Меню

Как найти максимальное число в системе счисления



Задание 10 ОГЭ информатика по теме «Дискретная форма представления числовой, текстовой, графической и звуковой информации»

ОГЭ по информатике 10 задания объяснение

Двоичная система счисления

Количество цифр (основание системы): 2
Входящие цифры (алфавит): 0, 1

Перевод чисел из 10-й сист. сч-я в двоичную

Перевод чисел из 2-й сист. сч-я в 10-ую

При работе с большими числами, лучше использовать разложение по степеням двойки:

Разложение по степеням двойки

Восьмеричная система счисления

Количество цифр (основание системы): 8
Входящие цифры (алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Перевод чисел из 10-й сист. сч-я в 8-ую

Перевод чисел из 8-й системы счисления в 10-ую

Перевод из восьмеричной сист. сч-я в двоичную и обратно триадами

Шестнадцатеричная система счисления

Количество цифр (основание системы): 16
Входящие цифры (алфавит): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15)

Перевод из десятичной сист. сч-я в шестнадцатеричную

Перевод из 16-й сист. сч-я в 10-ую

Перевод из двоичной с. сч-я в шестнадцатеричную и обратно тетрадами

  • желательно выучить таблицу двоичного представления цифр от 0 до 7 в виде триад (групп из 3-х битов):
  • желательно знать таблицу двоичного представления чисел от 0 до 15 (в шестнадцатеричной с-ме – 0-F16) в виде тетрад (групп из 4-х битов):

Разбор 10 задания ОГЭ по информатике

Актуальное

Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

  • Последовательно переведем все данные числа в 10-ю систему счисления.
  • Первое число = 35.
  • Второе число = 26.
  • Треть число = 30. Наибольшее число — 35

Тренировочные

Переведите число 120 из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления. В ответе укажите двоичное число.

  • Так как перевод осуществляется в двоичную систему счисления, то используем деление на 2:
  • Перепишем все остатки снизу вверх, не забыв последний делитель 1 !
  • Получим двоичное число: 1111000

Ответ: 1111000

Переведите двоичное число 1101010 в десятичную систему счисления. В ответе укажите десятичное число.

  • Выполним быстрый перевод. Для начала над каждым разрядом исходного двоичного числа подпишем степени двойки справа налево:
  • Рассчитаем сумму тех степеней двоек, которые находятся над единичными разрядами:
  • Получим десятичное число: 106

Решение задания 10.4:

Сколько единиц в двоичной записи шестнадцатеричного числа 2AC116?

  • В шестнадцатеричной с-ме счисления числа от 10 до 15 представлены буквами латинского алфавита: A-10, B-11, C-12, D-13, E-14, F-15.
  • Необходимо вспомнить двоичные коды чисел от 1 до 15 (см. теорию выше на странице), так как для перевода 16-ричного в двоичную с-му достаточно каждую цифру отдельно записать в виде четверки двоичных цифр (тетрады):
  • в этой записи 6 единиц

Результат: 6

Подробный разбор 10 задания с объяснением просмотрите на видео:

Решение задания 10.4:

Сколько существует целых чисел x, для которых выполняется неравенство 2A16 ), то количество целых, удовлетворяющих условию:

  • Проверим: 43, 44, 45, 46, 47, 48
  • Результат: 6

    Подробное решение данного 1 задания из демоверсии ЕГЭ 2018 года смотрите на видео:

    Решение задания 10.5:

    Вычислите значение выражения AE16 – 1916.
    В ответе запишите вычисленное значение в десятичной системе счисления.

    Источник статьи: http://labs-org.ru/oge-10/

    Разбор 14 задания ЕГЭ по информатике

    Объяснение заданий 14 ЕГЭ по информатике

    14-е задание: «Операции в системах счисления»
    Уровень сложности — повышенный,
    Требуется использование специализированного программного обеспечения — нет,
    Максимальный балл — 1,
    Примерное время выполнения — 5 минут.

    Проверяемые элементы содержания: Знание позиционных систем счисления

    «Основные ошибки связаны с невнимательностью при выполнении арифметических действий
    в недесятичных системах счисления. Например, вычитания единицы в ситуации типа: 101000021«

    С основами темы можно ознакомиться в теории к заданию 1.

    Перевод числа из любой системы счисления в десятичную

    Чтобы перевести, например, 10045N , из системы счисления с основанием N в десятичную систему, нужно умножить значение каждой цифры на N в степени, равной разряду этой цифры:

    Особенности при переводах в разные системы счисления

    • последняя цифра (крайняя справа) в записи числа в системе счисления с основанием N – представляет собой остаток от деления этого числа на N :
    • две крайние справа цифры числа в системе счисления с основанием N – это остаток от деления этого числа на N² , и так далее:
    • десятичное число 10 N записывается как единица и N нулей:

    тогда как десятичное число 2 N в двоичной системе записывается как единица и N нулей:

    а десятичное число 3 N записывается в троичной системе в виде единицы и N нулей:

    можно сделать аналогичные выводы для любой системы счисления с основанием a ; общее правило:

    тогда как десятичное число 2 N -1 в двоичной системе записывается как N единиц:

    а десятичное число 3 N -1 записывается в троичной системе как N двоек:

    значит есть общее правило: число a N -1 в системе счисления с основанием a записывается как N старших цифр этой системы, то есть, цифр (a-1)

    тогда как десятичное число 2 N – 2 K при K в двоичной системе записывается как N – K единиц и K нулей:

    то есть, существует общее правило:



    Решение заданий 14 ЕГЭ по информатике

    Плейлист видеоразборов задания на YouTube:
    Задание демонстрационного варианта 2022 года ФИПИ

    Определите наибольшее/наименьшее значение x, y

    Операнды арифметического выражения записаны в системе счисления с основанием 15.

    В записи чисел переменной x обозначена неизвестная цифра из алфавита 15-ричной системы счисления. Определите наименьшее значение x , при котором значение данного арифметического выражения кратно 11. Для найденного значения x вычислите частное от деления значения арифметического выражения на 11 и укажите его в ответе в десятичной системе счисления. Основание системы счисления в ответе указывать не нужно.

    uses school; begin foreach var x in ‘0123456789abcde’ do begin var a := dec(’82’+ x +’19’, 15); var b :=dec(‘6′ + x +’073’, 15); var sum := a — b; if sum mod 11 = 0 then begin print(sum / 11); break; end end; end.

    Ответ: 7806

    Сколько цифр или сумма цифр

    Значение арифметического выражения

    записали в системе счисления с основанием 7.
    Найдите сумму цифр получившегося числа и запишите её в ответе в десятичной системе счисления.

    begin var x,s: Biginteger; x := 43*Biginteger.Pow(7, 103) — 21*Biginteger.Pow(7, 57) + 98; // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч. s:=0; while x > 0 do begin s:=s+ x mod 7; // добавляем цифру правого разряда x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч. end; println(s); end.

    uses school; begin var n: bigInteger; n := 43 * Biginteger.Pow(7, 103) — 21 * Biginteger.Pow(7, 57) + 98; print(n.ToString.ToBase(7).CountOf(‘1’) + n.ToString.ToBase(7).CountOf(‘2’) * 2 + n.ToString.ToBase(7).CountOf(‘3’) * 3 + n.ToString.ToBase(7).CountOf(‘4’) * 4 + n.ToString.ToBase(7).CountOf(‘5’) * 5 + n.ToString.ToBase(7).CountOf(‘6’) * 6); end.

    x = 43*7**103 — 21*7**57 + 98 s = 0 # в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч. while x: s+= x % 7 # добавляем цифру к сумматору x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч. print( s )

    Результат: 276

    Значение арифметического выражения:
    2 1024 + 4 64 — 64
    записали в системе счисления с основанием 2.

    Сколько цифр «1» содержится в этой записи?

    begin var k := 0; var x: Biginteger; x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) — 64; // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч. while x > 0 do begin if x mod 2 = 1 then k += 1; // если цифра = 1, то считаем ее x := x div 2; // убираем разряд числа в 2-й системе сч. end; println(k); end.

    uses school; begin var x: bigInteger; x := Biginteger.Pow(2, 1024) + Biginteger.Pow(4, 64) — 64; print(x.ToString.ToBase(2).CountOf(‘1’)); end.

    x = 2**1024 + 4**64 — 64 k = 0 # в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 2-й системе сч. while x: if x % 2 == 1: # если цифра = 1, то считаем ее k += 1 x //= 2 # убираем разряд числа в 2-й системе сч. print( k )

    ✎ Решение теоретическое:

    Результат: 123

    Также можно посмотреть видео решения 14 задания ЕГЭ по информатике (аналитическое решение):

    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Значение арифметического выражения:
    49 10 + 7 30 – 49
    записали в системе счисления с основанием 7.

    Сколько цифр «6» содержится в этой записи?

    begin var x: Biginteger; x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) — 49; // в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч. var k:=0; while x > 0 do begin if x mod 7 = 6 then k+=1; // если цифра = 6, то считаем ее x := x div 7; // убираем разряд числа в 7-й системе сч. end; println(k); end.

    uses school; begin var x: bigInteger; x := Biginteger.Pow(49, 10) + Biginteger.Pow(7, 30) — 49; print(x.ToString.ToBase(7).CountOf(‘6’)); end.

    x = 49**10 + 7**30 — 49 k = 0 # в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 7-й системе сч. while x: if x % 7 == 6: # если цифра = 6, то считаем ее k += 1 x //= 7 # убираем разряд числа в 7-й системе сч. print( k )

    ✎ Решение теоретическое:

    • Приведем все числа к степеням 7:
    • Расставим операнды выражения в порядке убывания степеней:
    • Вспомним две формулы для работы со системами счисления:
    • Переведем первое число согласно формуле 1:
    • В данном числе нет цифры 6, как и в остальных числах.
    • Цифра 6 появляется при выполнении вычитания.
    • Подсчитаем все «6», используя формулу 2:
    • Получаем шестерок: 18

    Результат: 18

    Подробное решение 14 задания демоверсии ЕГЭ смотрите на видео (аналитическое решение):

    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Значение арифметического выражения:
    4 500 + 3*4 2500 + 16 500 — 1024
    записали в системе счисления с основанием 4.

    Сколько цифр «3» содержится в этой записи?

    uses school; begin var x: bigInteger; x := Biginteger.Pow(4,500) + 3*Biginteger.Pow(4,2500) + Biginteger.Pow(16,500) — 1024; print(x.ToString.ToBase(4).CountOf(‘3’)); end.

    x = 4**500 + 3*4**2500 + 16**500 — 1024 k = 0 # в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 4-й системе сч. while x: if x % 4 == 3: # если цифра = 3, то считаем ее k += 1 x //= 4 # убираем разряд числа в 4-й системе сч. print( k )

    Результат: 496

    Подробное решение данного 14 задания ЕГЭ по информатике можно посмотреть на видео (аналитическое решение):

    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Значение арифметического выражения: 8 1024 + 8 32 – 65 – записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» содержится в этой записи?

    uses school; begin var x: bigInteger; x := Biginteger.Pow(8,1024) + Biginteger.Pow(8,32) — 65; print(x.ToString.ToBase(8).CountOf(‘7’)); end.

    x = 8**1024 + 8**32 — 65 k = 0 # в получившемся числе рассматриваем каждую цифру в 8-й системе сч. while x: if x % 8 == 7: # если цифра = 7, то считаем ее k += 1 x //= 8 # убираем разряд числа в 8-й системе сч. print( k )

    ✎ Решение теоретическое:

    • Приведем все числа к степеням восьмерки:
    • Получаем:
    • Вспомним две формулы для работы с системами счисления:
    • Переведем первое число согласно формуле 1:
    • В данном числе нет цифры 7, как и в остальных числах.
    • Цифра 7 появляется при выполнении вычитания. У нас два таких действия, идущих подряд. Это неудобно. Необходимо, чтобы действия чередовались (a + b — c + d — e. )
    • Вспомним еще одну формулу:
    • В нашем случае заменим часть выражения:
    • Получили чередование операций «+» и «-«.
    • Теперь посчитаем все «7», используя формулу 2:
    • Получаем семерок: 31

    Результат: 31

    Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 4 350 + 8 340 – 2 320 – 12 ?

    begin var b2 := biginteger(2); var numb := (2 * b2) ** 350 + (4 * b2) ** 340 — (1 * b2) ** 320 — 12; var digit: biginteger; var n := 0; while numb > 0 do begin digit := numb mod 2; if digit = 0 then n += 1; numb := numb div 2 end; print(n) end.

    uses school; begin var x: bigInteger; x := Biginteger.Pow(4,350) + Biginteger.Pow(8,340) — Biginteger.Pow(2,320) — 12; print(x.ToString.ToBase(2).CountOf(‘0’)); end.

    x = 4**350 + 8**340 — 2**320 — 12 print(x) k = 0 while x: if x % 2 == 0: k += 1 x //= 2 print( k )

    ✎ Решение теоретическое:

  • По возможности приведем каждое слагаемое к степеням 2. Получим:
  • Далее рассуждаем так: количество нулей можно найти, если из общего количества цифр в результирующем числе вычесть количество не нулей (любых других цифр).
  • Расположим операнды по убыванию:
  • Наибольшее число 2 1020 , в нем 1021 разряд в двоичной с.с. (одна единица и 1020 нулей). То есть всего 1021 знаков.
  • Для того, чтобы избежать два подряд идущих минуса, воспользуемся правилом -2 n = -2 n+1 +2 n и преобразуем выражение:
  • Посчитаем количество не нулей в каждом операнде:
  • Получаем нулей:

    Результат: 324

    Найти основание системы счисления и уравнения

    Укажите, сколько всего раз встречается цифра 2 в записи чисел 13, 14, 15, …, 23 в системе счисления с основанием 3.

    • Для начала достаточно перевести первое и последнее число предложенного интервала в троичную систему счисления. Сделаем это:
    • Теперь добавим промежуточные числа в троичной системе счисления (прибавляя единицу к каждому очередному полученному числу), не забывая, что в троичной системе всего три цифры (0, 1 и 2):
    • На всякий случай стоит посчитать количество полученных чисел и сравнить их с количеством чисел в исходной последовательности.
    • Теперь осталось посчитать количество цифр 2 в полученной последовательности. Их 13 :

    В ответе укажите значение переменной N.

    • Разделим уравнение на три части и вычислим каждую часть отдельно (выделим части разным цветом):
    • Используем формулу разложения числа по степеням основания:
    • Выполним то же самое для остальных двух частей:
    • Подставим результаты всех частей в уравнение:

    Результат: 9

    Найдите основание системы счисления, в которой выполнено сложение:

    • Вместо обозначения искомой системы счисления введем неизвестное x:
    • Запишем формулу перевода в десятичную систему счисления каждого из слагаемых и сумму исходного равенства:
    • Упростим полученное уравнение:
    • Решим уравнение:

    В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 68 и 94 заканчиваются на 3. Определите основание системы счисления.

    Некоторое число X из десятичной системы счисления перевели в системы счисления с основаниями 16, 8. Часть символов при записи утеряна. Позиции утерянных символов обозначены * :

    Сколько чисел соответствуют условию задачи?

    • Данные числа с утерянными символами переведем из 16-й и из 8-й системы счисления в двоичную. Перевод будем делать триадами и тетрадами, неизвестные позиции оставим пустыми:
    • Сопоставим известные и неизвестные биты в обеих получившихся масках:
    • Неизвестными остались 7-й и 8-й бит. Они не могут быть одновременно нулями, так как для *0*8 тогда исчезнет старший разряд. Поэтому оставшиеся варианты будут такими:
    • Итого 3 варианта.

    Предлагаем посмотреть видео решения данного 14 задания ЕГЭ (аналитическое решение):

    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 75 оканчивается на 13.

  • Остаток должен быть равен 3 (последнее число в неизвестной системе), а частное должно равняться 1 (предпоследнее число в неизвестной системе):
  • Таким образом, мы получили одно из искомых оснований (72).

  • Искомое оканчивается на цифру 3, значит:
  • и далее, частное от деления — 1 (предпоследнее число):
  • Получаем два равенства (систему уравнений):
  • Подставим y из второго равенства в первое:
  • Выразим z:
  • Учитывая то, что z — целое неотрицательное число, то 72 — N должно быть кратно N 2 , т.е. в числителе не может быть простого числа.
  • Простое число 67 получается путем вычитания из 72 числа 5. Соответственно, 5 нам не подходит: N ≠ 5:
  • Еще одно простое число — 71 получится при вычитании 72 — 1. Единица не подходит, так как при переводе в конце числа никак не останется 13: N ≠ 1.
  • Раз в знаменателе N 2 , то отбросим все числа, квадрат которых больше 72: 9, 10, . и т.д. до бесконечности: N = 4
  • Проверим оставшиеся варианты — 4, 6, 7, 8:
  • Результат: 8,72

    Видеоразбор решения (аналитический способ):

    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Выражение 2 5 *3 25 записано в троичной системе счисления. Определите, сколько в этой записи цифр 0, 1 и 2.

  • Первый сомножитель:
  • Для рассмотрения второго сомножителя будем использовать правило:

  • Получим:
  • Выполним произведение, но для простоты счета, представим, что нулей не 25, а только 3:
  • В исходном числе было 3 нуля, стало 4. Значит если было 25 нулей, то станет 25 + 1 = 26.
  • Единиц = 2, двоек = 1.
  • Ответ: «0»=26, «1»=2, «2»=1

    Смотрите видео разбора на нашем канале (аналитическое решение):
    📹 YouTube здесь
    📹 Видеорешение на RuTube здесь

    Источник статьи: http://labs-org.ru/ege-14/

    Сравнение чисел в различных системах счисления. (№10 в ЕГЭ по Информатике)

    В данном файле предоставлена теория на тему «Сравнение чисел в различных системах счисления«. Так же в файле есть пара примеров для решения задач по теме.

    Данное задание есть в ЕГЭ по информатике под номер 10

    Просмотр содержимого документа
    «Сравнение чисел в различных системах счисления. (№10 в ЕГЭ по Информатике)»

    Сравнение чисел в различных системах счисления.

    Двоичные числа – каждая цифра обозначает значение одного бита (0 или 1), старший бит всегда пишется слева, индекс обозначает основание системы счисления. Например, .

    В восьмеричной системе счисления используется восемь знаков-цифр (от 0 до 7).

    Десятичные числа – наиболее привычные для обычного человека в повседневной жизни (от 0 до 9). Обозначаются индексом 10. Например, .

    Шестнадцатеричная система счисления, так же как восьмеричная, широко используется в компьютерной науке из-за простоты перевода в нее двоичных чисел. В случае шестнадцатеричной записи числа получаются более компактными. В качестве алфавита шестнадцатеричной системы счисления используются цифры от 0 до 9 и шесть первых латинских букв – A, B, C, D, E, F.

    Для того чтобы сравнить числа в различных системах счисления, необходимо выполнить перевод из различных систем счисления в десятичную.
    Для перевода чисел в десятичную систему счисления выполняют развернутую запись исходного числа.

    Перевод из двоичной в десятичную.

    В двоичной системе счисления с увеличением значения количество разрядов растет очень быстро. Как определить, что значит двоичное число 10001001? Нам сложно понять, сколько это, мы привыкли мыслить в десятичной системе. Поэтому часто используется перевод двоичных чисел в десятичные.

    В десятичной системе счисления любое число можно представить в форме суммы единиц, десяток, сотен и так далее. Например:

    Можно пойти еще дальше и разложить число, используя основание системы счисления, возводимое в показатель степени, равный разряду цифры, уменьшенному на единицу:

    5476 = 5 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

    После равенства числа 5, 4, 7 и 6 – это набор цифр, из которых состоит число 5476. Все эти цифры умножаются на десять, возведенную в ту или иную степень. Десять – это основание десятичной системы счисления. Степень, в которую возводится десятка – это разряд цифры за минусом единицы. Так, например, 6 находится в первом разряде, поэтому она умножается на 10. Натуральное число в нулевой степени равно единице. Таким образом, мы умножаем 6 на 1.

    Точно также производится разложение числа в двоичной системы счисления, кроме того, что основанием выступает двойка, а не десятка. Здесь до знака равенства число представлено в двоичной системе счисления, после «равно» запись идет в десятичной:

    10001001 = 1 * + 0 * + 0 * + 0 * + 1 * + 0 * + 0 * + 1 *

    Результат вычислений дает десятичное число, количественно равное двоичному 10001001:

    1*27 + 0*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 0*21 + 1*20 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

    То есть число 10001001 по основанию 2 равно числу 137 по основанию 10:

    =

    Перевод из восьмеричной в двоичную.

    Для преобразования двоичного числа в восьмеричное надо разбить его на тройки цифр и заменить каждую тройку соответствующей ей одной цифрой из восьмеричной системы счисления. Разбивать двоичное число на тройки следует с конца, а вместо недостающих цифр в начале можно записать нули.

    1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

    В примере число 1011101 в двоичной системе приводится к числу 135 в восьмеричной системе счисления.

    =

    Как перевести восьмеричное число в десятичное? Здесь действует тот же алгоритм, как при преобразовании двоичного числа в десятичное. Однако в случае восьмеричного числа за основание степени берется десятичное число 8:

    Перевод из шестнадцатеричную в десятичную.

    Перевод из шестнадцатеричной системы счисления в десятичную выполняется аналогично переводу из двоичной и восьмеричной. Только здесь в качестве основания степени выступает число 16, а цифры от A до F заменяются десятичными числами от 10 до 15.

    Максимальное двухразрядное число, которое можно получить с помощью шестнадцатеричной записи, – это число FF.

    Перевод из десятичной в двоичную

    О дним из алгоритмов перевода десятичного числа в двоичное является деление нацело на два с последующим «сбором» двоичного числа из остатков. Переведем разобранное уже нами число 137 в двоичное представление.

    Получаем, что

    Преобразование десятичного числа в восьмеричное также похоже на перевод в двоичное, за исключением того, что делить надо на 8

    Для перевода чисел из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную используют тот же «алгоритм замещения», что и при переводе из десятичной системы счисления в двоичную и восьмеричную, только в качестве делителя используют 16

    Перевод двоичного в шестнадцатеричную

    При переводе двоичного числа в шестнадцатеричное, первое разбивается на группы по четыре разряда, начиная с конца. В случае, если количество разрядов не кратно четырем, первая четверка дописывается нулями впереди. Каждой четверке соответствует одноразрядное число шестнадцатеричной системы счисления.

    Источник статьи: http://multiurok.ru/index.php/files/sravnenie-chisel-v-razlichnykh-sistemakh-schisle-1.html

    Основы систем счисления

    Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений. Тем не менее, часто использовал 2-, 8-, 10-, 16-ю системы, переводил одну в другую, но делалось все на “автомате”. Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

    Введение

    Система счисления — это способ записи (представления) чисел.

    Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палецзарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки

    Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

    Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.

    Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.

    Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.

    Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.

    Непозиционные системы

    Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

    Единичная система счисления

    Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.
    Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.

    Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

    Древнеегипетская десятичная система

    В Древнем Египте использовались специальные символы (цифры) для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7 . Вот некоторые из них:

    Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В Египте — выбрали группировку по 10, оставив без изменений цифру “1”. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени.

    Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих
    символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз. Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число 345:

    Вавилонская шестидесятеричная система

    В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: “прямой” клин — для обозначения единиц и “лежачий” — для десятков. Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего. В качестве примера возьмем число 32:

    Число 60 и все его степени так же обозначаются прямым клином, что и “1”. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной.
    Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием 60. Число 92:

    Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль. Представление числа 92 могло обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа:

    Теперь число 3632 следует записывать, как:

    Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе. Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд.

    Римская система

    Римская система не сильно отличается от египетской. В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000 используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

    Методы определения значения числа:

    1. Значение числа равно сумме значений его цифр. Например, число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
    2. Если слева от большей цифры стоит меньшая, то значение равно разности между большей и меньшей цифрами. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших» может стоять только X(10), перед D(500) и M(1000) — только C(100), перед V(5) — только I(1); число 444 в рассматриваемой системе счисления будет записано в виде CDXLIV = (D-C)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
    3. Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты.

    Помимо цифирных, существуют и буквенные (алфавитные) системы счисления, вот некоторые из них:
    1) Славянская
    2) Греческая (ионийская)

    Позиционные системы счисления

    Как упоминалось выше — первые предпосылки к появлению позиционной системы возникли в древнем Вавилоне. В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы. По каким-то причинам, в Европе за этой системой закрепилось название “арабская”.

    Десятичная система счисления

    Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде (позиции) может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число 10.

    Для примера возьмем число 503. Если бы это число было записано в непозиционной системе, то его значение равнялось 5+0+3 = 8. Но у нас — позиционная система и значит каждую цифру числа необходимо умножить на основание системы, в данном случае число “10”, возведенное в степень, равную номеру разряда. Получается, значение равно 5*10 2 + 0*10 1 + 3*10 0 = 500+0+3 = 503. Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса. Таким образом, 503 = 50310.

    Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, 16-ая системы.

    Двоичная система счисления

    Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам 10-ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины. Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Тем не менее, рассматриваемая система была создана за долго до изобретения вычислительных машин и уходит “корнями” в цивилизацию Инков, где использовались кипу — сложные верёвочные сплетения и узелки.

    Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа (цифры): 0 и 1. В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1.

    Примером может служить число 101. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Для того, чтобы перевести из 2-й в 10-ю необходимо умножить каждую цифру двоичного числа на основание “2”, возведенное в степень, равную разряду. Таким образом, число 1012 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 510.

    Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в 10-й системе. Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1?

    Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами (кодами), необходимо чтобы они где-то хранились. Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе. А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство (АЛУ). Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют. Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек (регистров), в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и 16-ричной системах (о них будет рассказано ниже), поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто. Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к 16-ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими. В качестве примера возьмем число 1011002. В восьмеричной — это 101 100 = 548, а в шестнадцатеричной — 0010 1100 = 2С16. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов (нулей и единиц). Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов (например, Unicode, позволяющая закодировать 65536 символов), определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране. Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране.

    Восьмеричная система счисления

    8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7.

    Пример восьмеричного числа: 254. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8 n , где n — это номер разряда. Получается, что 2548 = 2*8 2 + 5*8 1 + 4*8 0 = 128+40+4 = 17210.

    Шестнадцатеричная система счисления

    Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: #FFFFFF — белый цвет. Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно.

    В качестве примера возьмем число 4F516. Для перевода в восьмеричную систему — сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа. 4F516 = (100 1111 101)2. Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: 0100 1111 0101. Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: 0100 1111 0101 = 010 011 110 101. Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2 n , где n — номер разряда: (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 ) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) (1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 ) = 23658.

    Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например:
    1) Троичная
    2) Четверичная
    3) Двенадцатеричная

    Позиционные системы подразделяются на однородные и смешанные.

    Однородные позиционные системы счисления

    Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.

    Смешанные системы счисления

    К уже приведенному определению можно добавить теорему: “если P=Q n (P,Q,n – целые положительные числа, при этом P и Q — основания), то запись любого числа в смешанной (P-Q)-ой системе счисления тождественно совпадает с записью этого же числа в системе счисления с основанием Q.”

    Опираясь на теорему, можно сформулировать правила перевода из P-й в Q-ю системы и наоборот:

    1. Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе.
    2. Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.

    Яркий пример — перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. Возьмем двоичное число 100111102, для перевода в восьмеричное — разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: 010 011 110, теперь умножим каждый разряд на 2 n , где n — номер разряда, 010 011 110 = (0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) (0*2 2 +1*2 1 +1*2 0 ) (1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 ) = 2368. Получается, что 100111102 = 2368. Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: 2368 = (10 011 110)2-8.

    Смешанными системами счисления также являются, например:
    1) Факториальная
    2) Фибоначчиева

    Перевод из одной системы счисления в другую

    Иногда требуется преобразовать число из одной системы счисления в другую, поэтому рассмотрим способы перевода между различными системами.

    Преобразование в десятичную систему счисления

    Имеется число a1a2a3 в системе счисления с основанием b. Для перевода в 10-ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на b n , где n — номер разряда. Таким образом, (a1a2a3)b = (a1*b 2 + a2*b 1 + a3*b 0 )10.

    Пример: 1012 = 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 4+0+1 = 510

    Преобразование из десятичной системы счисления в другие

    Целая часть:

    1. Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.
    2. Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка.

    Дробная часть:

    1. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Отделяем целую часть. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0.
    2. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

    Пример: переведем 1510 в восьмеричную:
    158 = 1, остаток 7
    18 = 0, остаток 1

    Записав все остатки снизу вверх, получаем итоговое число 17. Следовательно, 1510 = 178.

    Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы

    Для перевода в восьмеричную — разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями. Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2 n , где n — номер разряда.

    В качестве примера возьмем число 10012: 10012 = 001 001 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1) = 118

    Для перевода в шестнадцатеричную — разбиваем двоичное число на группы по 4 цифры справа налево, затем — аналогично преобразованию из 2-й в 8-ю.

    Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную

    Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 (более подробно о делении см. выше пункт “Преобразование из десятичной системы счисления в другие”), недостающие крайние разряды заполним ведущими нулями.

    Для примера рассмотрим число 458: 45 = (100) (101) = 1001012

    Перевод из 16-ой в 2-ю — преобразуем каждый разряд шестнадцатеричного числа в двоичное 4-х разрядное число делением на 2, недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

    Преобразование дробной части любой системы счисления в десятичную

    Преобразование осуществляется также, как и для целых частей, за исключением того, что цифры числа умножаются на основание в степени “-n”, где n начинается от 1.

    Пример: 101,0112 = (1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 -1 + 1*2 -2 + 1*2 -3 ) = (5), (0 + 0,25 + 0,125) = 5,37510

    Преобразование дробной части двоичной системы в 8- и 16-ую

    Перевод дробной части осуществляется также, как и для целых частей числа, за тем лишь исключением, что разбивка на группы по 3 и 4 цифры идёт вправо от десятичной запятой, недостающие разряды дополняются нулями справа.

    Пример: 1001,012 = 001 001, 010 = (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ) (0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 ), (0*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 ) = (0+0+1) (0+0+1), (0+2+0) = 11,28

    Преобразование дробной части десятичной системы в любую другую

    Для перевода дробной части числа в другие системы счисления нужно обратить целую часть в ноль и начать умножение получившегося числа на основание системы, в которую нужно перевести. Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив (записав) значение получившейся целой части. Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль.

    Для примера переведем 10,62510 в двоичную систему:
    0,625*2 = 1,25
    0,250*2 = 0,5
    0,5*2 = 1,0
    Записав все остатки сверху вниз, получаем 10,62510 = (1010), (101) = 1010,1012

    Источник статьи: http://habr.com/ru/post/124395/

    Разбор задания №10 ОГЭ по информатике

    Разбор задания 10 ОГЭ по информатике. Сравнение чисел в различных системах счисления

    Просмотр содержимого документа
    «Разбор задания №10 ОГЭ по информатике»

    Задания 10. Сравнение чисел в различных системах счисления

    Задание 10 Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно. 23 16 , 32 8 , 11110 2 .

    Решение. Переведём все числа в десятичную систему счисления:

    23 16 = 2∙16 1 +3∙16 0 = 32+3 = 35 10

    32 8 = 3∙8 1 +2∙8 0 = 24+2 = 26 10

    11110 2 = 1∙2 4 +1∙2 3 +1∙2 2 +1∙2 1 +0∙2 0 = 16+8+4+2+0 = 30 10

    Таким образом, наибольшим среди этих трёх чисел является число 35.

    Задание 10 Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно. 50 16 , 106 8 , 1001010 2 .

    Решение. Переведём все числа в десятичную систему счисления:

    50 16 = 5∙16 1 +0∙16 0 = 80+0 = 80 10

    106 8 = 1∙8 2 +0∙8 1 +6∙8 0 = 64+0+6 = 70 10

    1001010 2 = 1∙2 6 +0∙2 5 +0∙2 4 +1∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 +0∙2 0 = 64+0+0+8+0+2+0 = 74 10

    Таким образом, наибольшим среди этих трёх чисел является число 80.

    Задание 10 Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно. 67 16 , 150 8 , 1101000 2 .

    Решение. Переведём все числа в десятичную систему счисления:

    67 16 = 6∙16 1 +7∙16 0 = 96+7 = 103 10

    150 8 = 1∙8 2 +5∙8 1 +0∙8 0 = 64+40+0 = 104 10

    1101000 2 = 1∙2 6 +1∙2 5 +0∙2 4 +1∙2 3 +0∙2 2 +0∙2 1 +0∙2 0 = = 64+32+0+8+0+0+0 = 104 10

    Таким образом, наименьшим среди этих трёх чисел является число 103.

    Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.

    Решение. Переведём все числа в десятичную систему счисления:

    81 16 = 8∙16 1 +1∙16 0 = 128+1 = 129 10

    203 8 = 2∙8 2 +0∙8 1 +3∙8 0 = 128+0+3 = 131 10

    1111111 2 =1∙2 6 +1∙2 5 +1∙2 4 +1∙2 3 +1∙2 2 +1∙2 1 +1∙2 0 = 64+32+16+8+4+2+1=127 10

    Таким образом, наименьшим среди этих трёх чисел является число 127.

    Задание 10 Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите минимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления. В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно. 14 16 , 17 8 , 10011 2 .

    Решение. Переведём все числа в десятичную систему счисления:

    14 16 = 1∙16 1 +4∙16 0 = 16+4 = 20 10

    17 8 = 1∙8 1 +7∙8 0 = 8+7 = 15 10

    10011 2 = 1∙2 4 +0∙2 3 +0∙2 2 +1∙2 1 +1∙2 0 = 16+0+0+2+1 = 19 10

    Таким образом, наименьшим среди этих трёх чисел является число 15.

    Источник статьи: http://multiurok.ru/files/razbor-zadaniia-10-oge-po-informatike.html

    Сравнение чисел в различных системах счисления

    Курс профессиональной переподготовки

    Информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации

    Курс профессиональной переподготовки

    Администрирование систем управления базами данных инфокоммуникационных систем

    Курс повышения квалификации

    Интернет-технологии и социальные сети как средство учебной коммуникации

    «Креативные инструменты в PowerPoint»

    Описание презентации по отдельным слайдам:

    Тема: Сравнение чисел в
    различных системах счисления
    Кузнецова С.В
    учитель информатики
    МОУ «СОШ №16»
    Энгельсский муниципальный район
    2022 год

    Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.
    2316, 328, 111102.
    В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.
    Чтобы выполнить задание нужно знать:
    Что такое система счисления
    Что такое основание системы счисления
    Что такое алфавит системы счисления
    Чтобы выполнить задание нужно уметь:
    Переводить число в систему счисления с основанием р
    Переводить число в десятичную систему счисления

    Что такое система счисления?
    — Способ наименования и записи чисел.
    Системы счисления

    ПОЗИЦИОННЫЕ НЕПОЗИЦИОННЫЕ
    Значение цифры зависит от позиции, на которой она записана
    123, 2 – количество десятков
    12, 2 – количество единиц
    Значение цифры не зависит от позиции, на которой она записана
    XXII, X – количество десятков
    XV, X – количество десятков
    Далее рассматриваем только ПОЗИЦИОННЫЕ системы счисления

    Что такое основание системы счисления?
    — это количество различных знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.
    2316 — основание 16
    328 – основание 8
    111102 – основание 2

    Что такое алфавит системы счисления?
    — совокупность знаков или символов (цифр), используемых для отображения чисел в данной системе.

    Алфавит СС10 : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
    Алфавит СС2 : 0,1
    Алфавит СС5 : 0,1,2,3,4
    Алфавит СС8 : 0,1,2,3,4,5,6,7
    Алфавит СС16 : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F

    6
    Перевод целых чисел
    Двоичная система:
    Алфавит: 0, 1
    Основание (количество цифр): 2
    1910  Х2
    100112  Х10
    19
    2
    9
    18
    1
    2
    4
    8
    1
    2
    2
    4
    0
    2
    1
    2
    0
    2
    0
    0
    1
    19 = 100112
    система счисления
    100112
    4 3 2 1 0
    разряды
    = 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
    = 16 + 2 + 1 = 19

    7
    Метод подбора
    10  2
    77 = 64 +
    77
    77
    64
    Разложение по степеням двойки:
    77 = 26 + 23 + 22 + 20
    + 8 + …
    + 4 + …
    + 1
    77 = 10011012
    6 5 4 3 2 1 0
    разряды
    наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
    77 = 126 + 025 + 024 + 123 +122 +021 + 1 20
    13
    13
    5
    1
    5
    1
    8
    4
    1

    1) Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления
    2316, 328, 111102.
    В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно
    2316 = 2*161+3*160 = 32+3 = 35
    1 0
    328 = 3*81+2*80 = 24+2 = 26
    1 0
    111102 = 1*24+1*23 + 1*22+1*21 +0*20 = = 16 +8 + 4 +2 = 30
    4 3 2 1 0
    Ответ: 35

    2) Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.
    3816, 758, 1101002.
    В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.
    3816 = 3*161+8*160 = 48+8 = 56
    1 0
    758 = 7*81+5*80 = 56+5 = 61
    1 0
    1101002 = 1*25+1*24 + 0*23+1*22 +0*21 + + 0*20 = 32 + 16 + 4 = 52
    5 4 3 2 1 0
    Ответ: 61

    3) Среди приведённых ниже трёх чисел, записанных в различных системах счисления, найдите максимальное и запишите его в ответе в десятичной системе счисления.
    2616, 268, 111012.
    В ответе запишите только число, основание системы счисления указывать не нужно.
    2616 = 2*161+6*160 = 32+6 = 38
    1 0
    268 = 2*81+6*80 = 16+6 = 22
    1 0
    111012 = 1*24 + 1*23+1*22 +0*21 + 1*20 = = 16 + 8 + 4+1 = 29
    4 3 2 1 0
    Ответ: 38

    4) Найдите значение выражения
    10100112 + 3228 — A116
    Ответ запишите в десятичной системе счисления.
    А116 = 10*161+1*160 = 160+1 = 161
    1 0
    3228 = 3*82+2*81+2*80 = 192 + 16 +2 = 210
    2 1 0
    10100112 = 1*26 + 1*24+1*21 + 1*20 =
    = 64 + 16 + 2 + 1 = 83
    6 5 4 3 2 1 0
    Ответ: 132
    83 + 210 – 161 = 132

    5) Сколько натуральных чисел расположено в интервале
    408 ≤ x ≤ E616
    Е616 = 14*161+6*160 = 224+6 = 230
    1 0
    408 = 4*81+0*80 = 32
    1 0
    Ответ: 199
    230 – 32 + 1 = 199

    Перевод чисел из р-ичной системы счисления в десятичную с помощью схемы Горнера
    Перевести в десятичную: 368, Е2616, 10110112
    Е2616 = (14*16+2)*16+6 = 3 62210
    368 = 3*8+6 = 3010
    10110112 = (((((1*2+0)*2+1)*2+1)*2+0)*2+1)*2+1 = 91 10

    Список источников:
    B10 — Системы счисления (kpolyakov.spb.ru)
    ОГЭ по информатике, 9 класс: подготовка к ОГЭ-2021 по информатике, разбор задач ОГЭ-2021 по информатике, материалы для подготовки к ОГЭ (kpolyakov.spb.ru)
    OГЭ−2021, информатика: задания, ответы, решения. Обучающая система Дмитрия Гущина. (sdamgia.ru)

    Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

    Более 5 000 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

    • Опытные онлайн-репетиторы
    • Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ
    • По всем школьным предметам 1-11 класс

    Дистанционные курсы для педагогов

    Видеолекции для
    профессионалов

    • Свидетельства для портфолио
    • Вечный доступ за 120 рублей
    • 2 200+ видеолекции для каждого

    Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

    6 059 487 материалов в базе

    Материал подходит для УМК

    «Информатика», Босова Л.Л., Босова А.Ю.

    Другие материалы

    Вам будут интересны эти курсы:

    Оставьте свой комментарий

    Добавить в избранное

    • 02.02.2022 1517
    • PPTX 333.6 кбайт
    • 11 скачиваний
    • Оцените материал:

    Настоящий материал опубликован пользователем Кузнецова Светлана Владимировна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Автор материала

    Московский институт профессиональной
    переподготовки и повышения
    квалификации педагогов

    Дистанционные курсы
    для педагогов

    Выдаём документы
    установленного образца!

    Учитесь с проверенными репетиторами

    Основы и методы развития речи у детей дошкольного возраста

    «Организация работы с обучающимися с ОВЗ»

    Как продавать не продавая. 10 неочевидных советов

    Подарочные сертификаты

    Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

    Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

    Источник статьи: http://infourok.ru/sravnenie-chisel-v-razlichnyh-sistemah-schisleniya-5733311.html

    Понятие экономичности системы счисления

    Число в системе счисления р с k разрядами, очевидно, будет иметь наибольшее значение в том случае, если все цифры числа окажутся максимальными, т.е. равными р — 1. Тогда

    Количество разрядов числа при переходе от одной системы счисления к другой в общем случае меняется. Очевидно, если р = q σ (σ — не обязательно целое), то (Zp) max = p k — 1 = q σk — 1. Т.е. количество разрядов числа в системах счисления р и q будут различаться в σ раз. Очевидно соотношение:

    При этом основание логарифма никакого значения не имеет, поскольку σ определяется отношением логарифмов. Сравним количество цифр в числе 9910 и его представлении в двоичной системе счисления: 9910 = 11000112; т.е. двоичная запись требует 7 цифр вместо 2 в десятичной, σ = ln(10)/ln(2) = 3,322; следовательно, количество цифр в десятичном представлении нужно умножить на 3,322 и округлить в большую сторону: 2-3,322 = 6,644 = 7.

    Введем понятие экономичности представления числа в данной системе счисления.

    Под экономичностью системы счислениябудем понимать то количество чисел, которое можно записать в данной системе с помощью определенного количества цифр.

    Речь в данном случае идет не о количестве разрядов, а об общем количестве сочетаний цифр, которые интерпретируются как различные числа. Поясним на примере: пусть в распоряжении имеется 12 цифр. Можно разбить их на 6 групп по 2 цифры («0» и «1») и получить шестиразрядное двоичное число; общее количество таких чисел, как уже неоднократно обсуждалось, равно 2 6 . Можно разбить заданное количество цифр на 4 группы по три цифры и воспользоваться троичной системой счисления — в этом случае общее количество различных их сочетаний составит 3 4 . Аналогично можно произвести другие разбиения; при этом число групп определит разрядность числа, а количество цифр в группе — основание системы счисления. Результаты различных разбиений можно проиллюстрировать таблицей:

    Из приведенных оценок видно, что наиболее экономичной оказывается троичная система счисления, причем, результат будет тем же, если исследовать случаи с другим исходным количеством сочетаний цифр.

    Точное расположение максимума экономичности может быть установлено путем следующих рассуждений. Пусть имеется п знаков для записи чисел, а основание системы счисления р. Тогда количество разрядов числа k = п/р, а общее количество чисел (N), которые могут быть составлены, равно:

    Если считать N(p) непрерывной функцией, то можно найти то значение рт, при котором iN принимает максимальное значение. Функция имеет вид, представленный на рис.4.3.

    Для нахождения положения максимума нужно найти производную функции N(p), приравнять ее к нулю и решить полученное уравнение относительно р.

    Приравнивая полученное выражение к нулю, получаем ln p = 1, или рт = е, где е = 2,71828. — основание натурального логарифма. Ближайшее к е целое число, очевидно, 3 — по этой причине троичная система счисления оказывается самой экономичной для представления чисел. В 60-х годах в нашей стране была построена вычислительная машина «Сетунь», которая работала в троичной системе счисления. Предпочтение все же отдается двоичной системе, поскольку по экономичности она оказывается второй за троичной, а технически она реализуется гораздо проще остальных. Таким образом, простота технических решений оказывается не единственным аргументом в пользу применения двоичной системы в компьютерах.

    4.2.4. Перевод чисел между системами счисления 2 ↔ 8 ↔ 16

    Интерес к двоичной системе счисления вызван тем, что именно эта система используется для представления чисел в компьютере. Однако двоичная запись оказывается громоздкой, поскольку содержит много цифр, и, кроме того, она плохо воспринимается и запоминается человеком из-за зрительной однородности (все число состоит из нулей и единиц). Поэтому в нумерации ячеек памяти компьютера, записи кодов команд, нумерации регистров и устройств и пр. используются системы счисления с основаниями 8 и 16; выбор именно этих систем счисления обусловлен тем, что переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется, как будет показано ниже, весьма простым образом.

    Двоичная система счисления имеет основанием 2 и, соответственно, 2 цифры: 0 и 1.

    Восьмеричная система счисления имеет основание 8 и цифры 0, 1. 7.

    Шестнадцатеричная система счисления имеет основание 16 и цифры 0, 1, . 9, А, В, С, D, Е, F. При этом знак «А» является 16-ричной цифрой, соответствующей числу 10 в десятичной системе; В16 = 1110; С16 = 1210; D16 = 1310; Е16 = 1410; F16 = 1510. Другими словами, в данном случае А . F — это не буквы латинского алфавита, а цифры 16-ричной системы счисления и поэтому они имеют только такое начертание (не могут быть представлены в виде, например, соответствующих строчных букв, как в текстах).

    Пользуясь алгоритмами, сформулированными в разделе 4.2.1, можно заполнить табл. 4.1.

    Теорема 1. Для преобразования целого числа Zp Zq в том случае, если системы счисления связаны соотношением q = р r , где r — целое число большее 1, достаточно Zp разбить справа налево на группы по г цифр и каждую из них независимо перевести в систему q.

    Пусть максимальный показатель степени в записи числа р по форме (4.1) равен k — 1, причем, 2r > k -1 > r.

    Вынесем множитель р r из всех слагаемых, у которых jr. Получим:

    Таким образом, r-разрядные числа системы с основанием р оказываются записанными как цифры системы с основанием q. Этот результат можно обобщить на ситуацию произвольного k-1 > r — в этом случае выделится не две, а больше (т) цифр числа с основанием q. Очевидно, Zq = (bm … b0 )q.

    Источник статьи: http://studopedia.ru/view_informatika.php?id=46

    Разбор олимпиадной задачи — Наименьшая система счисления

    Условие задачи взято с сайта acmp.ru ((Время: 1 сек. Память: 16 Мб Сложность: 26%):

    Известно, что основанием позиционной системы счисления называют количество различных символов, используемых для записи чисел в данной системе счисления. Также известно, что любое число x в b-ичной системе счисления имеет вид x=a0∙b0+a1∙b1+…+an∙bn, где b ≥ 2 и 0 ≤ ai .

    Для записи чисел в b-ичной системе счисления, где b ≤ 36 , могут быть использованы первые b символов из следующего списка 0,1,…, 9, A, B, …, Z . Например, для записи чисел в троичной системы используются символы 0, 1, 2 , а в двенадцатеричной — 0,1,…, 9, A, B .

    Требуется написать программу, которая по входной строке S определит, является ли данная строка записью числа в системе счисления, с основанием не большим 36 , и, если является, определит минимальное основание этой системы счисления.

    Входные данные

    Входной файл INPUT.TXT содержит в единственной строке входную непустую строку. Длина строки не превышает 255. Все символы строки имеют коды от 32 до 127.

    Выходные данные

    Выходной файл OUTPUT.TXT должен содержать одно число. Если строка является записью числа в некоторой системе счисления, то нужно вывести минимальное основание такой системы счисления. Иначе вывести -1 .

    INPUT.TXT OUTPUT.TXT
    1 123 4
    2 ABCDEF 16
    3 AD%AF -1
    4 03025 6
    5 abc -1

    Разбор решения задачи

    Это задача на внимательность. Все что требуется — по входному числу, состоящему из букв и цифр (т.е. в системе считсления до 36 включительно), определить значение максимального разряда. Понятно, что число нужно обрабатывать как строку. А затем, вывести значение этого разряда в десятичной системе счисления.

    Для решения задачи можно сначала каждый разряд числа преобразовать в десятичное представление и сохранить в векторе (массиве). Затем останется найти в этом массиве максимальный элемент.

    Из этого исходного кода видно, что основная проблема в задаче не в определении минимальной системы счисления, а в проверке ряда условий, заданных в задаче. В частности:

    1. минимальная возможная система счисления, согласно условия — двоичная, т.е. для чисел, состоящих только из нулей нужно вывести 2;
    2. если в строке есть «посторонние» символы — нужно вывести -1;
    3. среди «посторонних» символов можно быть пробел или табуляция — поэтому при вводе нельзя использовать оператор >> .

    Источник статьи: http://pro-prof.com/forums/topic/acmp_315

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *