Меню

Как найти вписанный угол через центральный



Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны. Вписанный угол Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды Вписанный угол Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды Вписанный угол Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания
Угол, образованный двумя касательными к окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

В этом случае справедливы равенства

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

В этом случае справедливы равенства

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Источник статьи: http://www.resolventa.ru/spr/planimetry/cangle.htm

Окружность. Центральный и вписанный угол

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.

Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хорда.

Самая большая хорда проходит через центр окружности и называется диаметр.

На рисунках — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется центральным. Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Угол тоже можно назвать центральным. Только он опирается на дугу, которая больше 180

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. Величина вписанного угла равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается. Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в 60 градусов, то есть на шестую часть круга.

Докажем, что величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Пусть угол AOC — центральный и опирается на дугу АС, тогда ОА и ОС — радиусы окружности.

Пусть ABC — вписанный угол, опирающийся на дугу АС,

АВ и ВС — хорды окружности.

Первый случай: Точка O лежит на BC, то есть ВС — диаметр окружности.

Треугольник AOB — равнобедренный, АО = ОВ как радиусы. Значит,

— внешний угол а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Второй случай: Центр окружности точка О не лежит на ВС. Построим диаметр BК:

Если точка О лежит внутри вписанного угла АВС, как на рисунке слева, то

Если О лежит вне вписанного угла АВС, как на рисунке справа, то

Мы получили, что в каждом из этих случаев величина центрального угла в два раза больше, чем величина вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

При решении задач по геометрии также применяются следующие теоремы:

1. Равные центральные углы опираются на равные хорды.

2. Равные вписанные углы опираются на равные хорды.

3. Равные хорды стягивают равные дуги.

Пусть хорды AB и CD равны. Докажем, что AMB дуги CND имеют одинаковую градусную меру, то есть равны.

По условию, AB = CD. Соединим концы хорд с центром окружности. Получим: AO = BO = CO = DO = r.

по трем сторонам, отсюда следует, что центральные углы равны, т.е. Значит, и дуги, на которые они опираются, также равны, т.е. дуги AMB и CND имеют одинаковую градусную меру.

Если две дуги окружности равны, то равны и хорды, их стягивающие.

Пусть дуги AMB и CND равны. Тогда как центральные углы, опирающиеся на эти дуги. Значит, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, и тогда что и требовалось доказать.

Эти две теоремы можно объединить в одну, которая формулируется так:

Хорды окружности равны тогда и только тогда, когда равны дуги, которые они стягивают.

Разберем задачи ЕГЭ и ОГЭ по теме: Окружность, центральный угол, вписанный угол.

Задача 1, ЕГЭ. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Задача 2, ЕГЭ. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Задача 3, ЕГЭ. Радиус окружности равен 1. Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда AB равна Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим В треугольнике AOB стороны AO и OB равны 1, сторона AB равна Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник AOB — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол AOB равен 90 Тогда дуга ACB равна 90 а дуга AKB равна Вписанный угол опирается на дугу AKB и равен половине угловой величины этой дуги, то есть 135.

Задача 4, ЕГЭ. Хорда AB делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как 5 : 7. Под каким углом видна эта хорда из точки C, принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки С?»

Представьте, что вы сидите в точке С и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде AB. Так, как будто хорда AB — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол ACB.
Сумма двух дуг, на которые хорда AB делит окружность, равна то есть

Отсюда и тогда вписанный угол ACB опирается на дугу, равную Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол ACB равен

Задача 5, ЕГЭ.

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Найдите угол BOC, если угол BAC равен 32

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Задача 6, ЕГЭ. Найдите центральный угол AOB, если он на больше вписанного угла ACB, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.

Пусть величина угла АОВ равна градусов. Величина вписанного угла АСВ равна половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть градусов.

Задача 7, ЕГЭ. Чему равен острый вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности? Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R.

Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается, то есть 30

Задача 8, ЕГЭ.

Дуга окружности AC, не содержащая точки B, составляет 200 А дуга окружности BC, не содержащая точки A, составляет 80 Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Дуга АВ равна Тогда

Задачи ОГЭ по теме: Центральный и вписанный угол, градусная мера дуги.

Задача 9, ОГЭ. Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен Найдите радиус окружности.

Рассмотрим треугольник AOB: он равнобедренный, его боковые стороны равны радиусу окружности.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Пусть AOB равен , тогда где Треугольник, у которого все углы равны, — равносторонний треугольник; значит, радиус равен 6.

Задача 10, ОГЭ. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OCD равен Найдите величину угла OAB.

Вписанные углы ВСD и ВАD опираются на одну и ту же дугу окружности, поэтому они равны, угол

Задача 11, ОГЭ. Найдите градусную меру центрального MON, если известно, что NP — диаметр, а градусная мера MNP равна 18

Треугольник MON — равнобедренный. Тогда −

Задача 12, ОГЭ.

Найдите DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны и соответственно.

Дуга FD, не содержащая точку Е, равна Вписанный угол DEF, опирающийся на эту дугу, равен половине ее угловой величины,

Задача 13, ОГЭ. В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Угол ACB — вписанный, он равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то есть AОВ = 52 Угол ВОD — развернутый, поэтому угол AOD равен

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Окружность. Центральный и вписанный угол» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Источник статьи: http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/centralnyj-i-vpisannyj-ugol-svojstv-2/

Центральные и вписанные углы

Угол и окружность: на первый взгляд — ничего общего. Давайте разберемся, что же такого привлекательного в этих углах, что окружность все время позволяет им вписываться.

· Обновлено 28 октября 2022

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается.

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

  • Вписанный угол в два раза меньше, чем центральный угол, если они опираются на одну и ту же дугу:

Угол AOC — центральный, угол ABC — вписанный. Оба угла опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

  • Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается:

  • Вписанные углы окружности равны друг другу, если опираются на одну дугу:

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

  • Вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, — всегда прямой:

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

  • Если две хорды в окружности пересекаются, то произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

  • Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду — они равны, если их вершины находятся по одну сторону от хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

  • Если два вписанных угла опираются на одну и ту же хорду, то их суммарная градусная мера равна 180°, если их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

Задачка 1. Дана окружность, дуга AC = 200°, дуга BC = 80°. Найдите, чему равен вписанный угол, опирающийся на дугу AB. ㄥACB = ?

Как решаем: окружность 360° − AC − CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от CB = 72° / 2 = 36°

Источник статьи: http://skysmart.ru/articles/mathematic/centralnye-i-vpisannye-ugly

Чему равен вписанный угол

Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

(О вписанном угле)

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

Дано : окружность (O; R),

1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

В треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

Проведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

3) Если центр окружности лежит вне угла.

Проведем диаметр BF.

∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

Что и требовалось доказать.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если центральный угол AOC меньше либо равен 180º, то градусная мера дуги AC равна градусной мере центрального угла AOC:

Если центральный угол AOC больше 180º, то градусная мера дуги AC равна 360º-∠AOC.

Таким образом, сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.

Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Источник статьи: http://www.treugolniki.ru/chemu-raven-vpisannyj-ugol/

Геометрия

Центральный угол и градусная мера дуги

Любые две точки на окружности разбивают ее на две дуги. Чтобы отличать эти дуги, на каждой из них ставят точку, которую и указывают в обозначении дуги:

Здесь красным цветом показана⋃АСВ, а синим – ⋃ADB. Однако иногда для простоты указывают только концы дуги, то есть используют обозначение ⋃AВ. Это делается тогда, когда ясно, о какой дуге окружности идет речь. Обычно всегда подразумевается та дуга, которая меньше.

Можно заметить, что дуги отличаются по размеру, поэтому возникает потребность их измерения. Для этого используют такое понятие, как градусная мера дуги.

Для ее определения необходимо соединить концы дуги с центром окруж-ти. В результате получаются радиусы, которые пересекаются в центре окружности. Угол между ними именуется центральным углом окруж-ти.

Для каждой дуги можно построить единственный центральный угол, поэтому логично измерять дугу с помощью такого угла. Правда, обратное неверно. На рисунке видно, что центральному углу ∠АОВ соответствует сразу две дуги: ⋃АСВ и ⋃АDB:

Поэтому условно считают, градусная мера той из двух дуг, которая меньше, как раз и равна центральному углу:

Дуги, также как отрезки или углы, можно складывать или вычитать. Например, пусть есть две дуги, ⋃AВ и ⋃ВС, чьи градусные меры составляют 40° и 30°.

Как найти ⋃АС? Ей соответствует центральный угол ∠АОС, который в свою очередь равен сумме ∠АОВ и ∠ВОС:

Диаметр делит окруж-ть на две равные друг другу дуги, которые называются полуокружностями. При этом диаметр окружности можно рассматривать как угол между двумя радиусами, равный 180°. Получается, что градусная мера полуокружности составляет 180°:

Вместе две полуокружности образуют полную окруж-ть. Получается, что градусная мера всей окруж-ти составляет 180° + 180° = 360°.

Этот факт известен и из жизни – когда кто-то делает полный оборот вокруг своей оси, говорят, что он повернулся на 360°. Теперь мы можем вернуться к случаю, когда две точки делят окруж-ть на две неравные друг другу дуги. Градусная мера меньшей из них будет равна величине соответствующего центрального угла (обозначим его как α). В сумме две дуги должны дать 360°. Значит, градусная мера большей дуги будет составлять 360° – α:

Задание. Точки А, В, С и D лежат на одной окруж-ти. Известно, что ⋃АСВ составляет 107°. Какова величина ADB?

Решение. Вместе дуги ⋃АСВ и ⋃АDВ образуют полную окруж-ть, поэтому их сумма равна 360°. Это позволяет составить уравнение и найти из него ⋃АDB:

Задание. Найдите величину ∠АОС на рисунке, если известны ⋃AВ и ⋃ВС:

Решение. Сначала найдем ⋃АС, учтя, что все три дуги, показанные на рисунке, в сумме составляют 360°:

Для доказательства построим две одинаковые хорды AВ и СD в окруж-ти и соединим их концы с центром:

В результате получились ∆АОВ и ∆ОСD. У них равны все три стороны, значит, сами эти треугольники равны. Тогда

∠COD = ∠AOB

Но эти углы – центральные для дуг ⋃AВ и ⋃CD. Получается, что у этих дуг одинаковы их градусные меры, поэтому они также равны, ч. т. д.

Примечание. Всякая хорда окружности разбивает ее на две дуги – большую и меньшую. В данном правиле говорится именно равенстве меньших дуг.

Задание. На окруж-ти отмечены точки А, В и С так, что хорды AВ, ВС и АС равны. Найдите угол между радиусами окружности АО и ВО.

Дуги ⋃AВ, ⋃ВС и ⋃АС стянуты равными хордами AВ, ВС и АС. Значит, они одинаковы. Но в сумме эти три дуги образуют окруж-ть величиной в 360°. Значит, каждая из этих дуг втрое меньше:

∠АОВ – центральный для ⋃AВ, значит, он равен ее градусной мере, то есть он составляет 120°.

Вписанный угол

В окруж-ти можно построить ещё один угол, который именуют вписанным углом. Его отличие от центрального заключается в том, что его вершина лежит на окруж-ти, а не в ее центре. Сторонами же вписанного угла являются хорды окруж-ти.

Здесь дуга ⋃ВС находится внутри угла, а ее концы лежат на его сторонах. В таких случаях говорят, что ∠ВАС опирается на дугу ВС. Оказывается, что между величиной вписанного угла и дугой, на которую он опирается, есть взаимосвязь.

Обозначим вписанный угол ∠СAВ буквой α. Так как радиусы АО и ОС одинаковы, то ∆АОС – равнобедренный, и тогда углы при его основании будут одинаковы:

∠СОВ – внешний для ∆АОС. Напомним, что такой угол равен сумме тех 2 углов треуг-ка, которые с ним не смежны. В частности, в данном случае можно записать

Но этот же угол – центральный, и его величина равна ⋃ВС:

Получается, что дуга вдвое больше вписанного угла.

Далее рассмотрим случай, когда диаметр, проведенный из вершины вписанного угла, делит его на две части:

В этом случае вписанный угол ∠СAВ можно представить как сумму углов ∠САD (обозначен как α)и ∠ВАD (обозначен как β). Мы уже доказали, что дуги, на которые опираются эти углы, вдвое больше самих углов:

Осталось рассмотреть третий случай, при котором обе стороны вписанного угла ∠ВАС лежат по одну сторону от диаметра:

Если здесь обозначить ∠САD как α, а ∠ВАD как β, то интересующий нас ∠СAВ можно представить как их разность:

Итак, во всех трех возможных случаях вписанный угол оказывается вдвое меньше дуги, на которую он опирается.

Задание. Найдите ∠ВАС на рисунке:

Задание. Найдите вписанный ∠AВС, сели прилегающие к нему дуги ⋃AВ и ⋃ВС равны 100° и 128°.

Решение. В сумме дуги ⋃АС, ⋃ВС и ⋃AВ образуют окруж-ть, поэтому их сумма составляет 360°. Тогда можно найти ⋃АС:

Задание. Найдите дугу SM на рисунке:

Решение. Сначала найдем дугу ⋃MN, она вдвое больше соответствующего ей вписанного угла:

⋃NM = 2*NSM = 2*35° = 70°

Заметим, что ⋃SN– это полуокружность, то есть она составляет 180°. При этом ⋃SM и ⋃MN вместе как раз образуют эту полуокружность, то есть их сумма также составляет 180°. Значит, ⋃МS можно найти, вычтя из полуокружности ⋃MN:

⋃MS = ⋃SN — ⋃MN = 180° — 70° = 110°

Заметим, что для одной дуги можно построить несколько вписанных углов. Каждый из них будет равен половине дуги, то есть все эти углы окажутся одинаковыми.

Задание. Найдите ∠АСD на рисунке:

Решение. Так как ∠ACD и ∠ABD опираются на одну дугу ⋃AD, то они должны быть одинаковыми:

∠ACD = ∠ABD = 63°

Задание. Докажите, что две дуги, находящиеся между двумя параллельными секущими окруж-ти, равны друг другу.

Нам надо доказать, что ⋃AВ и ⋃CD равны, если АС||BD. Проведем секущую ВС:

∠СВD и ∠АСВ равны, ведь они накрест лежащие. Получается, что ⋃AВ и ⋃CD являются основаниями равных вписанных углов. Отсюда вытекает, что эти дуги должны быть равными.

Напомним, что диаметр разбивает окруж-ть на две дуги по 180°. Отсюда можно сделать вывод – любой угол, опирающийся на полуокружность, должен составлять 180°:2 = 90°:

Задание. Диаметр окруж-ти AВ равен 17. Хорда ВС имеет длину 8. Какова длина хорды АС?

Так как ∠АСВ опирается на диаметр AВ, то он прямой. Значит, и ∆АСВ – прямоугольный, причем диаметр AВ в нем – гипотенуза. Неизвестный катет можно найти по теореме Пифагора:

Задание. Окруж-ть разбита на две дуги, ⋃AВС и ⋃СDA. Известно, что ∠AВС = 72°. Найдите ADC.

Зная ∠AВС, мы легко найдем дугу ⋃ADC, она вдвое больше опирающегося на нее вписанного угла:

Углы между хордами и секущими

До этого мы рассматривали простые углы в окруж-ти, вершины которых лежали либо на самой окруж-ти, либо в ее центре. Однако иногда хорды и секущие пересекаются в другой точке, либо внутри, либо вне окруж-ти. Рассмотрим подобные задачи.

Более прост случай, когда необходимо найти угол между двумя пересекающимися хордами. Пусть хорды при пересечении образовали дуги ⋃AВ и ⋃СD величиной α и β. Каков угол между ними?

Проведем ещё одну хорду АD. В результате получим вписанные ∠САD и ∠ADB, которые будут равны половинам от соответствующих дуг, то есть α/2 и β/2. Интересующий нас ∠СPD оказывается внешним для ∆APD, и потому равен сумме двух углов в ∆APD (тех, которые с ним не смежны), то есть он составляет величину α/2 + β/2:

Величину α/2 + β/2 можно записать и иначе, вынеся множитель 1/2 за скобки:

Эту величину можно назвать полусуммой дуг, на которые опирается интересующий нас угол.

Задание. Найдите ∠МКВ на рисунке:

Решение. Интересующий нас угол опирается на хорды величиной 38° и 42°. Значит, он равен половине от их суммы:

В более сложном случае необходимо найти угол между секущими, которые пересекаются вне окруж-ти. При этом известны дуги, образованные этими секущими:

Снова проведем хорду АD, чтобы у нас получились два вписанных угла, ∠ADB и ∠СAD, которые соответственно будут иметь величину β/2 и α/2:

Теперь уже ∠САD оказывается внешним для ∆ADK, а потому он является суммой двух других углов:

В итоге получили, что угол между секущими составляет половину от разности дуг, которые они отсекают от окруж-ти.

Задание. Найдите на рисунке величину∠К, если ⋃AВ и ⋃СD соответственно равны 42° и 130°:

Решение. В этой задаче просто используем доказанную теорему об углах между секущими. Искомый угол составляет половину от разности дуг, заключенных между секущими:

Теорема о произведении отрезков хорд

Можно заметить, что при пересечении двух хорд образуется пара подобных треугольников. Пусть хорды ADи ВС пересекаются в точке K. Добавим хорды AВ и СD и получим ∆AВК и ∆КСD:

На дугу ⋃BD опираются вписанные углы∠А и ∠С, значит, они одинаковы. Также на одну дугу АС опираются ∠D и∠В, поэтому и они одинаково. Равенство двух углов уже означает, что треугольники подобны по первому признаку подобия (дополнительно можно заметить, что ∠АКВ и ∠СКD равны как вертикальные углы).

Из подобия ∆AВК и ∆СКD вытекает пропорция между их сторонами:

Перемножив члены пропорции крест накрест, получим соотношение:

В результате нам удалось доказать следующее утверждение:

Задание. Хорды AВ и CD пересекаются в точке М. Известны, что АМ = 9, МВ = 3, МС = 2. Какова длина отрезка МD?

Хорда AВ разбивается на отрезки АМ и МВ, а хорда CD – на отрезки СМ и МD. Произведения этих отрезков одинаковы:

Подставим в это равенство известные величины

Рассмотрим ещё одну геометрическую конструкцию. Пусть из некоторой точки А к окруж-ти проведена как касательная к окружности АК, так и секущая, пересекающая окруж-ть в точках В и С:

Какие здесь есть взаимосвязи между углами и длинами отрезков? Для начала проведем хорды ВК и СК, а также радиусы ОК и ОВ. Обозначим буквой α угол ∠ВСК. Он вписанный, поэтому дуга, на которую он опирается (это ⋃ВК), вдвое больше и равна 2α. Тогда и центральный угол ∠ВОК также составляет 2α:

Теперь исследуем ∆ВОК. Он равнобедренный (ВО и ОК – одинаковые радиусы), поэтому углы при его основании совпадают:

Итак, углы при основании ∆ОВК, в частности ∠ОКВ, равны 90° – α. Заметим, что ∠ОКА – прямой, так как образован радиусом ОК и касательной АК, при этом он состоит из двух углов, ∠АКВ и ∠ВКО. Это позволяет найти ∠АКВ:

В результате мы получили важный промежуточный результат – угол между касательной и хордой, проведенной из точки касания, вдвое меньше образующейся при этом дуги.

Вернемся к картинке с секущей. Изначально как α мы обозначили ∠ВСК, но в результате получили, что и ∠АКВ = α.

Рассмотрим ∆AВК и ∆САК. У них есть общий∠А, а также одинаковые ∠AКВ и ∠ВСК, которые отмечены буквой α. Значит, ∆AВК и ∆САК подобны, поэтому мы имеем право записать пропорцию между его сторонами:

Здесь отрезок АС можно назвать секущей, а AВ – ее внешней частью. Тогда выведенное отношение можно сформулировать так:

Решение. Сначала находим длину всей секущей, пользуясь доказанной теоремой:

Решение. Проведем из точки А ещё и касательную АК к окруж-ти:

Величину квадрата касательной АК можно найти, используя секущую АС. Сначала вычислим длину АС:

Задачи на квадратной решетке

Рассмотрим несколько несложных задач, часто встречающихся на экзаменах.

Задание. Найдите ∠AВС на рисунке:

Решение. Здесь следует заметить, что расстояние между А и С составляет 8 клеток, при этом в окруж-ть как раз можно вписать квадрат со стороной 8.

Такой квадрат разобьет окруж-ть на 4 дуги, причем так как эти дуги опираются на хорды одинаковой длины, то они и сами равны. Вся окруж-ть составляет 360°, значит, каждая из этих дуг составляет 360°:4 = 90°. ∠AВС – вписанный, то есть он составляет половину дуги, на которую он опирается, а это⋃АС, равная 90°. Тогда

Задание. Найдите ∠AВС, используя рисунок:

Решение. Используя рассуждения из предыдущей задачи, легко определить, что∠А составляет 45°.При этом ∆AВС – равнобедренный, и ВС – его основание. Это следует хотя бы из того факта, что высота АН делит сторону ВН пополам.

Углы∠В и ∠С одинаковы, так как лежат при основании равнобедренного треуг-ка. Найдем их, используя тот факт, что все 3 угла в ∆AВС составляют в сумме 180°:

Задание. Вычислите ∠AВС:

Решение. Снова в окруж-ть можно вписать квадрат со стороной 8 клеток. Из этого следует что ⋃АВС составляет 90° (показана фиолетовым цветом):

Но ∠АВС опирается на синюю дугу. Так как вместе фиолетовая и синяя дуга составляют окружность, равную 360°, то синяя дуга должна быть равна 360° – 90° = 270°. ∠АВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 270°:2 = 135°.

Задание. Чему равен ∠AВС на рисунке?

Если вписать в окруж-ть квадрат то он разобьет окруж-ти на дуги по 90°. В свою очередь точка А является серединой такой дуги, то есть она разбивает ее на две дуги по 45°.

∠AВС как вписанный будет вдвое меньше, то есть он равен 22,5°.

Источник статьи: http://100urokov.ru/predmety/urok-10-ugly-v-okruzhnosti

Вписанный и центральный угол окружности

С появлением окружности, а затем колеса человечество сильно упростило себе жизнь.

И через много веков на ЕГЭ появились задачи по этой теме, конечно же 🙂

Зная свойства вписанного и центрального угла окружности, ты сможешь решить множество таких задач. И в этой статье мы тебе с этим поможем.

  • Как измерить дуги и окружности
  • Свойства вписанного угла и следствия из них
  • Как выразить углы между хордами и секущими через центральный угол
  • и многое другое…

Вписанный и центральный угол окружности – коротко о главном

Центр окружности – такая точка, расстояния от которой до всех точек окружности одинаковые.

Радиус – отрезок, соединяющий центр и точку на окружности.

Радиусов очень много (столько же, сколько и точек на окружности), но длина у всех радиусов – одинаковая.

Иногда для краткости радиусом называют именно длину отрезка «центр – точка на окружности», а не сам отрезок.

А вот что получится, если соединить две точки на окружности? Тоже отрезок? Так вот, этот отрезок называется «хорда».

Тут есть ещё одно принятое выражение: «хорда стягивает дугу». Вот, здесь на рисунке, например, хорда ( displaystyle AB) стягивает дугу ( displaystyle AB).

А если хорда вдруг проходит через центр, то у неё есть специальное название: «диаметр».

Так же, как и в случае с радиусом, диаметром часто называют длину отрезка, соединяющего две точки на окружности и проходящего через центр. Кстати, а как связаны диаметр и радиус? Посмотри внимательно. Конечно же,

Радиус равен половине диаметра.

Кроме хорд бывают еще и секущие.

А теперь – названия для углов.

Центральный угол – угол между двумя радиусами.

Естественно, не правда ли? Стороны угла выходят из центра – значит, угол – центральный.

Вписанный угол – угол между двумя хордами, которые пересекаются в точке на окружности.

При этом говорят, что вписанный угол ( displaystyle ABC) опирается на дугу (или на хорду) ( displaystyle AC).

Вот здесь иногда возникают сложности. Обрати внимание – НЕ ЛЮБОЙ угол внутри окружности – вписанный, а только такой, у которого вершина «сидит» на самой окружности.

Измерение дуг и углов окружности

Длина окружности. Дуги и углы измеряются в градусах и радианах.

Сперва о градусах

Для углов проблем нет – нужно научиться измерять дугу в градусах.

Градусная мера (величина дуги) – это величина (в градусах) соответствующего центрального угла

Что здесь значит слово «соответствующего»? Смотрим внимательно:

Видишь две дуги ( displaystyle AB) и два центральных угла?

Ну вот, большей дуге соответствует больший угол (и ничего страшного, что он больше ( displaystyle 180<>^circ )), а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Итак, договорились: в дуге содержится столько же градусов, сколько в соответствующем центральном угле.

А теперь о радианах

Что же это за зверь такой «радиан»?

Представь себе: радианы – это способ измерения угла … в радиусах!

Угол величиной ( displaystyle 1) радиан – такой центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Тогда возникает вопрос – а сколько же радиан в развёрнутом угле?

Иными словами: сколько радиусов «помещается» в половине окружности? Или ещё по-другому: во сколько раз длина половины окружности больше радиуса?

Этим вопросом задавались учёные ещё в Древней Греции.

И вот, после долгих поисков они обнаружили, что отношение длины окружности к радиусу никак не хочет выражаться «человеческими» числами вроде ( displaystyle 1,text< >2,text< >3,frac<7><5>,frac<2><239>) и т.п.

И даже не получается выразить это отношение через корни. То есть, оказывается, нельзя сказать, что половина окружности в ( displaystyle 2,5) раза или в ( displaystyle sqrt<17>) раз больше радиуса!

Представляешь, как удивительно это было обнаружить людям впервые?! Для отношения длины половины окружности к радиусу на хватило «нормальных» чисел. Пришлось вводить букву ( displaystyle pi ).

Итак, ( displaystyle pi ) – это число, выражающее отношение длины полуокружности к радиусу.

Теперь мы можем ответить на вопрос: сколько радиан в развёрнутом угле? В нём ( displaystyle pi ) радиан. Именно оттого, что половина окружности в ( displaystyle pi ) раз больше радиуса.

Древние (и не очень) люди на протяжении веков (!) попытались поточнее подсчитать это загадочное число ( displaystyle pi ), получше выразить его (хоть приблизительно) через «обыкновенные» числа. А мы сейчас до невозможности ленивы – нам достаточно двух знаков после занятой, мы привыкли, что

( displaystyle pi approx 3,14)

Задумайся, это значит, например, что y окружности с радиусом единица длина приблизительно равна ( displaystyle 6,28), а точно эту длину просто невозможно записать «человеческим» числом – нужна буква ( displaystyle pi ).

И тогда эта длина окружности окажется равной ( displaystyle 2pi ). И конечно, длина окружности радиуса ( displaystyle R) равна ( displaystyle 2pi R).

Мы выяснили уже, что в развёрнутом угле содержится ( displaystyle pi ) радиан.

Исходя из этого, можно пересчитать любые углы «в градусах» на углы «в радианах». Для этого нужно просто решить пропорцию! Давай попробуем. Возьмём угол в ( displaystyle 30<>^circ ).

( displaystyle 180<>^circ -pi ) рад.

( displaystyle 30<>^circ — x) рад.

Значит, ( displaystyle x=frac<30<>^circ text< >!!pi!!text< >><180<>^circ >=frac!!pi!!text< >><6>)рад., то есть ( displaystyle 30<>^circ =frac<6>)рад. Таким же образом получается табличка с наиболее популярными углами.

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Формула:
Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Формула:
( displaystyle 30<>^circ) ( displaystyle frac<6>)
( displaystyle 45<>^circ) ( displaystyle frac<4>)
( displaystyle 90<>^circ) ( displaystyle frac<2>)
( displaystyle 180<>^circ) ( displaystyle pi )
( displaystyle 270<>^circ) ( displaystyle frac<3pi ><2>)
( displaystyle 360<>^circ) ( displaystyle 2pi )

Итак, осознай и не бойся: если ты видишь букву или выражение ( displaystyle frac<7pi ><2>) и т.п., то речь идёт об угле и, по сути, запись через букву ( displaystyle pi) всегда выражает, какую часть от развёрнутого угла составляет тот угол, о котором идёт речь.

А для убедительности ещё раз взгляни на табличку:

( displaystyle 30<>^circ) ( displaystyle frac<6>) ( displaystyle frac<1><6>) от ( displaystyle 180<>^circ ), то есть от ( displaystyle pi )
( displaystyle 45<>^circ) ( displaystyle frac<4>) ( displaystyle frac<1><4>) от ( displaystyle 180<>^circ ), то есть от ( displaystyle pi )
( displaystyle 90<>^circ) ( displaystyle frac<2>) ( displaystyle frac<1><2>) от ( displaystyle 180<>^circ ), то есть от ( displaystyle pi )
( displaystyle 180<>^circ) ( displaystyle pi ) это и есть ( displaystyle pi )
( displaystyle 270<>^circ) ( displaystyle frac<3pi ><2>) ( displaystyle 270<>^circ ) в ( displaystyle 1,5) раза больше, чем ( displaystyle 180<>^circ )
( displaystyle 360<>^circ) ( displaystyle 2pi ) А это ( displaystyle 2) раза по ( displaystyle 180<>^circ ), то есть ( displaystyle 2pi )

Вписанный угол вдвое меньше центрального – доказательство

Имеет место удивительный факт:

Величина вписанного угла вдвое меньше, чем величина соответствующего центрального угла.

Посмотри, как это утверждение выглядит на картинке. «Соответствующий» центральный угол такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина в центре.

И при этом «соответствующий» центральный угол должен «смотреть» на ту же хорду (( displaystyle AC)), что и вписанный угол.

Почему же так? Почему вписанный угол вдвое меньше центрального?

Давай разберёмся сначала на простом случае.

Случай 1. Хорда проходит через центр окружности

Пусть одна из хорд проходит через центр. Ведь бывает же так иногда, верно?

Что же тут получается? Рассмотрим ( displaystyle Delta AOB). Он равнобедренный – ведь ( displaystyle AO) и ( displaystyle OB) – радиусы. Значит, ( displaystyle angle A=angle B) (обозначили их ( displaystyle alpha )).

Теперь посмотрим на ( displaystyle angle AOC). Это же внешний угол для ( displaystyle Delta AOB)!

Источник статьи: http://youclever.org/book/okruzhnost-vpisannyj-ugol-2/

Центральный и вписанный угол в окружности

Что такое центральный и вписанный угол в окружности

Центром окружности называют точку, которая равноудалена от всех других точек окружности.

Радиус — является отрезком, который соединяет центр и точку на окружности.

Круг может обладать множеством радиусов, в соответствии с количеством точек, расположенных на рассматриваемой окружности. При этом все радиусы будут обладать одинаковой длиной. В некоторых случаях за радиус принимают длину отрезка, соединяющего центр с точкой окружности, а не сам отрезок.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Когда отрезок соединяет пару точек, расположенных на окружности, его называют хордой.

Существует устоявшееся выражение: «хорда стягивает дугу». К примеру, хорда displaystyle AB стягивает дугу displaystyle AB.

В том случае, когда хорда пересекает центр, она является диаметром.

Как правило, под диаметром подразумевают длину отрезка, который соединяет пару точек окружности и проходит через ее центр. Радиус составляет ½ диаметра.

В окружности можно отметить не только хорды, но и секущие. С примером можно ознакомиться на рисунке:

Центральный угол представляет собой угол, который расположен между двумя радиусами окружности.

Стороны, которые принадлежат центральному углу, выходят из центра окружности. В связи с этим, данный угол называют центральным.

Вписанный угол является углом между парой хорд, пересекающихся в точке на окружности.

В данном случае вписанный угол (displaystyle ABC) опирается на дугу (или на хорду) (displaystyle AC) . При этом не каждый угол, который расположен внутри окружности, является вписанным, а лишь тот, у которого вершина расположены на самой окружности.

В качестве единиц измерения дуг и углов используют градусы и радианы.

Градусной мерой или величиной дуги является величина, выраженная в градусах, соответствующего центрального угла.

На рисунке изображена пара дуг (displaystyle AB) и два центральных угла. Большей дуге соответствует больший угол, несмотря на то, что он превышает ( displaystyle 180<>^circ) , а меньшей дуге соответствует меньший угол.

Радианы представляют собой способ измерения угла в радиусах, то есть угол, равный (displaystyle 1) радиан является таким центральным углом, длина дуги которого равна радиусу окружности.

Выражать отношение длины окружности к радиусу не корректно в таких числах, как (displaystyle 1,text< >2,text< >3,frac<7><5>,frac<2><239>) . Не допустимо говорить, что половина окружности в (displaystyle 2,5) раза или в (displaystyle sqrt<17>) раз больше радиуса. В таком случае целесообразно использовать букву (displaystyle pi) .

( pi) является числом, которое выражает отношение длины полуокружности к радиусу.

Таким образом, развернутый угол составляет ( pi) радиан, так как половина окружности в (pi) раз больше радиуса. Принято, что (displaystyle pi approx 3,14) .

Исходя из того, что развернутый угол равен (pi) радиан, можно выразить любые углы в радианах.

(displaystyle 30<>^circ displaystyle frac<6>)

(displaystyle 45<>^circ displaystyle frac<4>)

(displaystyle 90<>^circ displaystyle frac<2>)

(displaystyle 180<>^circ displaystyle pi)

(displaystyle 270<>^circ displaystyle frac<3pi ><2>)

(displaystyle 360<>^circ displaystyle 2pi)

Свойства центральных и вписанных углов

При решении задач по геометрии часто используют свойства центрального и вписанного углов. Например, вписанный угол в два раза меньше центрального угла в том случае, когда оба этих угла опираются на одну и ту же дугу.

Угол AOC и угол ABC, который вписан в круг, опираются на дугу AC. При этом центральный угол соответствует дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

Теорема о центральном угле: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На примере, угол АОВ равен дуге АВ.

В том случае, когда в круг вписаны углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, то такие углы будут равны.

На примере, угол ADC равен углу ABC и равен углу AEC, так как эти углы вписаны в окружность и опираются на одну и ту же дугу.

Если в окружность вписан угол, который опирается на ее диаметр, то такой угол является прямым.

К примеру, угол ACB опирается на диаметр и на дугу AB. При этом с помощью диаметра окружность делится на пару равных частей. Таким образом, дуга AB равна 180 градусов, а угол СAB составляет половину этой дуги, то есть равен 90 градусов.

Описанный угол является углом, который образован двумя касательными к окружности.

К примеру, угол CAB, который образован двумя касательными к окружности, является описанным. В этом случае AO представляет собой биссектрису угла CAB. Таким образом, центр окружности расположен на биссектрисе описанного угла.

Градусная мера вписанного угла составляет половину градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры центрального угла, опирающегося на эту же дугу.

Хорда является отрезком, который соединяет пару точек круга. Когда две хорды в окружности имеют точку пересечения, произведения отрезков одной равно произведению отрезков другой.

Таким образом, сторонами вписанного в окружность угла являются хорды. Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду, они равны при условии, что их вершины находятся по одну сторону от хорды.

К примеру, угол BAC равен углу CAB, так как данные углы расположены на хорде BC.

В том случае, когда пара вписанных углов опираются на одну и ту же хорду, их градусная мера в сумме составляет 180 градусов при условии, что их вершины находятся по разные стороны от хорды.

Например, сумма углов BAC и BDC составляет 180 градусов.

Доказательство теоремы

Существует определенная закономерность, которая связывает вписанный и центральный угол. Величина вписанного угла в два раза меньше величины соответствующего центрального угла.

Соответствующим центральным углом называют такой, у которого концы совпадают с концами вписанного угла, а вершина — с центром окружности. Также соответствующий центральный угол «смотрит» на ту же хорду ( (displaystyle AC) ), что и вписанный угол. Предположим, что какая-то из хорд пересекает центр окружности.

Геометрическая фигура (displaystyle Delta AOB) является равнобедренным треугольником, так как (displaystyle AO и displaystyle OB) представляют собой радиусы. Таким образом:

(displaystyle angle A=angle B) (обозначили их ( displaystyle alpha) ).

(displaystyle angle AOC) является внешним углом для (displaystyle Delta AOB) . Согласно свойству, внешний угол соответствует сумме двух внутренних углов, которые не являются с ним смежными:

(displaystyle angle AOC=angle A+angle B)

(displaystyle angle AOCtext< >=text< >2alpha)

С другой стороны, (displaystyle angle AOC) является центральным углом для вписанного ( angle ABC.)

В данном случае получилось доказать, что центральный угол в два раза больше, чем вписанный. Однако, не всегда хорда (displaystyle BC) пересекает центр окружности. Можно рассмотреть вторая вариант построения углов, когда центр окружности расположен внутри (displaystyle angle ABC) .

Если провести диаметр окружности, то ситуация станет подобна первому случаю. В связи с этим, можно записать:

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/centralnyj-ugol

Углы и дуги в окружности: центральный, вписанный

Геометрия, 9 класс

Учитель

Углы и дуги в окружности: центральный, вписанный

Ключевые слова: угол, окружность, хорда, дуга, центральный угол, вписанный угол, касательная, секущая, теорема о секущих, теорема о касательной и секущей, градусная мера дуги, угол опирается на хорду, угол опирается на дугу, дуга стягивает хорду, угол между хордой и касательной, внутренный угол окружности, внешний угол окружности.

Центральные и вписанные углы в окружности

Центральный угол в окружности — угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами.

Дуга окружности , соответствующей центральному углу — часть окружности внутри плоского угла.

Градусная мера дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла.

Вписанный угол — вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды).

  • Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности.
  • Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами.
  • Обозначение: $AB^o$ — градусная мера дуги $AB$ , равна центральному углу $AOB$.

_____________________________________________________________________________________

Теорема Вписанный угол равен половине центрального угла, что опирается на ту же дугу.

_____________________________________________________________________________________

Случай 1: Точка $O$ принадлежит лучу $AC$.

  • Пусть $angle A = alpha$ , тогда и $angle B = alpha$ , ведь $bigtriangleup AOB$ — равнобедренный, его стороны $OB=OA$ как радиусы.
  • $angle BOC$ является внешним для треугольника , а значит равен сумме двух других углов: $alpha+alpha=2alpha$
  • угловое измерение дуги $BC$ есть $2alpha$ $Rightarrow$ вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 2: Точка $O$ лежит внутри вписанного угла $angle BAC$ .

  • Проведем диаметр $AD$, обозначим $angle BAD = alpha$ и тогда дуга $BD$ равна $2alpha$ (см. случай 1).
  • Обозначим $angle BAD$ за $beta$ , тогда дуга $DC$ равна $2beta$ ( так же из-за случая 1)
  • $Rightarrow$ вся дуга $BC = 2alpha + 2beta = 2left(alpha+betaright)$. Но $angle BAC$ , в свою очередь, равен $alpha + beta$
  • $Rightarrow$ вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Случай 3: Точка $O$ находится вне вписанного угла .

  • Проведем диаметр $AD$, обозначим угол $angle BAD$ через $alpha$ , тогда дуга $BD$ равна $2alpha$ (из-за случай 1).
  • $angle CAD$ обозначим через $beta$ , тогда дуга $DC = 2beta$ (из-за случай 1).
  • Дуга $BC$ является разностью большой дуги $BD$ и дуги $DC$ : $BC=BD-DC=2alpha-2beta=2left(alpha-betaright)$
  • $Rightarrow$ Вписанный угол $angle BAD = alpha — beta$. . вписанный угол равен половине дуги опирания.

Следствия теоремы о вписанном угле:

  1. Все вписанные углы, стороны которых проходят через $A$ и $B$, вершины лежат по одну сторону от прямой $AB$ , равны.
  2. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны меж собой.
  3. Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90° , являются прямыми углами. центральный угол 180° .

Задача 1: Точки $A$, $B$, $C$ находятся на окружности и делят ее на три дуги, градусные величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника $ABC$ в градусах.

  • Решение: Пусть меньшая дуга окружности равна $x$ , тогда $x + 3x + 5x = 360^o$ , $9x = 360^o$ , $x = 40^o$
  • Больший угол $bigtriangleup ABC$ опирается на большую дугу и равен $5cdot40^o$ , для окружности он является вписанным
  • и значит равен половине этой дуги $frac<200><2>$. Ответ: $100^o$

Задача 2: В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $25^o$ . Найти угол между радиусом описанной окружности и противоположной стороной $AC$.

  • Решение: Обозначим $angle ABC$ за $x$ . Он вписанный и опирается на дугу $AC$ , на которую так же опирается центральный угол $AOC$.
  • Вписанный угол в два раза меньше центрального $Rightarrow$ $angle AOC = 2x$.
  • $bigtriangleup AOC$ — равнобедренный, т.к. две его стороны являются радиусами ,
  • значит углы при основании — хорде $AC$ равны и $OAC=OCA=frac<180-2x><2>=90-x=90-25=65$ .
  • Кстати, угол $HOC=ABC=x$. Ответ: $65^o$

Задача 3: Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$ , образовали меж собой угол $COD$ равный $58^o$. Найти $angle ACB$.

  • Решение: Углы $BOA$ и $COD$ равны как вертикальные , поэтому $angle BOA = 58^o$ .
  • Искомый угол $ACB$ — вписанный и он опирается на ту же дугу , что и центральный угол $BOA$ .
  • По теореме о вписанных и центральных углах $ACB=frac<1><2>BOA=frac<1><2>cdot58=29$ Ответ: $angle ACB = 29^o$

Задача 4: Найдите $angle DEF$, если градусные меры дуг $DE$ и $EF$ равны $161^o$ и $53^o$ соответственно.

  • Решение: $angle DEF$ — вписанный, его градусная мера равна половине дуги, на которую он опирается.
  • Дуга $FD = 360° – (161° + 53°) = 146°$ $Rightarrow$ $angle$ $DEF=frac<1><2>146=73$ Ответ: $73^o$

Задача 5: Найдите градусную меру $angle ACB$ , если известно, что $BC$ является диаметром окружности, а градусная мера центрального $angle AOC$ равна $96^o$.

  • Решение: $angle ACB$ — вписанный, опирается на дугу $AB$ и равен её половине. Найдем дугу $AB$.
  • $BC$ — диаметр окружности, дуга $CAB$ равна $180^o$. $angle AOC$ — центральный угол. По условию $angle AOC = 96^o$ .
  • $Rightarrow$ дуга $AC = 96^o$ , а дуга $AB = 180^o — 96^o = 84^o$ , тогда $angle$ $ACB=frac<1><2>84=42$. Ответ: $angle ACB = 42^o$

Задача 6: Сторона $AC$ треугольника $ABC$ содержит центр описанной около него окружности. Найдите $angle C$, если $angle A = 69^o$.

  • Решение: Важное свойство: вписанный $angle В$ , опирающийся на диаметр $AC$ , равен $90^o$ .
  • Любой диаметр — развернутый центральный угол — опирается на дугу $180^o$ $Rightarrow$ $bigtriangleup ABC$ — прямоугольный.
  • По свойству прямоугольного треугольника сумма острых углов равна $90^o$ $Rightarrow$ $angle C=90^o-angle A=90^o — 69^o=21^o$ .
  • Ответ: $angle C = 21^o$

Задача 7: $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O$. $angle ACB$ равен $57^o$. Найдите $angle AOD$ .

  • Решение: $angle ACB$ является вписанным углом , значит равен половине дуги, на которую опирается .
  • градусная мера дуги $AB= 2B = 2cdot57^o=114^o$ . $O$ — центр окружности лежит на $BD$ , значит $BAD = 180^o$,
  • тогда дуга $AD = 180^o — 114^o= 66^o$. $angle AOD$ — центральный и опирается на дугу $AD$ ,
  • значит их градусные меры совпадают. $Rightarrow$ Ответ: $angle AOD = 66^o$

Задача 8: В окружности с центром в точке $O$ проведены диаметры $AD$ и $BC$ , угол $OCD$ равен $41^o$. Найдите величину $angle OAB$ .

  • Решение: $angle OCD$ и $angle OAB$ — вписанные и опираются на одну и ту же дугу $DB$ , тогда .
  • . по свойству вписанных углов они равны. Таким образом, $angle OAB$ то же равен $41^o$. Ответ: $angle OAB = 41^o$

Задача 9: Диаметр $AB$, угол $CDA$ равен 38°. Найдите величину угла $CAB$.

  • Решение: угол $CDA$ — вписанный, значит его дуга $AC^o=2cdot38^o=76^o$. Тогда дуга $BCD$ равна $180 — 76 = 104^o$ ,
  • но на нее опирается вписанный угол $CAB$ $Rightarrow$ $CAB=frac<1><2>104^o$ Ответ: $CAB = 52^o$

О главном по теме: Центральные и вписанные углы в окружности. 1. Центральный угол в окружности — угол с вершиной в ее центре и сторонами-радиусами. 2. Дуга окружности , соответствующей центральному углу — часть окружности внутри плоского угла. 3. Градусная мера дуги окружности — градусная мера соответствующего центрального угла. 4. Вписанный угол — вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (хорды). . Вписанный угол опирается на хорду , которая соединяет точки пересечения сторон угла и окружности. . Вписанный угол опирается на дугу, заключенную между его сторонами. Теорема Вписанный угол равен половине того центрального угла, которая опирается на ту же дугу.

Интерактивные Упражнения:

Источник статьи: http://fizmatschool.ru/textbooks/geom-9/ugly-dugy-okr/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *