Меню

Как найти вертикальные углы если один из них известен



Вертикальные углы в геометрии

В двух словах: вертикальные углы возникают при пересечении двух прямых, не имеют общих сторон и всегда равны друг другу.

1. Определение и примеры

Определение. Два угла называются , если стороны одного из них являются продолжениями сторон другого.

На рисунке ниже пересекаются две прямые: $AB$ и $MN$:

В результате образуются две пары вертикальных углов: $angle ASM$ и $angle BSN$, а также $angle ASN$ $angle BSM$.

Обратите внимание: вертикальные углы образуются только в точке пересечении прямых. Например, углы $ASM$ и $BSN$ на картинке ниже — не вертикальные, даже если они равны:

Если в одной точке пересекается более двух прямых, то вертикальных углов становится очень много:

Я не случайно пометил вертикальные углы одинаковыми дугами. Дело в том, что верна следующая теорема.

2. Основная теорема

Теорема 1. Вертикальные углы всегда равны друг другу.

Доказательство. Рассмотрим «синие» вертикальные $ASN$ и $BSM$. Каждый из них является смежным с углом $BSN$:

Но сумма смежных углов равна 180°, и если $angle BSN=color$, то

Итак, вертикальные углы равны одной и той же величине. Т.е. они равны между собой.

Эта теорема позволяет решать огромное количество задач — от самых простых до весьма нетривиальных. Начнём с простых.

Задача 1. Найдите углы 2, 3 и 4, если $angle 1=^circ $.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle 3=angle 1=^circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

Углы 2 и 4 вертикальные, поэтому они равны: $angle 4=angle 2=^circ $.

Из всех чертежей видно, что при пересечении двух прямых обычно возникает два острых угла и два тупых. Причём острый и тупой угол всегда будут смежными.

Если предположить, что острый угол равен $color$ градусов, то тупой равен $180-color$ градусов.

Задача 2. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если разность двух из них равна 68°.

Решение. Пусть острые углы содержат $color$ градусов. Тогда смежные с ними тупые углы содержат по $^circ -color$ градусов.

По условию задачи, разность двух углов равна 68°. Очевидно, речь идёт о смежных углах. Потому что разность вертикальных углов была бы равна нулю. Вычитаем из тупого угла острый и получаем:

Итак, острые углы содержат по 56°. Тогда тупые углы содержат по 124°.

Единственный случай, когда все вертикальные углы равны — это когда прямые перпендикулярны, т.е. пересекаются под углом 90°.

Задача 3. На рисунке прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, $angle color=^circ $. Найдите углы 2, 3 и 4.

Углы 1 и 3 вертикальные, поэтому они равны: $angle color=angle color=^circ $.

Углы 1 и 2 смежные, поэтому их сумма равна 180°:

Углы 3 и 4 вместе образуют прямой угол, поэтому их сумма равна 90°:

Перед тем как переходить к более сложным задачам, рассмотрим ещё одно интересное свойство вертикальных углов.

Теорема 2. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство. В самом деле, пусть $SC$ и $SD$ — биссектрисы вертикальных углов $ASM$ и $BSN$ соответственно.

Допустим, градусные меры углов $ASM$ и $BSN$ равны $2color$. Тогда градусные меры всех маленьких углов $ASC$, $BSD$ и т.д. равны $color$. Но тогда

[beginangle CSD&=angle CSA+angle ASN+angle NSD= \ &=2color+angle ASN end]

С другой стороны, углы $ASN$ и $ASM=2color$ смежные, поэтому

Итак, угол $angle CSD=^circ $, т.е. является развёрнутым. А это как раз и означает, что лучи $SC$ и $SD$ являются дополнительными друг другу и образуют прямую.

3. Комбинированные задачи

Рассмотрим несколько более сложных задач. Тут встречаются вертикальные углы, смежные углы, а также перпендикуляры.

Задача 4. Найдите углы, образованные при пересечении двух прямых, если:

  1. Сумма двух из них равна 110°.
  2. Сумма трёх из них равна 308°.

Решение. Для обоих пунктов будем использовать один и тот же чертёж. Пусть острые вертикальные углы содержат по $color$ градусов, тогда два других угла содержат по $^circ -color$ градусов:

1. Если сумма двух углов равна 110°, то, очевидно, речь идёт о вертикальных углах. Потому что сумма смежных углов всегда равна 180°, а не 110°.

Кроме того, это явно острые углы, иначе их сумма была бы больше 180°. Поэтому

Итак, острые вертикальные углы содержат по 55°. Следовательно, смежные с ними тупые вертикальные углы содержат по 125°.

2. Сумма трёх углов всегда содержит два вертикальных и один смежный с ними. Например, так:

Зелёным пунктиром обозначены три угла, участвующие в сумме. Следовательно, эта сумма равна

Эту задачу можно решить по-разному. Взгляните ещё раз на чертёж:

Мы знаем, что «большой зелёный угол» содержит 308°. А «полный оборот» содержит 360°. Но чтобы получить полный оборот, нужно добавить к зелёному сектору небольшой угол $color$. Поэтому

Возможно, такой подход покажется вам более простым и «очевидным».

Заметьте: благодаря введённым обозначениям нам даже не потребовались буквы для обозначения углов.:)

Задача 5. Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 250°. Докажите, что эти углы вертикальные.

Решение. Пусть тупой угол $ACN$ содержит $color$ градусов. Тогда смежный с ним угол $BCN$ содержит $^circ -color$ градусов, а вертикальный угол $BCM$ тоже равен $color$ градусов:

[angle ACN+angle BCN=^circ ne ^circ ]

И это вполне логично, поскольку сумма смежных углов всегда равна 180°. То же самое можно сказать, например, про углы $ACN$ и $ACM$ — они тоже смежные.

Остаётся лишь вариант вертикальных углов $ACN$ и $BCM$. Но эти углы вертикальные, что и требовалось доказать.

В последнем задании мы построили чертёж исходя из следующих соображений. Если искомые углы вертикальные (а именно это мы и пытаемся доказать), то они равны, и каждый из них будет равен 125°. Следовательно, речь идёт о тупых углах, поэтому именно тупые углы мы обозначили за $x$.

Помните: в геометрии важно построить правильный чертёж. И чем сложнее задачи, тем выше требования к качеству чертежей. Иначе на можно просто «не увидеть» алгоритм решения задачи.

Кроме того, в следующих уроках мы будем всё чаще отождествлять углы и их градусные меры. Абсолютно нормально писать и говорить «угол $ABC$ равен $x$» вместо «угол $ABC$ содержит $x$ градусов» — все прекрасно поймут, о чём речь.

Источник статьи: http://www.berdov.com/docs/treugolnik/vertikalnie-ugli/

Какие углы называются вертикальными: определение и свойства

Вертикальные углы — что это такое в геометрии, определение

Вертикальные углы – пара углов с общей вершиной, которые образованы при пересечении двух прямых таким образом, что стороны одного из них являются продолжением сторон другого. Иными словами – они противоположны.

Свойства вертикальных углов

  1. Когда две прямые пересекаются, то образуется две пары вертикальных углов.
  2. Синусы, косинусы и тангенсы их равны.
  3. В сумме два вертикальных угла создают полный угол. Его градус равняется 360^circ.

Равны или нет, доказательство теоремы

Особенность вертикальных углов в том, что они абсолютно идентичны.

Убедимся в справедливости этого свойства. Докажем его: на чертеже 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1 являются смежными, 1 и 3, 2 и 4 – вертикальные.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

По свойству смежных углов, в сумме они дают (180^circ) . Используем этот признак и получаем:

(angle1+angle2=180^circ и angle2+angle3=180^circ)

Уравнение доказало равенство углов 1 и 3.

Примеры решения задач

Задача 1

Найти: значения (angle2, angle3, angle4)

(angle1) и (angle3) вертикальные. Значит (angle1=angle3=45^circ.)

(angle1) и (angle4) смежные. По правилу о смежных углах:

Так как (angle4) и (angle2) вертикальные, то (angle4=angle2=135^circ.)

Ответ: величина (angle3=45^circ,) величина (angle2) и (angle4=135^circ.)

Задача 2

Две прямые пересеклись и сформировали четыре угла. Сумма двух из них составляет (140^circ.)

Найти: значения всех углов, образовавшихся при пересечении прямых.

Поскольку по условию пара углов образует (140^circ) , это дает право сделать вывод – они вертикальные, так как смежные в сумме должны достигать (180^circ) .

Так как вертикальные углы равны, то значение каждого из них соответствует:

Оставшиеся углы – смежные к вертикальным и вертикальные по отношению друг к другу. Для того, чтобы их вычислить, выполним следующее действие:

Ответ: (70^circ) , (110^circ) , (70^circ) , (110^circ) .

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/vertikalnyye-ugly

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Содержание

Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые

Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные.

Теорема 1. Сумма смежных углов равна 180°.

Доказательство. Луч ОВ (см. рис.1) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180° .

Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальные углы равны.

Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 2). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180°, ∠ COD + ∠ BOD = 180°.

Отсюда заключаем, что ∠ АОВ = ∠ COD.

Следствие 1. Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис.3). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис.3), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2, 1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: AC ⊥ BD.

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину.

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис.4). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x , тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х . Тогда градусная мера большего угла будет Зх . Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Отыскание смежных углов треугольника. Пример 5

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°.

Найдите величину угла ABC . Ответ дайте в градусах.

Источник статьи: http://wiki.eduvdom.com/subjects/geometry/%D1%81%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%B8_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D1%83%D0%B3%D0%BB%D1%8B

Вертикальные углы

В геометрии, два угла называются вертикальными, если они созданы пересечением двух прямых и не являются прилегающими. Такие углы имеют общую вершину. Они имеют одинаковую градусную меру и могут рассматриваться как равные.

Содержание

Теорема о вертикальных углах

Если две прямые пересекаются в точке, образуются четыре угла. Несмежные углы называются вертикальными или противоположно вертикальными углами. Также, каждая пара прилегающих углов образует прямую, а эти углы называются смежными [1] . Поскольку каждая пара вертикальных углов является смежными к прилегающим, то градусные меры вертикальных углов — равны.

Алгебраическое решение вертикальных углов

Например, угол A на рисунке — неизвестен. Обозначим A = x. Если два прилегающих угла образуют прямую, то они — смежные. Тогда, градусная мера C = 180 − x. Аналогично, градусная мера D = 180 − x. Углы C и D имеют одинаковую меру, которая равна 180 — x и являются вертикальными. Поскольку, угол B является смежным для обоих углов C и D, для того, чтобы вычислить размер B можно использовать градусную меру любого из них. Используя меру угла C или угла D, найдём градусную меру угла B = 180 — (180 — x) = 180—180 + x = x. Отсюда, оба угла A и B имеют г

См. также

Литература

Ссылки

  • Definition and properties of vertical angles With interactive applet
  • Angle definition pages with interactive applets that are also useful in a classroom setting. Math Open Reference

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое «Вертикальные углы» в других словарях:

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Большой Энциклопедический словарь

Вертикальные углы — пары углов с общей вершиной, образуемые при пересечении двух прямых так, что стороны одного угла являются продолжением сторон другого. На рис. две пары В. у. Рис. к ст. Вертикальные углы … Большая советская энциклопедия

вертикальные углы — см. Угол. * * * ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ, см. Угол (см. УГОЛ) … Энциклопедический словарь

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ — см. Угол … Естествознание. Энциклопедический словарь

углы геометрической видимости — Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор параллелен грунту. Эти сегменты… … Справочник технического переводчика

углы геометрической видимости — 2.12 углы геометрической видимости: Углы, определяющие зону минимального телесного угла, в которой должна быть видна видимая поверхность огня. Эта зона определяется сегментами сферы, центр которой совпадает с исходным центром огня, а экватор… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Инсоляционные углы светопроема — горизонтальные и вертикальные углы, в пределах которых на плоскости светопроема возможно поступление прямых солнечных лучей. При расчете инсоляционных углов глубина световых проемов принимается равной расстоянию от наружной плоскости стены до… … Официальная терминология

ГЕОМЕТРИЯ — раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

Угол — У этого термина существуют и другие значения, см. Угол (значения). Угол ∠ Размерность ° Единицы измерения СИ Радиан … Википедия

ГОСТ Р ИСО 12509-2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели — Терминология ГОСТ Р ИСО 12509 2010: Машины землеройные. Осветительные, сигнальные и габаритные огни и светоотражатели оригинал документа: 3.1.5 габаритная ширина (overall width): Расстояние между двумя вертикальными плоскостями объемного… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник статьи: http://dic.academic.ru/dic.nsf/ruwiki/838667

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Смежные и вертикальные углы. Аксиомы и теоремы

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

  • Понятие смежных и вертикальных углов
  • Свойства смежных и вертикальных углов
  • Отличие аксиомы от теоремы

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

  • Сумма смежных углов равна 180 0 .
  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.
  • Угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны.

Аксиома– положение, принимаемое без доказательств.

  1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7 – 9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
  1. Погорелов А. В. Геометрия: 7 – 9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте построим развёрнутый угол АОС и проведём в нём луч ОВ. В результате у нас получилось два угла ∠АОВ – острый угол и ∠ВОС– тупой угол. Стороны АО и ОС – продолжают друг друга, ВО– общая сторона. Углы АОВ и ВОС – это смежные углы. На основании этого сформулируем определение смежных углов.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга, называются смежными.

Обратите, внимание, что смежные углы АОВ и ВОС лежат на развёрнутом угле АОС. Отсюда можно сделать вывод: сумма смежных углов равна 180 о .

Свойство смежных углов: сумма смежных углов равна 180 о .

Давайте докажем это свойство.

Доказательство. Пусть углы ∠АОВ и ∠ВОС – смежные, луч ОВ – проходит между сторонами развёрнутого угла ∠АОС. Поэтому, сумма углов ∠АОВ и ∠ВОС равна ∠АОС, а этот угол развёрнутый, он равен 180 о . Свойство доказано.

Укажем ещё одно свойство смежных углов.

  • Если два угла равны, то и смежные с ними углы равны.

Сейчас давайте вспомним определение прямого угла: угол, равный 90 0 , называется прямым углом. Опираясь на свойство суммы смежных углов, можно сделать вывод: угол, смежный с прямым углом, есть прямой угол.

Теперь построим две пересекающиеся прямые, АС и BD. Посмотрите, при пересечении прямых у нас получилось четыре угла: ∠АОВ, ∠АОD, ∠CОD, ∠BОC. Из них попарно являются смежными углы: ∠АОВ и ∠АОD, ∠АОD и ∠CОD, ∠CОD и ∠BОC, ∠АОВ и ∠BОC.

Углы, которые не являются смежными:

∠АОВ и ∠CОD; ∠АОD и ∠BОC. Пары этих углов называются вертикальными углами.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство вертикальных углов: вертикальные углы равны. Убедимся в справедливости этого свойства, докажем его.

Доказательство. Посмотрим на чертёж: пары углов 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4, 4 и 1– смежные углы. Угол 2 одновременно является смежным с углом 1 и с углом 3. По свойству смежных углов

∠1+ ∠2= 180 0 и ∠3+ ∠2= 180 0 . Получаем, что ∠1+ ∠2= ∠3+ ∠2, значит, ∠1= ∠3. Углы ∠1 и ∠3 – вертикальные. Мы доказали справедливость этого свойства.

Свойства смежных и вертикальных углов, которые мы сегодня рассмотрели– в геометрии называются теоремами. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путём рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием аксиомы.

В чём же различие между аксиомой и теоремой? Ответ на этот вопрос таков: аксиома – положение, принимаемое без доказательств.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте.

Используя чертёж, найдите угол ∠ВОК.

Решение. Воспользуемся свойством смежных углов: сумма смежных углов равна 180 0 . По условию задачи ∠АОК= 11 0 , то ∠ВОК+ ∠АОК= 180 0

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор.

Используя чертёж, найдите угол ∠AOD.

Решение. На чертеже указано, что углы ∠СОЕ= ∠DOE. Значит, ∠COD= ∠СОЕ+ ∠DOE= 32 0 + 32 0 = 64 0 . ∠AOD смежный с углом ∠COD, по свойству смежных углов: ∠AOD= 180 0 –∠COD= 180 0 – 64 0 =116 0 .

№3. Тип задания: выделение цветом.

Используя чертёж, найдите градусную меру угла ∠BMD, если ∠AMD= 125 0 , ∠BMC= 115 0 .

Выделите верный ответ из списка:

Решение. По чертежу можно увидеть, что ∠BМD является частью ∠AMD и ∠BMC. Рассмотрим ∠DMC и ∠AMD. Эти углы – смежные, т.е. их сумма равна 180 0 . Значит, зная градусную меру ∠AMD, мы сможем найти градусную меру ∠DMC= 180 0 –∠AMD= 180 0 -–125 0 = 55 0 . Теперь рассмотрим ∠BMC= ∠BMD+ ∠DMC. Мы знаем градусные меры ∠BMC и ∠DMC, значит, мы сможем найти градусную меру ∠BMD.

Источник статьи: http://resh.edu.ru/subject/lesson/7287/conspect/

Презентация по геометрии смежные и вертикальные углы

Курс повышения квалификации

Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

Курс повышения квалификации

Система работы учителя математики по подготовке учащихся основной школы к математическим конкурсам и олимпиадам в рамках обновленного ФГОС ООО

«Формирование математической грамотности с целью развития общих компетенций»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Смежные и вертикальные углы

Повторение: дерево знаний
Что такое луч?
Какие лучи называются дополнительными?
Какой угол называется развёрнутым?
Как сравнить два угла?
Какой луч называется биссектрисой угла?
Что такое градусная мера угла?
Какой угол называется острым?
Прямым? Тупым?

СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Практическое задание:
Построить острый угол АОВ;
Провести луч ОС, являющийся продолжением луча ОА.
А
О
В
С
АОВ и
ВОС – смежные углы

Определение:
Два угла, называются смежными, если у них одна сторона общая, а две другие являются дополнительными лучами.
А
О
В
С

Свойство смежных углов
Какой угол АОС?
Чему равна градусная мера угла?
На какие углы делит луч ОВ этот угол?
Чему равна сумма этих углов?
А
О
С
B

ВЫВОД:
АОВ +
Сумма смежных углов равна 180˚

Найдите угол, смежный с углом, если:
а) АСО=15˚

ДАНО: BOC = KEF
СРАВНИТЕ AOB и KED

А
О
F
С
D
E
K
B
Свойство смежных углов
ВЫВОД:
Если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

Упражнения
Начертите три угла: острый, прямой, тупой. Для каждого из этих углов начертите смежный угол.
Решение:
Один из смежных углов прямой. Каким (острым, прямым, тупым) является другой угол?

Верно ли утверждение: если смежные углы равны, то они прямые?
Рассуждай:

A
C
B
O
K
D
Найдите угол между биссектрисами смежных углов.
Дано:
AOB и BOC – смежные;
OK и OD – биссектрисы.

Один из смежных углов на 320 больше другого.
Найдите величину каждого угла.
А
В
С
О
Дано:
АОВ и ВОС смежные,
АОВ — ВOС = 32°.

Решение:
Пусть  ВОС = х, тогда  АОВ = 32+х
По свойству смежных углов составим уравнение
x + (32+x) = 180
2x = 180 — 32
2x = 148
x= 74
Значит  ВОС = 74, а  АОВ = 32+74=106
Ответ:  АОВ = 106,  ВОС = 74
Пример оформления задач

ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Практическое задание:
построим острый угол;
выделим его дугой и обозначим цифрой 1;
построим продолжение сторон угла 1;
отметим дугой угол, стороны которого являются продолжением сторон угла 1 и обозначим его цифрой 2
1
2

Определение
Два угла, отличные от развернутого, называют вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого.

Свойство вертикальных углов

Вывод:
Вертикальные углы равны.
Два угла, смежные с одним и тем же углом, равны.

Упражнения
1. При пересечении двух прямых а и в сумма каких-то углов равна 60˚. Какие это углы?
Ответ: вертикальные углы, т.к. сумма смежных углов равна 180˚.
2. При пересечении двух прямых а и в разность каких-то углов равна 30˚. Какие это углы?
Ответ: смежные, т.к. разность вертикальных углов равна 0˚

Самостоятельная работа
I вариант

II вариант
а
b
45º
m
n
110º
При пересечении двух прямых известен один из углов. Найти остальные углы.

Итог урока:
Определение смежных и вертикальных углов
Если углы смежные, то …

Если углы вертикальные, то .

Т Е С Т
по теме
«Вертикальные и смежные углы»

1. Сумма смежных углов равна….
3600
900
1800
A
B
C

2. Как называется угол меньше 1800, но больше 900
острый
тупой
прямой
A
B
C

3. Чему равен угол, если смежный с ним равен 470?
1330
470
430
C
B
A

4. Какой угол образуют часовая и минутная стрелки часов, когда они показывают 6 часов?
тупой
развернутый
прямой
C
B
A

6. Найдите CBD на 200. Найти:ABC и . » width=»267″ height=»200″ onclick=»aa_changeSlideByIndex(35, 0, true)» >

A
C
B
D
Дано: ABC и CBD –смежные,
ABC >CBD на 200.
Найти:ABC и CBD.

N
M
K
P
Дано: KMP и MPN –смежные,
KMP = 3∙MPN.

13.07.2012
www.konspekturoka.ru
39
G
F
O
H
K
1360
?
Задача
Вычислите градусные меры углов, изображённых на чертеже.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 5 000 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

  • Опытные онлайн-репетиторы
  • Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
  • По всем школьным предметам 1-11 класс

Дистанционные курсы для педагогов

Видеолекции для
профессионалов

  • Свидетельства для портфолио
  • Вечный доступ за 120 рублей
  • 1 500+ видеолекции для каждого

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 049 703 материала в базе

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Добавить в избранное

  • 27.09.2015 2929
  • PPTX 1.7 мбайт
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Личутина Наталья Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Дистанционные курсы
для педагогов

Выдаём документы
установленного образца!

Учитесь с проверенными репетиторами

На какой факультет Хогвартса зачислит Вашего ребёнка распределяющая шляпа?

«Как правильно организовать образовательное пространство в школьной столовой?»

«Бинарный урок как средство обеспечения преемственности начального и основного общего образования»

«Технология критического мышления в условиях реализации ФГОС»

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник статьи: http://infourok.ru/prezentaciya-po-geometrii-smezhnie-i-vertikalnie-ugli-439903.html

Смежные и вертикальные углы

Если мы продолжим сторону какого-нибудь угла за его вершину, то получим два угла (рис. 72): ∠АВС и ∠СВD, у которых одна сторона ВС общая, а две другие, АВ и ВD, составляют прямую линию.

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие составляют прямую линию, называются смежными углами.

Смежные углы можно получить и таким образом: если из какой-нибудь точки прямой проведём луч (не лежащий на данной прямой), то получим смежные углы.

Например, ∠АDF и ∠FDВ — углы смежные (рис. 73).

Смежные углы могут иметь самые разнообразные положения (рис. 74).

Смежные углы в сумме составляют развёрнутый угол, поэтому сумма двух смежных углов равна 180°

Отсюда прямой угол можно определить как угол, равный своему смежному углу.

Зная величину одного из смежных углов, мы можем найти величину другого смежного с ним угла.

Например, если один из смежных углов равен 54°, то второй угол будет равен:

Если мы продолжим стороны угла за его вершину, то получим вертикальные углы. На рисунке 75 углы EOF и АОС— вертикальные; углы АОЕ и СОF — также вертикальные.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла.

Пусть ∠1 = (frac) ⋅ 90°(рис. 76). Смежный с ним ∠2 будет равен 180° — (frac) ⋅ 90°, т. е. 1(frac) ⋅ 90°.

Таким же образом можно вычислить, чему равны ∠3 и ∠4.

∠4 = 180° — (frac) ⋅ 90° = 1(frac) ⋅ 90° (рис. 77).

Можно решить ещё несколько таких же задач, и каждый раз будет получаться один и тот же результат: вертикальные углы равны между собой.

Однако, чтобы убедиться в том, что вертикальные углы всегда равны между собой, недостаточно рассмотреть отдельные числовые примеры, так как выводы, сделанные на основе частных примеров, иногда могут быть и ошибочными.

Убедиться в справедливости свойства вертикальных углов необходимо путём доказательства.

Доказательство можно провести следующим образом (рис. 78):

(так как сумма смежных углов равна 180°).

(так как и левая часть этого равенства равна 180°, и правая его часть тоже равна 180°).

В это равенство входит один и тот же угол с.

Если мы от равных величин отнимем поровну, то и останется поровну. В результате получится: ∠a = ∠b, т. е. вертикальные углы равны между собой.

3. Сумма углов, имеющих общую вершину.

На чертеже 79 ∠1, ∠2, ∠3 и ∠4 расположены по одну сторону прямой и имеют общую вершину на этой прямой. В сумме эти углы составляют развёрнутый угол, т. е.

На чертеже 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 и ∠5 имеют общую вершину. В сумме эти углы составляют полный угол, т. е. ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Источник статьи: http://razdupli.ru/teor/13_smezhnye-i-vertikalnye-ugly.php

Вертикальные углы

Построим на плоскости углы, смежные друг с другом, однако с небольшим «сюжетным твистом»: продолжим луч общей стороны в противоположную сторону. В итоге? Мы получили две пары смежных углов так, что располагаются эти пары на одной прямой. Знакомьтесь, перед вами — вертикальные углы, еще один важный вид составных углов в геометрии.

📚 В данном уроке:

  • какие углы называются вертикальными;
  • рассуждаем, как так получается, что вертикальные углы равны;
  • смежные и вертикальные углы — сходства и различия;
  • рассматриваем биссектрисы вертикальных углов.

Определение вертикальных углов

На прошлом уроке мы в шутку изобразили смежные углы соседями через стенку. Вертикальные углы же олицетворяют ситуацию, будто к смежным углам на этаж ниже заехали еще соседи, так же живущие через стенку.

Рассмотрим их немного с другого приложения. Как пару углов $angle$ и $angle$. Стороны одного угла являются дополнительными лучами к сторонам другого угла. Такое определение им и дадим.

Определение вертикальных углов:

Вертикальные углы — углы с общей вершиной, расположенные на плоскости так, что продолжения сторон одного угла являются сторонами другого.

Какие углы называются вертикальными: определение через прямые

Так как мы имеем две пары дополнительных друг к другу лучей, можно, с другой стороны, подметить, что вертикальные углы образуются в результате пересечения двух прямых. Пересечение двух прямых образует четыре угла (смежными парами).

«Вертикальные углы равны»

Присмотримся к парам вертикальных углов:

Создается сильное впечатление, что так парами они и будут равны. Определение вертикальных углов подобного свойства не подразумевает, поэтому сформулируем на основе нашего «сильного впечатления» теорему. И попробуем ее доказать.

Теорема о вертикальных углах. Вертикальные углы равны.

Доказательство

Рассмотрим произвольные вертикальные углы $angle<textcolor>$ и $angle<textcolor>$. Угол $angle<textcolor>$ является смежным и с $angle<textcolor>$, и $angle<textcolor>$. Воспользуемся следствием из теоремы о сумме смежных углов, гласящим, что у равных углов равны смежные с ними углы. Заключаем, что $angle<textcolor>=angle<textcolor>$ на основе общего смежного с ними угла $angle<textcolor>$.

То же самое можно заключить про пару углов $angle<textcolor>$ и $angle<textcolor>$. Для данной пары общим смежным углом является $angle<textcolor>$. Имеем попарное равенство:

Вертикальные углы равны. Что и требовалось доказать.

Смежные и вертикальные углы

Несмотря на общую точку старта, геометрически смежные и вертикальные углы отличаются друг от друга. Для того, чтобы почувствовать линию, их разделяющую, предлагаем ознакомиться с решением следующей задачи.

Задача. Сумма двух углов, образующихся при пересечении двух прямых, равна $60^circ$. Чему равняются данные углы?

Решение. При пересечении двух прямых можно рассмотреть как пару смежных, так и вертикальных углов. Сумма углов, заданных в условии, составляет $60^circ$. Смежными данные углы быть не могут, поскольку это нарушает условие теоремы о сумме смежных углов.

Значит, условием нам предложена сумма двух вертикальных углов. Теорема о вертикальных углах говорит, что вертикальные углы равны. Из этого следует, что градусная мера каждого угла составляет по $30^circ$:

Сумма вертикальных углов

Свойство вертикальных углов. Сумма вертикальных углов равна $360^circ$.

Сумма смежных углов — $180^circ$. Вертикальные углы — пара смежных «на соседних этажах», и сумма вертикальных углов складывается из двух сумм смежных углов — $360^circ$.

Внимание на чертеж выше: складывая углы, образующиеся в результате пересечения двух прямых, по порядку, мы действительно получаем полный угол.

Да и чисто математически работает:

👀 Где это может оказаться полезным?

Сумма вертикальных углов отлично выручает в различном типе задач. Например, условие: «Найдите углы, получающиеся при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна $270^circ$».

Можно пойти витиеватым путем. Составить систему уравнений:

Принцип Оккама — не множь сущности без необходимого. Здесь обходится и без длинного решения. Нам известна сумма трех углов: найдем разность $360^circ-270^circ$ и получим значение четвертого угла.

Если один из вертикальных углов прямой, то все остальные углы тоже прямые. Вот так, быстро, в мгновение ока вертикальные углы щелкаются как орешки. Поэтому, работая с пересекающимися прямыми, временами вспоминайте, что вертикальные углы равны в сумме полному углу.

Биссектрисы вертикальных углов

Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его пополам.

Так, на чертеже $AD$ является биссектрисой $angle.$

Биссектрисы еще не раз будут встречаться нам в курсе геометрии, — более тесное знакомство с ними начинается при изучении треугольников. А чтобы вы к тому времени не забыли, как такой луч называется, есть бородатый мнемонический трюк, который, даем гарантию, знает даже ваша бабушка!

🐀 Стишок про биссектрису

Биссектриса — это крыса:
Она скачет по углам,
Чтоб делить их пополам.

Биссектрисы вертикальных углов имеют особенность — они всегда располагаются на одной прямой. Далее мы приведем доказательство данной теоремы.

Теорема о биссектрисе вертикального угла. Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Доказательство

Рассмотрим произвольные вертикальные углы $angle$ и $angle$. Пусть $OL$ и $OM$ — биссектрисы данных вертикальных углов соответственно. Углы $angle$ и $angle$ равны как вертикальные, следовательно:

Поскольку градусные меры всех указанных выше углов равны, обозначим их на чертеже как $alpha$.

Рассмотрим углы $angle$ и $angle$. Так как они являются смежными, а $angle=2alpha$, про угол $angle$ можно заключить следующее:

Заметим, что сумма $angle$, $angle$ и $angle$ равна:

Если сумма $angle$, $angle$ и $angle$ составляет $180^circ$, угол $angle$ является развернутым. Тогда точки $L$, $O$ и $M$ располагаются на одной прямой.

Биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Источник статьи: http://obrazavr.ru/geometriya/7-klass-geometriya/geometry-basic-concepts/ugly-geomtriya/vertikalnye-ugly-2/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *