) – периметр основания.

Но всё-таки гораздо проще в каждом конкретном случае сложить все площади, чем запоминать дополнительные формулы.

Для примера посчитаем полную поверхность правильной шестиугольной призмы

Пусть сторона основания равна ( displaystyle a), а боковое ребро равно ( displaystyle b).

Открыть ответы…

Чтобы открыть все задачи учебника, закрытые голубыми баннерами (как этот), зарегистрируйтесь один раз:

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

Добавить комментарий Отменить ответ

5 комментариев

Тут всё понятно,впервые начинаю понимать стереометрию

Когда читаю теорию этого учебника, такое ощущение, что я разговариваю с другом. Настолько все просто и приятно. Сказать, что я влюбилась в этот материал, ничего не сказать. Спасибо вам!

Бася, вы нас растрогали таким комментарием. Спасибо большое! Удачи на экзамене!

Некоторые комментарии прошлых лет об этой статье:

Илья
26 ноября 2017
Огромное вам спасибо за созданный сайт, он очень удобен и информативен. Мне сложно представить какое количество времени было потрачено на “переработку” материала в понятном и доступном виде.Теперь есть источник чистых знаний, без лишней “воды”, который не только помогает узнать новое, но и систематизировать информацию в голове. Жаль, что я не нашел сайт раньше. Вы лучшие!

Дмитрий
21 февраля 2018
Сайт отличный!Все подробно описано. Никогда не понимал эту тему, но благодаря создателям этого сайта я наконец понял эту тему. Спасибо вам за ваши труды. Очень вам благодарен.

Regina
29 марта 2018
Аааааааа,это просто лучшее. Никогда не разбиралась в геометрии…Готовясь к зачету искала все сайты на эту тему. Нашла вас. Ввы все объяснили просто и доступно. Спасибо большое!

Настя
21 мая 2018
Красивый сайт, ничего глаза не режет, смотреть и читать приятно.

Женя
27 февраля 2019
можете указать свои инициалы? мне это для проекта надо)

Анна
29 апреля 2019
Преподнесено очень понятным языком, с наглядными картинками, спасибо) Хотелось бы хоть пример одной задачи и решение чтобы было открыто бесплатно, чтобы понять на сколько хорошо поясняете, но я думаю все ок.

Жанна
27 апреля 2020
Спасибо! Я — учитель и мне очень понравилось!

Николай
04 июня 2020
Все очень доступно и понятно. Только вот не написано в статье про диагональ призмы. А так все просто супер, подготовился к сессии по данному материалу 🙂

Алексей Шевчук
05 июня 2020
Николай, спасибо. Диагонали в разных призмах разные, а в треугольной её и вовсе нет, поэтому длина диагонали – частный случай, а не какая-то полезная формула. Стоит рассмотрения разве что диагональ прямоугольного параллелепипеда – она вычисляется по теореме Пифагора и равна корню из суммы квадратов рёбер.

Источник статьи: http://youclever.org/book/prizma-1/

Геометрические фигуры

Объём призмы

Формула. Объём правильной прямой призмы через высоту ( h ), длину стороны ( a ) и количество сторон ( n ):

V = n ha 2 ctg π
4 n

Что такое треугольная призма?

Перед тем как приводить формулу объема треугольной призмы, рассмотрим свойства этой фигуры.

Чтобы получить этот вид призмы, необходимо взять треугольник произвольной формы и параллельно самому себе перенести его на некоторое расстояние. Вершины треугольника в начальном и конечном положении следует соединить прямыми отрезками. Полученная объемная фигура называется треугольной призмой. Она состоит из пяти сторон. Две из них называются основаниями: они параллельны и равны друг другу. Основаниями рассматриваемой призмы являются треугольники. Три оставшиеся стороны – это параллелограммы.

Помимо сторон, рассматриваемая призма характеризуется шестью вершинами (по три для каждого основания) и девятью ребрами (6 ребер лежат в плоскостях оснований и 3 ребра образованы пересечением боковых сторон). Если боковые ребра перпендикулярны основаниям, то такая призма называется прямоугольной.

Отличие треугольной призмы от всех остальных фигур этого класса заключается в том, что она всегда является выпуклой (четырех-, пяти-, …, n-угольные призмы могут также быть вогнутыми).

Правильная треугольная призма – это прямоугольная фигура, в основании которой лежит равносторонний треугольник.

Формула объема треугольной призмы правильной

Многогранник, который мы изучаем, будет правильным, если две его грани являются одинаковыми треугольниками равносторонними и три грани — это одинаковые прямоугольники. Формулу для объема такой призмы несложно получить из выражения общего вида, записанного в пункте выше. Чтобы это сделать, рассчитаем сначала площадь основания:

So = 1 / 2 × ha × a = 1 / 2 × √3 / 2 × a × a = √3 / 4 × a2

Значение высоты треугольника ha получено, исходя из того факта, что для равностороннего основания она является также медианой и биссектрисой. Таким образом, площадь So является функцией только одного параметра (стороны a).

Формулу объема для изучаемой призмы можно получить, если умножить на высоту выражение выше:

Поскольку для рассматриваемой фигуры высота равна длине бокового ребра b, то полученное выражение также можно переписать через параметры a и b.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A1B1C1 являются основаниями призмы .

Четырехугольники A1B1BA, B1BCC1 и A1C1CA являются боковыми гранями призмы .

Стороны граней являются ребрами призмы (A1B1, A1C1, C1B1, AA1, CC1, BB1, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Найти объем призмы, зная площадь основания и высоту

Найти объем правильной треугольной призмы, зная ребра

Объем правильной фигуры через значение ее диагонали

Треугольная призма является самой простой фигурой из своего класса, поэтому она обладает всего одним единственным типом диагонали. Это диагонали трех ее параллелограммов.

Предположим, что имеется правильная фигура, диагональ которой равна d (это диагональ прямоугольника), а высота равна h. Как рассчитать ее объем?

Для начала следует определить значение стороны основания a. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:

Тогда формула объема треугольной призмы приобретает вид:

V = √3 / 4 × a2 × h = √3 / 4 × (d2 — h2) × h

В случае правильной призмы объем всегда является функцией двух параметров (h и d в данном выражении).

Виды призм

  • Прямая призма – это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
  • Наклонная призма – это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
  • Правильная призма – это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
  • Усечённая призма – это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Вычисление объема правильной пятиугольной призмы

  • Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь . [5]

  • А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
  • А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см 2 .

  • 105 см 2 x 10 см = 1050 см 3 .

Формула вычисления объема призмы

Объем призмы равняется произведению площади ее основания на высоту.

  • Sосн – площадь основания, т.е. в нашем случае – четырехугольника ABCD или EFGH (равны между собой);
  • h – высота призмы.

Приведенная выше формула подходит для следующих видов призм:

  • прямой – боковые ребра перпендикулярны основанию;
  • правильной – прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник;
  • наклонной – боковые ребра расположены под углом по отношению к основанию.

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

– площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Давай теперь для упражнения посчитаем объём самых популярных призм.

Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

Вычисление объема трапецеидальной призмы

  • Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
  • 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см 2 .

  • 70 см 2 x 12 см = 840 см 3 .

Основные свойства призмы

  • Основание призмы – равные многоугольники
  • Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
  • Боковые грани призмы – параллелограммы
  • Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
  • В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Объем треугольной призмы общего типа

Как найти объем треугольной призмы? Формула в общем виде аналогична таковой для призмы любого вида. Она имеет такую математическую запись:

Здесь h – это высота фигуры, то есть расстояние между ее основаниями, So – площадь треугольника.

Величину So можно найти, если известны некоторые параметры для треугольника, например одна его сторона и два угла или две стороны и один угол. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину стороны, на которую опущена эта высота.

Что касается высоты h фигуры, то ее проще всего найти для прямоугольной призмы. В последнем случае h совпадает с длиной бокового ребра.

Площадь поверхности призмы

Формула. Площадь поверхности правильной призмы через высоту ( h ), длину стороны ( a ) и количество сторон ( n ):

S = n a 2 ctg π + nah
2 n

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Объем прямой фигуры с прямоугольным треугольником в основании

Прямоугольный треугольник представляет собой фигуру из трех сторон, две из которых пересекаются под прямым углом. Эти стороны называются катетами. Обозначим их a1 и a2. Третья сторона называется гипотенузой (a3). Из планиметрии известно каждому школьнику, что если взять половину произведения катетов, то можно получить площадь рассматриваемого треугольника, то есть:

Так как призма является прямой, то достаточно умножить на So длину ее бокового ребра b, чтобы получить объем фигуры:

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Источник статьи: http://exceltut.ru/geometricheskie-figury/

Призма

Призма

Призма – это многогранник, состоящий из двух равных многоугольников, расположенных в параллельных плоскостях, и $n$-го количества параллелограммов.

Многоугольники $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ – называются основаниями призмы.

Параллелограммы $АА_1В_1В, ВВ_1С_1С$ и т.д.- боковыми гранями.

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы.

Если боковые ребра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае – наклонной. Высота прямой призмы равна ее боковому ребру.

Формулы вычисления объема и площади поверхности призмы:

Чтобы были понятны формулы, введем обозначения:

$S_<бок>$ — площадь боковой поверхности;

$S_<п.п>$ — площадь полной поверхности;

В основании призмы могут лежать различные многоугольники, рассмотрим площади некоторых из них.

В основании лежит треугольник.

  1. $S=/<2>$, где $h_a$ — высота, проведенная к стороне $а$
  2. $S=/<2>$, где $a,b$ — соседние стороны, $α$ — угол между этими соседними сторонами.
  3. Формула Герона $S=√$, где $р$ — это полупериметр $p=/<2>$
  4. $S=p·r$, где $r$ — радиус вписанной окружности
  5. $S=/<4R>$, где $R$ — радиус описанной окружности
  6. Для прямоугольного треугольника $S=/<2>$, где $а$ и $b$ — катеты прямоугольного треугольника.

В основании лежит четырехугольник

1. Прямоугольник

$S=a·b$, где $а$ и $b$ — смежные стороны.

2. Ромб

$S=/<2>$, где $d_1$ и $d_2$ — диагонали ромба

$S=a^2·sin⁡α$, где $а$ — длина стороны ромба, а $α$ — угол между соседними сторонами.

3. Трапеция

$S=<(a+b)·h>/<2>$, где $а$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции.

Прямая призма называется правильной, если ее основания – правильные многоугольники.

Рассмотрим площади правильных многоугольников:

1. Для равностороннего треугольника $S=/<4>$, где $а$ — длина стороны.

$S=a^2$, где $а$ — сторона квадрата.

3. Правильный шестиугольник

Шестиугольник разделим на шесть правильных треугольников и найдем площадь как:

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными $10$ и $24$, а её боковое ребро равно $20$.

Построим прямую призму, в основании которой лежит ромб.

Распишем формулу площади полной поверхности:

В прямой призме высота равна боковому ребру, следовательно, $h=С_1С=20$

Чтобы найти периметр основания, надо узнать сторону ромба. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, получившихся, при пересечении диагоналей и воспользуемся теоремой Пифагора.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому катеты прямоугольного треугольника равны $5$ и $12$.

Теперь найдем площадь основания: площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

Далее подставим все найденные величины в формулу полной поверхности и вычислим ее:

Цилиндр — это та же призма, в основании которой лежит круг.

Подобные призмы: при увеличении всех линейных размеров призмы в $k$ раз, её объём увеличится в $k^3$ раз.

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине.

$MN$ — средняя линия, так как соединяет середины соседних сторон.

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны, а стороны одного треугольника больше сходственных сторон другого треугольника в некоторое число раз.

Число $k$ — коэффициент подобия (показывает во сколько раз стороны одного треугольника больше сторон другого треугольника.)

  1. Периметры подобных треугольников и их линейные величины (медианы, биссектрисы, высоты) относятся друг к другу как коэффициент подобия $k$.
  2. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Прямоугольный треугольник и его свойства:

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$

Для острого угла $В: АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А: ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом (sin) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом (cos) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом (tg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом (ctg) острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  6. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  7. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ $<1>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<√3>/<2>$
$cosα$ $<√3>/<2>$ $<√2>/<2>$ $<1>/<2>$
$tgα$ $<√3>/<3>$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ $<√3>/<3>$

Теорема синусов

Во всяком треугольнике стороны относятся как синусы противолежащих углов:

Теорема косинусов

Квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними:

Источник статьи: http://examer.ru/ege_po_matematike/teoriya/pizma

Призма

На этой странице вы узнаете

  • Чем упаковка стикеров похожа на призму?
  • Как можно попасть в призму в реальной жизни?
  • Как сложить игральные кости из листа бумаги?
  • Как найти объем воды в аквариуме?

Слышали такое выражение «смотреть сквозь призму чего-либо»? Оно значит ситуацию, в которой мы воспринимаем что-либо под влиянием каких-то убеждений или представлений. Замысловато, конечно… Возможно, потому что и сама призма — непростое понятие. Давайте разберемся с ней с точки зрения математики.

Определение призмы

Многие из нас пользуются стикерами. Для записи своих дел, для закладок, для пометок при ведении конспектов. Даже если мы ими не пользуемся, то наверняка видели их в магазинах или у родственников и друзей.

Один такой стикер можно принять за плоскость. Теперь вспомним, как выглядит упаковка с ними. Много-много стикеров накладываются друг на друга и получается небольшая объемная фигура, сверху и снизу которой лежат два абсолютно одинаковых листа. При этом сразу заметим, что нижний и верхний стикеры будут параллельны друг другу.

На самом деле, упаковка со стикерами является не чем иным, как призмой!

Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами.

Чем упаковка стикеров похожа на призму?

Упаковка стикеров является объемной фигурой, в основаниях которой лежат равные прямоугольники. А боковые стороны упаковки являются параллелограммом. Таким образом, упаковка стикеров полностью соответствует определению призмы.

Определение может показаться немного запутанным, но в нем нет ничего страшного. Разберемся, поближе взглянув на составные призмы.

Строение призмы

Представим себе обычную коробку. Ее дно и крышка равны между собой и лежат в параллельных плоскостях. Это и есть равные многоугольники. Также их называют основаниями призмы.

Посмотрим на стенки коробки. Они являются параллелограммами, просто с прямыми углами. Подробнее про параллелограммы можно прочитать в статье «Параллелограмм». Эти параллелограммы называются боковыми гранями призмы.

Возьмем линейку и измерим расстояние между основаниями призмы. Для этого из любой точки одного основания проведем перпендикуляр к другому.

Подробнее про расстояния между плоскостями можно узнать в статьях «Углы в пространстве» и «Расстояния между фигурами».

Может возникнуть вопрос, что мы сейчас нашли? Мы нашли высоту призмы.

Высота призмы — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на другое основание призмы.

В задачах намного удобнее опускать перпендикуляр не из произвольной точки, а из вершины призмы.

Рассмотрим элементы призмы.

Ребро — это линия пересечения двух плоскостей.

Представим, что вместо картонных стенок в нашей коробке ткань, которую нам нужно натянуть на каркас так, чтобы коробка не изменилась. В этом случае все прямые этого каркаса и будут ребрами.

Ребра бывают двух видов:

Отличить их также легко: ребра основания являются стороной многоугольника, который в нем лежит, в то время как боковые ребра не принадлежат основаниям.

У боковых ребер есть одно очень важное свойство: они равны между собой и параллельны.

Диагональ призмы — отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Например, мы можем взять клетку попугая и от угла до угла сделать ему жердочку, чтобы птичке было весело жить. Эта жердочка и будет диагональю призмы.

Виды призм

Вернемся к рассуждениям о том, чем упаковка стикеров похожа на призму. Например, куб и параллелепипед будут отличаться. А если в основании призмы будет лежать треугольник или шестиугольник? Или двадцатиугольник? Разделим призмы на несколько видов.

Мы рассмотрим две классификации.

В первом случае будем рассматривать призмы по фигурам, которые лежат в основании. В многоугольнике может быть множество сторон, а значит, и в основании призмы может быть треугольник, четырехугольник, шестиугольник, десятиугольник и так далее.

В зависимости от фигуры в основании призмы могут называться по-разному. Вот три основных, которые чаще всего встречаются при решении заданий:

Аналогичным образом можно дать название любой призме, например, десятиугольная призма или стоугольная призма.

В определении призмы сказано, что в боковых гранях лежат параллелограммы. До этого мы чертили только прямоугольники, но в боковых гранях могут лежать не только они.

С этим связана вторая классификация призм. По этому признаку призмы делятся всего на два вида:

Разберемся в них чуть подробнее.

Прямая призма — призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.

В этом случае боковые ребра и ребра оснований действительно образовывают прямоугольник.

Наклонная призма — призма, боковые ребра которой находятся под углом к основаниям.

Где мы можем найти прямые и наклонные призмы? Оказывается, в архитектуре. Обычный жилой дом типовой застройки будет прямой призмой. А вот примером наклонной призмы может служить комплекс зданий “Ворота Европы” в Мадриде.

Чуть подробнее остановимся на прямых призмах. Они встречаются достаточно часто и обладают несколькими важными свойствами.

Посмотрите на свою комнату. Если по плану квартиры она будет многоугольником, то вы как бы сидите в призме. Теперь ответим на вопрос: как найти высоту комнаты?

Простой ответ: померить по стене. А если посмотреть на угол, то можно заметить, что ребро призмы совпадает с высотой. Таким образом, мы получаем первое свойство прямых призм.

Свойство 1. Высота прямой призмы совпадает с её боковым ребром.

Посмотрим на стены комнаты, на их форму. Они все являются прямоугольниками, верно?

Свойство 2. Все боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

Как можно попасть в призму в реальной жизни?

Многие комнаты и помещения, особенно в типовой застройке, обладают формой призмы. Сидя в комнате, в классе, в столовой, даже в автобусе — мы как бы находимся внутри большой призмы.

Если мы в основании прямой призмы разместим правильный многоугольник, у нас получится правильная призма.

Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.

Например, в правильной треугольной призме будет лежать равносторонний треугольник, а в правильной шестиугольной призме — правильный шестиугольник.

Определение параллелепипеда

Еще одной разновидностью прямоугольной призмы является параллелепипед.

Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами.

Параллелепипеды встречаются повсюду: коробки, мебель, комнаты, здания, склады, магазины. Поэтому изучить их не составит труда.

Свойство параллелепипеда, видимое невооруженным глазом: противоположные грани параллелепипеда равны. Как пример, вспомним ту же комнату: потолок и пол равны, так же как и стены, находящиеся напротив друг друга.

Нельзя не упомянуть про одно очень важное свойство параллелепипеда:

  • Все его диагонали пересекаются в одной точке и этой точкой делятся пополам. Это свойство справедливо для всех видов параллелепипеда.

Какие бывают параллелепипеды?

Параллелепипеды также бывают прямыми и наклонными. В этих случаях все определения такие же, как и для всех остальных призм.

Прямой параллелепипед

Рассмотрим несколько интересных свойств прямого параллелепипеда.

1 свойство. Боковые ребра прямого параллелепипеда перпендикулярны основаниям.

2 свойство. Высота прямоугольного параллелепипеда равна длине его бокового ребра.

3 свойство. Боковые грани, которые лежат напротив друг друга, равны между собой и являются прямоугольниками.

Прямые параллелепипеды можно разделить еще на два вида:

  • Прямой параллелепипед: в основании лежит параллелограмм;
  • Прямоугольный параллелепипед: в основании лежит прямоугольник.

Рассмотрим свойства прямоугольного параллелепипеда.

1 свойство. Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

2 свойство. Все углы в прямоугольном параллелепипеде, образованные двумя гранями, равны 90°.

3 свойство. Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин его ширины, длины и высоты.

Таким образом, мы получаем важную формулу для параллелепипеда.

Пример 1. Дан прямоугольный параллелепипед. Два ребра, выходящие из одной его вершины, равны (sqrt<35>) и (sqrt<46>). Диагональ параллелепипеда равна 15. Найдите третье ребро параллелепипеда.

Решение. Пусть третье ребро параллелепипеда равняется х. Получаем уравнение:

(15^2 = (sqrt<35>)^2 + (sqrt<46>)^2 + x^2)
225 = 35 + 46 + x 2
x 2 = 144
x = 12

У прямоугольного параллелепипеда существует еще несколько видов. Прямоугольные параллелепипеды делятся на:

  • Произвольный прямоугольный параллелепипед. В основании может лежать прямоугольник.

  • Правильный прямоугольный параллелепипед. В основании лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат.
    При этом боковые ребра не равны ребрам основания. Следовательно, в основаниях будут лежать квадраты, а в боковых гранях прямоугольники.
  • Куб. В основании лежит квадрат, а боковые ребра равны ребрам основания.
    В кубе все ребра равны, а все его грани будут квадратом.

Таким образом, мы рассмотрели все виды параллелепипеда.

Формулы для призмы

Однако ни одна задача не может быть решена без формул. Поэтому необходимо рассмотреть несколько основных формул, которые могут встретиться не только в задачах, но и в жизни.

Немного вспомним моделирование, а именно развертку кубика. Мы знаем, что из листа бумаги без труда можно сложить кубик, если правильно его вычертить.

Как сложить игральные кости из листа бумаги?

Задумали вы вечером сыграть с семьей или друзьями в настольную игру. Но вот незадача: игральные кости опять куда-то запропастились. Не беда.Достаточно вычертить на листе бумаги несколько квадратов, вырезать получившуюся фигуру, согнуть по ребрам и склеить между собой с помощью клея. В итоге получатся кубики для игры.

На рисунке оранжевым показаны основания, а желтым боковые грани нашего будущего кубика. А теперь представим, что нам нужно найти площадь боковой поверхности. Как это сделать?

Нужно найти площади желтых квадратиков и сложить их.

Площадь боковой поверхности призмы — сумма площадей всех боковых ее граней.

Единой формулы тут нет, поскольку призмы могут очень сильно отличаться друг от друга. В произвольных призмах придется считать площадь каждой боковой грани, а уже после их складывать.

Но есть один фокус! Правда, он работает только для прямой призмы. Если по условию дана прямая призма, то можно воспользоваться формулой

В этой формуле Р — периметр основания, h — высота призмы, которая совпадает с высотой боковой грани.

Пример 1. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равняется 2, а высота 10.

Шаг 1. Поскольку правильная призма по определению прямая, мы можем воспользоваться формулой S = Ph.

Шаг 2. В основании правильной призмы лежит правильный шестиугольник, следовательно, периметр основания будет равен 6 * 2 = 12.

Шаг 3. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 12 * 10 = 120.

Пример 2. Дана прямая треугольная призма, в основании которой лежит прямоугольный треугольник с катетами 12 и 5. Высота призмы равна 13. Найдите площадь ее боковой поверхности.

Шаг 1. Поскольку призма прямая, можно воспользоваться формулой S = Ph.

Шаг 2. Найдем периметр основания. Для этого необходимо найти гипотенузу треугольника. Воспользуемся теоремой Пифагора: (sqrt <12^2 + 5^2>= sqrt <144 + 25>= sqrt <169>= 13).

Шаг 3. Найдем периметр основания: P = 12 + 5 + 13 = 30.

Шаг 4. Осталось найти только площадь боковой поверхности. Подставляем данные в формулу и получаем: S = 30 * 13 = 390.

Мы научились находить площадь боковой поверхности. А как найти всю площадь призмы? Вспомним нашу развертку с кубиком. Чтобы найти всю площадь кубика, нужно найти площадь всех квадратов, из которых он состоит. То есть и площадь боковой поверхности, и площадь оснований.

Площадь полной поверхности призмы — сумма площадей всех граней.

Следовательно, нам нужно сложить площади всех боковых граней и дважды площадь основания. Получаем следующую формулу.

Вспомним обычный хлеб, черный или белый. Его форма очень приближена к параллелепипеду. Тогда его корочка будет площадью полной поверхности параллелепипеда. А все что внутри, то есть мякиш, можно принять за объем.

Пример 3. Дана прямая призма, в основании которой лежит ромб с диагоналями 12 и 16. Боковое ребро призмы равно 25. Найдите площадь поверхности призмы.

Шаг 1. Найдем площадь основания. Площадь ромба можно найти по формуле (frac<1> <2>* D_1 * D_2). Следовательно, площадь ромба равна (frac<1> <2>* 12 * 16 = 96).

Шаг 2. Заметим, что диагонали ромба образуют четыре равных прямоугольных треугольника. Следовательно, чтобы найти сторону ромба, достаточно рассмотреть прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора сторона ромба будет равна (sqrt <6^2 + 8^2>= sqrt <36 + 64>= sqrt <100>= 10).

Шаг 3. Периметр ромба будет равен 4 * 10 = 40. Тогда площадь боковой поверхности равна 40 * 25 = 1000.

Шаг 4. Площадь полной поверхности будет равняться 1000 + 2 * 96 = 1000 + 192 = 1192.

Ответ: 1192

Пример 4. Площадь поверхности правильной четырехугольной призмы равняется 1980. Сторона основания равна 5. Найдите боковое ребро этой призмы.

Шаг 1. Воспользуемся формулой S = Sбок + 2Sосн. Площадь основания будет равняться площади квадрата, то есть 5 * 5 = 25.

Шаг 2. Подставим известные величины в формулу:

Шаг 3. Площадь боковой поверхности равна произведению периметра основания на высоту призмы. Периметр равен 5 * 4 = 20. Тогда получаем уравнение:

Шаг 4. Поскольку по условию дана правильная призма, то высота совпадает с боковым ребром. Следовательно, боковое ребро равняется 96,5.

Теперь рассмотрим, как найти объем призмы. Допустим, мы налили в прямоугольный аквариум немного воды. Как определить, сколько воды мы налили?

Для этого достаточно воспользоваться формулой объема призмы.

Эта формула общая, однако для каждой призмы она может принять свой вид в зависимости от того, какую формулу нужно использовать для поиска площади основания или высоты.

Например, чтобы найти объем воды в аквариуме, необходимо длину умножить на ширину и на высоту, а значит формула принимает вид V = abh.

Как найти объем воды в аквариуме?

Для этого достаточно перемножить ширину, длину аквариума и высоту воды. Тем самым мы найдем объем призмы, форму которой принимает вода в аквариуме.

Пример 5. Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с катетами 12 и 15. Боковое ребро призмы равно 4. Найдите объем этой призмы.

Шаг 1. Для начала найдем площадь основания. В этом случае мы можем воспользоваться формулой (frac<1><2>ab). Площадь равна (frac<1> <2>* 12 * 15 = 90).

Шаг 2. Воспользуемся формулой объема призмы и подставим известные величины:

Пример 6. Дан сосуд, в основании которого лежит правильный треугольник. В этот сосуд налили 3000 см 3 воды. Высота жидкости оказалась равной 10 см. После этого в сосуд опустили шарик и высота изменилась с 10 см на 14 см. Найдите объем шарика.

Решение. Немного вспомним физику, а именно тот факт, что объем вытесненной жидкости равен объему тела. Значит, чтобы найти объем шарика, необходимо найти насколько изменился объем воды.

Шаг 1. Найдем площадь основания сосуда. Для этого немного преобразуем формулу объема:
(S = frac)
Тогда:
(S = frac<3000> <10>= 300)

Шаг 2. А теперь найдем объем после того, как в воду погрузили шарик. Он будет равен 300 * 14 = 4200.

Шаг 3. Объем вытесненной жидкости равен 4200 — 3000 = 1200.

Ответ: 1200.

Мы рассмотрели основные формулы, которые применяются для решения задач. Стоит заметить, что они универсальны, и в каждой задаче их рационально преобразовывать под ситуацию.

Фактчек

  • Призма — это многогранник, в котором две грани являются равными многоугольниками и лежат в параллельных плоскостях, а все остальные — параллелограммами. Равные многоугольники называются основаниями призмы, а остальные стороны — боковыми гранями. В призме есть ребра — линии пересечения двух ее граней. Ребра как бы образуют каркас призмы.
  • Призмы можно разделить на несколько видов по тому, какая фигура лежит в основании: треугольник, четырехугольник, шестиугольник или любой другой многоугольник. Призмы бывают прямые и наклонные. В прямых призмах боковые ребра перпендикулярны основанию, а в наклонных — нет. Правильная призма — прямая призма, в основании которой лежит правильный многоугольник.
  • Параллелепипед — это четырехугольная призма, все грани которой являются параллелограммами. Параллелепипеды бывают наклонными и прямыми. Прямые параллелепипеды включают в себя прямоугольные параллелепипеды, которые, в свою очередь, делятся на произвольные, правильные и кубы.
  • В призме можно найти площадь боковой поверхности, площадь полной поверхности и объем. Для каждого из этих случаев необходимо пользоваться формулами.

Проверь себя

Задание 1.
Что такое диагональ призмы?

  1. Отрезок, соединяющий две соседние вершины в призме.
  2. Отрезок, соединяющий противоположные углы в боковой грани призмы.
  3. Отрезок, соединяющий противоположные углы в основании призмы.
  4. Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани.

Задание 2.
Что такое прямая призма?

  1. Призма, боковые ребра которой перпендикулярны основаниям.
  2. Призма, боковые ребра которой расположены под острым углом относительно основания.
  3. Призма, боковые ребра которой расположены под тупым углом относительно основания.
  4. Призма, в основании которой лежит прямоугольник.

Задание 3.
Как найти высоту прямой призмы?

  1. Высоту нужно найти с помощью оснований.
  2. Высота совпадает с боковым ребром.
  3. Необходимо найти расстояние между двумя вершинами, не принадлежащими одной грани.
  4. В прямой призме невозможно найти высоту.

Задание 4.
Какая фигура лежит в основании прямоугольного параллелепипеда?

  1. Параллелограмм с острыми углами.
  2. Ромб с острыми углами.
  3. Трапеция.
  4. Прямоугольник.

Задание 5.
Как найти площадь полной поверхности призмы?

  1. Нужно найти сумму площадей всех боковых граней.
  2. Нужно сложить площадь боковой поверхности и площадь основания.
  3. Нужно сложить площадь боковой поверхности и удвоенную площадь основания.
  4. Нужно сложить площади оснований.

Ответы: 1. — 4 2. — 1 3. — 2 4. — 4 5. — 3

Источник статьи: http://umschool.net/library/matematika/prizma/

Формулы призма

Для расчёта всех основных параметров призма воспользуйтесь калькулятором.

Виды призм

  • Прямая призма — это призма, в которой все боковые грани перпендикулярны к основанию. Высота равна длине бокового ребра.
  • Наклонная призма — это призма, в которой боковые грани не перпендикулярны к основанию.
  • Правильная призма — это призма, в которой основания являются правильными многоугольниками. Правильная призма может быть, как прямой, так и наклонной.
  • Усечённая призма — это призма, в которой основания не параллельны друг другу. Усечённая призма может быть, как прямой, так наклонной.

Основные свойства призмы

  • Основание призмы — равные многоугольники
  • Высота прямой призмы равна длине бокового ребра.
  • Боковые ребра призмы параллельны и равны между собой.
  • Перпендикулярное сечение перпендикулярно всем боковым ребрам и боковым граням.
  • Боковые грани призмы — параллелограммы
  • Высота наклонной призмы всегда меньше длины ребра.
  • В прямой призме грани могут быть прямоугольниками или квадратами.

Площадь основания правильной призмы

Формулы объёма призмы

Объём призмы через площадь основания (SОСН) и высоту (h):

Объём наклонной призмы через площадь перпендикулярного сечения (SП) и длину бокового ребра (b):

Объём правильной прямой призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

$$ V = * h * a * ctg() $$

Где: N – количество сторон у основания пирамиды
h – высота призмы
a – длина стороны основания призмы

Формулы площади поверхности правильной призмы

Площадь боковой поверхности призмы через периметр (P) основания и высоту (h)

Площадь поверхности призмы через площадь основания (SОСН), периметр основания (P) и высоту (h):

Площадь поверхности правильной призмы через высоту, длину стороны и количество сторон:

Источник статьи: http://calc-online24.ru/formula/prizm

Призма в геометрии — определение, формулы и примеры

Ранее вы уже знакомились с призмой, т. е. многогранником, две грани которого — равные

Что такое призма

Равные грани-многоугольники призмы лежат в параллельных плоскостях и называются основаниями призмы, а остальные грани-параллелограммы — боковыми гранями. Ребра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называют боковыми ребрами. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называют диагональю призмы (рис. 1). Плоскость, проходящая через два боковых ребра призмы, не принадлежащих одной грани, называется диагональной плоскостью, а сечение призмы диагональной плоскостью — диагональным сечением. На рисунке 2 показаны два диагональных сечения призмы.

Призмы разделяют на треугольные, четырехугольные, пятиугольные и т. д. в зависимости от количества сторон их оснований. Призма, изображенная на рисунке 1, — шестиугольная, а на рисунке 2, — девятиугольная.

Отличают прямые и наклонные призмы в зависимости от того, перпендикулярны или не перпендикулярны боковые ребра призмы ее основаниям. Обычно при изображении прямой призмы ее боковые ребра проводят вертикально.

Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной призмой. В прямой призме все боковые грани — прямоугольники, а в правильной — равные прямоугольники.

Перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного основания призмы к плоскости другого основания, называется высотой призмы. На рисунке 3 показаны две высоты и призмы . У прямой призмы ее высота равна боковому ребру.

Боковые грани составляют боковую поверхность призмы, а боковые грани вместе с основаниями — полную поверхность призмы.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра ее перпендикулярного сечения и длины бокового ребра:

Доказательство:

Пусть имеется -угольная призма . Пересечем ее плоскостью , перпендикулярной боковому ребру. Получим перпендикулярное сечение , стороны которого перпендикулярны сторонам параллелограммов, составляющим боковую поверхность призмы. Поэтому для боковой поверхности получим:

При переходе (1) мы учли, что все боковые ребра призмы равны друг другу, при переходе (2) — то, что сумма выражает периметр перпендикулярного сечения призмы, а множитель — длину бокового ребра.

Следствие 1.

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра ее основания и высоты.

Действительно, перпендикулярное сечение прямой призмы равно ее основанию, а боковое ребро является высотой.

Частным видом призмы является параллелепипед, т. е. призма, основанием которой является параллелограмм. Параллелепипед, как и призма, может быть прямым или наклонным. Прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом. Прямоугольный параллелепипед, у которого три ребра, выходящие из одной вершины, равны друг другу, называется кубом.

У параллелепипеда все грани — параллелограммы, из которых у прямого параллелепипеда прямоугольниками являются боковые грани, а у прямоугольного параллелепипеда — все грани.

12 ребер параллелепипеда разделяются на три четверки равных ребер (рис. 5), его 6 граней — на три пары равных граней (рис. 6), а 4 диагонали пересекаются в одной точке, являющейся центром симметрии параллелепипеда (рис. 7).

Прямой параллелепипед еще имеет ось симметрии (рис. 8) и плоскость симметрии (рис. 9). Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 10) и три плоскости симметрии (рис. 11).

Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, называют измерениями прямоугольного параллелепипеда. Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений (рис. 12), и все его диагонали равны друг другу.

Важной характеристикой плоской фигуры является ее площадь. Подобной характеристикой тела является его объем. Будем считать, что изучаемые нами тела имеют объем.

За единицу объема принимают объем куба с ребром 1. На практике пользуются разными единицами объема: как метрическими — кубический миллиметр, кубический сантиметр, кубический дециметр, кубический метр, кубический километр, так и неметрическими — галлон, барель, бушель, кварта.

Для объема тела выполняются его основные свойства:

  • равные тела имеют равные объемы;
  • если тело разделено на части, то его объем равен сумме объемов этих частей.

При этом равными фигурами называют фигуры, которые преобразуются друг в друга определенным движением. Например, равными являются две шестиугольные правильные призмы, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты (рис. 13), или два цилиндра с соответственно равными радиусами оснований и образующими (рис. 14). Тело, изображенное на рисунке 15, можно разделить на цилиндр и конус, и его объем равен сумме объемов этих цилиндра и конуса.

Два тела с равными объемами называют равновеликими телами. Равные тела являются равновеликими, но не наоборот.

Вы знаете, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений , , (рис. 16): .

Учитывая, что в формуле произведение выражает площадь основания прямоугольного параллелепипеда, а число — его высоту , получим, что объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты: .

Объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты:

Доказательство:

Пусть имеется произвольный параллелепипед (рис. 17). Через ребро проведем плоскость, перпендикулярную ребру , она отсечет от параллелепипеда треугольную призму (рис. 18). После параллельного сдвига этой призмы в направлении отрезка получим призму . Параллелепипед равновелик с данным параллелепипедом . Выполненное преобразование параллелепипеда также сохраняет объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

У параллелепипеда его боковые грани и перпендикулярны плоскости основания. К граням и , которые не перпендикулярны плоскости основания, применим такое же преобразование, в результате которого получим прямой параллелепипед (рис. 19), в котором сохраняются объем, площадь основания и высота.

Наконец, применив еще раз такое преобразование к граням и прямого параллелепипеда , получим прямоугольный параллелепипед (рис. 20), сохранив объем параллелепипеда, площадь его основания и высоту.

Множитель есть площадь основания параллелепипеда , а множитель выражает его высоту, так как есть перпендикуляр, возведенный из точки основания к другому основанию . Значит, объем произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты.

Объем призмы равен произведению площади ее основания и высоты:

Доказательство:

Рассмотрим сначала треугольную призму (рис. 21). Дополним ее до параллелепипеда (рис. 22). Точка пересечения диагоналей диагонального сечения этого параллелепипеда является его центром симметрии. Это означает, что достроенная призма симметрична данной призме относительно центра , а потому эти призмы равны друг другу. Значит, объем параллелепипеда равен удвоенному объему данной призмы.

Объем параллелепипеда равен произведению площади его основания и высоты. Но площадь его основания равна удвоенной площади основания данной призмы, а высота параллелепипеда равна высоте призмы.

Отсюда следует, что объем призмы равен площади ее основания и высоты. Теперь рассмотрим произвольную призму (рис. 23).

Диагональными сечениями, проходящими через вершину , разобьем ее на треугольные призмы-части , , . , , которые все имеют одну и ту же высоту, равную высоте данной призмы. Объем данной призмы равен сумме объемов призм-частей. По уже доказанному для объема данной призмы получим:

Учитывая, что сумма в скобках выражает площадь S основания данной призмы, получим:

Следствие 2.

Объем прямой призмы равен произведению площади ее основания и бокового ребра.

Призма и её сечения

С призмой вы уже знакомы. Несмотря на это, мы напомним определение призмы и её свойства.

Призма -это многогранник, две грани которого равные n-угольники (основания), лежащие в параллельных плоскостях, а остальные n граней — параллелограммы (рис. 22).

В зависимости от того перпендикулярны ли боковые грани призмы его основаниям или нет, призмы делят на прямые или наклонные. На рисунке 23.а изображена прямая призма, а на рисунке 23.b — наклонная. Очевидно, что боковые грани прямой призмы — прямоугольники.

Если основания прямой призмы являются правильными многоугольниками, то её называют правильной (рис. 24). Боковые грани правильной призмы это равные между собой прямоугольники.

Перпендикуляр, опущенный из некоторой точки одного основания к другому, называют его перпендикуляром (рис. 23.b).

Сечение призмы, проходящее через соответствующие диагонали его оснований, называют диагональным сечением (рис. 24.а) и их число равно числу диагоналей одного из оснований.

Перпендикулярным сечением призмы называют сечение перпендикулярное всем его боковым рёбрам (рис. 25). так как число диагоналси выпуклого n-угольника, то число диагональных сeчeний n-угольной призмы также равно .

В каждом диагональном сечении призмы можно провести две диагонали. Следовательно, n-угольная призма имеет диагоналей.

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми ребрами соответственно равны 7 см, 15 см и 20 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Известно, что расстояние между параллельными прямыми равно длине перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую. Тогда длины сторон перпендикулярного сечения ABC (рис. 26). Наибольшая грань призмы проходит через наибольшую сторону АС= 20 см этого сечения. Расстояние от рёбра призмы В2В1 до плоскости грани равно высоте BD треугольника ABC.

Тогда по формуле Герона получаем:

,

.

С другой стороны, .

Отсюда или см.

Ответ: 4,2 см.

Параллелепипед и куб

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называют параллелепипедом (рис. 27). Параллелепипеды также как и призмы могут быть прямыми (рис. 27.а) и наклонными (рис. 27.b).

Грани параллелепипеда, не имеющие общую вершину, называют противоположными гранями.

  • —12 рёбер, каждые четыре из которых равны (рис. 28.а),
  • —6 граней, которые попарно параллельны и равны (рис. 28.b),
  • —4 диагонали, которые пересекаются и точкой пересечения делятся пополам (рис. 28.с),
  • —точка пересечения диагоналей — центр его симметрии (рис. 28.с). Прямой параллелепипед имеет ось симметрии (рис. 28.d) и плоскость симметрии (рис. 28.e).

Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольники, называют прямоугольным параллелепипедом (рис. 29). Очевидно, что все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Прямоугольный параллелепипед имеет три оси симметрии (рис. 30) и три плоскости симметрии (рис. 31).

Длины трех рёбер, исходящих из одной вершины прямоугольного параллелепипеда называют его измерениями.

Свойство: В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали d равен сумме квадратов его измерений: а, b и с (рис.32):

.

Прямоугольный параллелепипед, все измерения которого равны, называют кубом. Очевидно, что все грани куба являются равными квадратами. Куб имеет один центр симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии.

Выше были перечислены свойства призмы. Некоторые из них были показаны в 10 классе. Доказательства остальных свойств проще, поэтому их доказательства вы можете провести самостоятельно.

Площади боковой и полной поверхности призмы

На рисунке 33 проведены высоты НН1 DD1 призмы

АВСDЕА1В1С1D1Е1. Очевидно, что высоты правильной призмы будут равны её боковому рёбру.

Боковая поверхность призмы (точнее, площадь боковой поверхности)равна сумме боковых поверхностей ее граней, а полная поверхнасть равна сумме боковой поверхности и площадей двух ее оснований.

Теорема. Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра ее основания на высоту:

Доказательство. Пусть высота данной прямой призмы равна , а периметр основания (рис. 34). Известно, что каждая грань прямой призмы является прямоугольником. Основания прямоугольников равны соответствующим сторонам основания призмы, а высоты равны высоте призмы.

Тогда

Теорема. Боковая поверхность произвольной призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения призмы на ее боковое ребро:

Доказательство. Пусть периметр перпендикулярного сечения призмы равен Р (рис. 35). Сечение делит призму на две части (рис. 36.а). Совершим параллельный перенос одной из этих частей так, чтобы основания нашей призмы совпали. В результате мы получим новую прямую призму (рис. 36.b). Очевидно, что, боковая поверхность этой призмы равна боковой поверхности данной. Её основанием является перпендикулярное сечение, а боковое ребро равно .

Тогда по доказанной выше теореме:

Объем призмы

Одним из свойств, характеризующих геометрические тела в пространстве, является понятие объема. Каждый предмет (тело) занимает некоторую часть пространства. Например, кирпич по сравнению со спичечным коробком занимает большую часть пространства. Для сравнения этих частей между собой вводится понятие объёма.

Объём — это величина, численное значение которой обладает следующими свойствами:

  1. Любое тело имеет определённый объём, выраженный положительным числом.
  2. Равные тела имеют равные объёмы.
  3. Если тело разбито на несколько частей, то его объём равен сумме объёмов этих частей.
  4. Объём куба, ребро которого равно единице, равен единице.

Объём — также как длина и площадь, является величиной. В зависимости от выбора единицы длины, объём единого куба измеряют в кубических единицах:

1 см 3 , 1 дм 3 , 1 м 3 и т. д.

Объёмы тел измеряют различными способами или вычисляют. Например, объёмы маленьких предметов можно измерить с помощью сосудов (мензурки) с мелкими делениями (шкалами) (рис. 46). А объём ведра можно измерить с помощью сосуда, имеющего единичный объём, наполнив его водой (рис. 47). Но таким способом мы не можем измерить объёмы всех тел. В таких случаях объём вычисляют различными способами. Ниже рассмотрим их без доказательств.

Объём параллелепипеда

Теорема. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерeний (рис.48): .

Следствие. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 49): .

Теорема. Объём произвольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту (рис. 50): .

Это свойство вытекает из вышеупомянутого следствия. На рисунке 50 показано как данный параллелепипед преобразовать в прямоугольный параллелепипед. Воспользовавшись этим самостоятельно обоснуйте свойство.

Нахождение объёма призмы

Теорема. Объём прямой призмы равен произведению площади его основания на высоту (рис. 51): .

Доказательство. 1 случай. Пусть основанием призмы будет прямоугольный треугольник (рис 51.а). Эту призму можно дополнить равной ей призмой до прямоугольного параллелепипеда (рис. 51 .b).

Если объём данной призмы, площадь её основания и высота V, S и h, то объём полученного прямоугольного параллелепипеда, площадь его основания и высота будут соответственно равны 2V, 2S и h.

Следовательно или

2 случай. Пусть S площадь произвольной n — угольной прямой призмы и h — её высота. Основание призмы — n-угольник делится диагоналями на треугольники, каждый из которых можно разделить на прямоугольные треугольники (рис. 52). В результате данная призма разделится на конечное число прямых призм, основания которых являются прямоугольными треугольниками. Высоты этих призм равны h , а сумма площадей оснований этих призм равна площади основания данной призмы:

Объём данной призмы равен сумме объёмов составляющих её треугольных призм:

или

Теорема. Объём произвольной призмы равен произведению площади его основания на высоту:

По рисунку 5.3 докажите эту теорему самостоятельно, сначала для треугольной призмы (рис. 5.3.а), затем для любой призмы (рис. 5.3.b).

Пример:

Стороны основания прямого параллелепипеда равны а и b, а угол между ними 30°. Найдите его объём, если площадь его боковой поверхности равна S.

Обозначим высоту параллелепипеда h(рис. 54).

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Цилиндр в геометрии
  • Пирамида в геометрии
  • Конус в геометрии
  • Сфера в геометрии
  • Возникновение геометрии
  • Геометрические преобразования в геометрии
  • Планиметрия — формулы, определение и вычисление
  • Стереометрия — формулы, определение и вычисление

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Telegram и логотип telegram являются товарными знаками корпорации Telegram FZ-LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник статьи: http://www.evkova.org/prizma

Правильная треугольная призма: определение, формулы для площади поверхности и объема

Определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Треугольная призма

Эта фигура относится к классу призм, поэтому она, как любой представитель этого класса, состоит из двух одинаковых и параллельных оснований и параллелограммов. Основаниями являются треугольники произвольного типа (равносторонние, равнобедренные, прямоугольные и другие), боковые же стороны могут быть произвольными параллелограммами, ромбами, квадратами и прямоугольниками. Число боковых сторон равно трем. Рисунок ниже демонстрирует, о какой фигуре пойдет речь.

На этом рисунке мы видим геометрическую фигуру, которая состоит из пяти сторон, девяти ребер и шести вершин. Стороны мы уже охарактеризовали. Что касается ребер, то любое из них можно отнести к одному из двух типов: либо ребро принадлежит одному из оснований (в этом случае оно является стороной треугольного основания), либо оно образовано пересечением боковых граней (боковое ребро). Важным свойством призмы является равенство всех ее боковых ребер.

Все треугольные призмы классифицируются по двум признакам:

  • прямые и наклонные;
  • правильные и неправильные.

Прямая призма обладает прямоугольными боковыми сторонами. Если ее основания будут равносторонними треугольниками, тогда она будет правильной. Далее мы приведем формулы объема призмы треугольной прямой, правильной фигуры, призмы с прямоугольным треугольником и фигуры наклонной.

Площадь поверхности

Чтобы понять, о чем идет речь, проще всего рассмотреть развертку этой призмы. Она показана на рисунке.

Видно, что для определения площади всех сторон рассматриваемой фигуры необходимо рассчитать отдельно площадь четырехугольника и площадь шестиугольника, затем умножить их на соответствующие целые числа, равные количеству каждого n-угольника в призме, и сложить полученные результаты. Шестиугольников 2, прямоугольников 6.

Для площади прямоугольника получаем:

Тогда площадь боковой поверхности равна:

Для определения площади шестиугольника проще всего воспользоваться соответствующей формулой, которая имеет вид:

Подставляя в это выражение число n равное 6, получаем площадь одного шестиугольника:

Это выражение следует умножить на два, чтобы получить площадь оснований призмы:

Остается сложить Sos и S2, чтобы получить полную площадь поверхности фигуры:

Виды фигуры

Пирамида – геометрическая фигура, обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два – большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Найти объем призмы, зная площадь основания и высоту

Площадь поверхности и объём

Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:

Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:

Если речь идёт о кубе — правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:

Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.

Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:

С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:

Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:

Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:

Для площади поверхности куба:

Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.

Решение простого примера

Такого вида задачи обычно даются в учебниках по геометрии для выпускных классов средней школы. Решить их самостоятельно несложно, нужно только знать формулы и представлять, как выглядит та или иная фигура. При этом часто приходится использовать дополнительные построения. Вот один из таких типовых примеров.

Пусть имеется девятиугольная фигура, в которую вписана правильная шестиугольная призма со стандартным обозначением вершин. Сторона основания в ней составляет 4 см, а длина бокового ребра меньше её в 2 раза, то есть равняется 2. Необходимо вычислить расстояние от точки C1 до прямой, соединяющей вершины EF. По условию задачи в основании лежит геометрическое тело, у которого все стороны и углы равны, то есть фигура правильная.

Чтобы понять, что будет представлять искомая прямая, нужно изобразить призму на рисунке и на нём же начертить отрезок. Фактически это будет перпендикуляр, который и является вычисляемым расстоянием. Проекцией точки С1 будет вершина С. Из неё можно построить перпендикуляр, который ограничится точкой E. Таким образом, поставленная задача сводится к поиску длины отрезка C1E.

Найти длину прямой можно как гипотенузу прямоугольного треугольника С1СE. Треугольная фигура будет с прямым углом C. Из условия задачи отрезок С1С в два раза меньше ребра основания, а значит равен 2. Теперь осталось найти, чему равняется длина CE. Геометрическое тело CDE является равнобедренным. По условию CD = ED. Сумму углов шестиугольника можно найти по формуле е = 180 * (n — 2) = 180 * 4 = 720. Получается, что на каждый угол приходится по 120 градусов.

С вершины D можно опустить перпендикуляр DN на CE. Принимая во внимание свойства равнобедренного треугольника, высота DN будет медианной и биссектрисой. Следовательно, угол C равняется 30 градусов, так как CDH — прямоугольный.

Теперь можно найти СH. Сделать это возможно через косинус угла C: cos 30 = CH / CD. Отсюда: CH = 4 * p/2 = 2 √ 3. Так как CH = HE, сторона CE = 2 * 2 √3. К треугольнику CC1E можно применить теорему Пифагора: C1E 2 = C1C 2 + CE = 2 2 + (4 c3) 2 . C1E 2 = √ 52. Таким образом, искомый ответ можно записать так: C1E = 2√13.

Элементы правильной четырехугольной призмы

  • Основания ABCD и A1B1C1D1 равны и параллельны друг другу
  • Боковые грани AA1D1D, AA1B1B, BB1C1C и CC1D1D, каждая из которых является прямоугольником
  • Боковая поверхность – сумма площадей всех боковых граней призмы
  • Полная поверхность – сумма площадей всех оснований и боковых граней (сумма площади боковой поверхности и оснований)
  • Боковые ребра AA1, BB1, CC1 и DD1.
  • Диагональ B1D
  • Диагональ основания BD
  • Диагональное сечение BB1D1D
  • Перпендикулярное сечение A2B2C2D2 .

Как выглядит призма

Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры — прямой параллелепипед.

Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.

На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело. К ним принято относить:

  1. Основы призмы — квадраты LMNO и L₁M₁N₁O₁.
  2. Боковые грани — прямоугольники MM₁L₁L, LL₁O₁O, NN₁O₁O и MM₁N₁N, расположенные под прямым углом к основаниям.
  3. Боковые рёбра — отрезки, расположенные на стыке между двумя боковыми гранями: M₁M, N₁N, O₁O и L₁L. Также выполняют роль высоты (поскольку лежат в параллельной основаниям плоскости). В призме боковые рёбра всегда равны между собой — это одно из важнейших свойств этого геометрического тела.
  4. Диагонали, которые, в свою очередь, подразделяются ещё на 3 категории. К ним относится 4 диагонали основания (MO, N₁L₁), 8 диагоналей боковых граней (ML₁, O₁L) и 4 диагонали призмы, начала и концы которых являются вершинами 2 разных оснований и боковых сторон (MO₁, N₁L).

Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение — это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить — 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.

Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.

Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).

Как рассчитывать объем фигуры произвольного типа?

Часть пространства, которая ограничена плоскими сторонами геометрической фигуры, называется ее объемом. В общем случае для призмы абсолютно любого типа справедлива следующая формула для определения ее объема:

Как видно, она очень проста и содержит всего два множителя: So — площадь одного основания, h — высота призмы, то есть дистанция между ее основаниями.

Применительно к треугольной призме произвольной формы (наклонной и неправильной), для вычисления величины So можно воспользоваться универсальной формулой для треугольника:

Здесь a — сторона треугольника, ha — высота треугольника, опущенная на сторону a.

Расчет высоты h призмы можно провести с использованием теоремы Пифагора, если знать длину бокового ребра b и двугранные углы между основанием и боковыми гранями.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = Sосн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S2 = S1k 2 = S12 2 = 4S1.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Общая теория

Призмой является любой многогранник, боковые стороны которого имеют вид параллелограмма. При этом в ее основании может оказаться любой многогранник – от треугольника до n-угольника. Причем основания призмы всегда равны друг другу. Что не относится к боковым граням — они могут существенно различаться по размерам.

При решении задач встречается не только площадь основания призмы. Может потребоваться знание боковой поверхности, то есть всех граней, которые не являются основаниями. Полной поверхностью уже будет объединение всех граней, которые составляют призму.

Иногда в задачах фигурирует высота. Она является перпендикуляром к основаниям. Диагональю многогранника является отрезок, который соединяет попарно две любые вершины, не принадлежащие одной грани.

Следует отметить, что площадь основания прямой призмы или наклонной не зависит от угла между ними и боковыми гранями. Если у них одинаковые фигуры в верхней и нижней гранях, то их площади будут равными.

Призма в геометрии

Изучение объемных фигур является задачей стереометрии – важной части пространственной геометрии. В стереометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована параллельным переносом произвольного плоского многоугольника на определенное расстояние в пространстве. Параллельный перенос предполагает такое перемещение, при котором поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости многоугольника, полностью исключен.

В результате описанного способа получения призмы образуется фигура, ограниченная двумя многоугольниками, имеющими одинаковые размеры, лежащими в параллельных плоскостях, и некоторым числом параллелограммов. Их количество совпадает с числом сторон (вершин) многоугольника. Одинаковые многоугольники называются основаниями призмы, а площадь их поверхности – это площадь оснований. Параллелограммы, соединяющие два основания, образуют боковую поверхность.

Площадь правильной шестиугольной призмы

Основание: правильный шестиугольник

Источник статьи: http://exceltut.ru/pravilnaya-treugolnaya-prizma-opredelenie-formuly-dlya-ploshhadi-poverhnosti-i-obema/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *