Меню

Как найти линейный угол между плоскостями



Как найти линейный угол между плоскостями

Замечание . Иногда говорят, что двугранный угол α a β образован двумя полуплоскостями α и β , имеющими общую граничную прямую a .

Фигуры, образованные двумя страницами одной книги, двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.

Для измерения двугранного угла введём понятие его линейного угла. На ребре a двугранного угла α a β отметим произвольную точку O и в гранях α и β проведём из точки O соответственно лучи OA и OB , перпендикулярные ребру a (рис. 96, а ). Угол AOB , образованный этими лучами, называется линейным углом двугранного угла α a β .

Так как OA ⊥ a и OB ⊥ a , то плоскость AOB перпендикулярна прямой a . Это означает, что линейный угол двугранного угла есть пересечение данного двугранного угла и плоскости, перпендикулярной его ребру .

Вследствие произвольного выбора точки O на ребре двугранного угла заключаем, что двугранный угол имеет бесконечное множество линейных углов. Докажем, что все они равны. Действительно, рассмотрим два линейных угла AOB и A 1 O 1 B 1 двугранного угла α a β (рис. 96, б ). Лучи OA и O 1 A 1 лежат в одной грани α и перпендикулярны прямой a — ребру двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично получаем, что сонаправлены лучи OB и O 1 B 1 . Тогда ∠ AOB = ∠ A 1 O 1 B 1 (как углы с сонаправленными сторонами).

Таким образом, нами доказана теорема.

Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от выбора его вершины на ребре двугранного угла.

Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла равны между собой.

Это позволяет ввести следующее определение.

Определение. Величиной двугранного угла называется величина его линейного угла.

Величина двугранного угла, измеренная в градусах, принадлежит промежутку (0 ° ; 180 ° ).

На рисунке 97 изображён двугранный угол, градусная мера (величина) которого равна 30 ° . В этом случае также говорят, что двугранный угол равен тридцати градусам.

Двугранный угол является острым (рис. 98, а ), прямым (рис. 98, б ) или тупым (рис. 98, в ), если его линейный угол соответственно острый, прямой или тупой.

Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в пространстве определяются смежные (рис. 99, а ) и вертикальные (рис. 99, б ) двугранные углы . При этом справедливы и аналогичные теоремы о величинах этих углов.

Попробуйте доказать самостоятельно следующие два утверждения, важные для решения задач.

 На гранях двугранного угла величины α взяты точки A и B ; A 1 и B 1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; AA 1 = a ; BB 1 = b ; A 1 B 1 = h . Тогда

AB = .

 Если внутри двугранного угла величины α взята точка на расстояниях a и b от граней двугранного угла, то её расстояние от ребра двугранного угла равно .

14.2. Угол между двумя плоскостями

Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из них равна ϕ , то величины трёх остальных равны соответственно 180 ° – ϕ , ϕ , 180 ° – ϕ (почему?). Наименьшая из этих величин принимается за величину угла между данными пересекающимися плоскостями.

Определение. Углом между двумя пересекающимися плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных при их пересечении.

Угол между параллельными или совпадающими плоскостями полагается считать равным нулю.

Если величина угла между плоскостями α и β равна ϕ , то пишут: ( α ; β ) = ϕ .

Так как двугранный угол измеряется своим линейным углом, то из выше приведённого определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии их пересечения (см. рис. 100). Это означает, что величина угла между плоскостями принадлежит промежутку [0 ° ; 90 ° ] .

ЗАДаЧа. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскости ромба ABCD ( ∠ ADC — тупой). Диагонали ромба равны 12 и 16. Найти углы между плоскостями:

Решение. а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда по теореме о трёх перпендикулярах ME ⊥ BC и ∠ DEM = ϕ — линейный угол двугранного угла, образованного плоскостями ABC и MBC . Найдём величину этого угла.

По условию задачи DM ⊥ ( ABC ), поэтому ⧌ MDE — прямоугольный, значит, tg ϕ = . Так как DE — высота ромба ABCD , то DE = , где S — площадь этого ромба. Сторона BC ромба является гипотенузой прямоугольного треугольника BOC , катеты OB и OC которого равны 6 и 8. Значит, BC = = = 10.

Учитывая, что S = • AC • BD = •12•16 = 96, находим: DE = = 9,6. Тогда tg ϕ = = = , откуда ϕ = arctg .

б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ромба ABCD , то AD ⊥ DM , CD ⊥ DM , значит, ∠ ADC = ψ — линейный угол двугранного угла, образованного пересекающимися плоскостями ADM и CDM . Найдём этот угол.

В треугольнике ACD по теореме косинусов находим

cos ψ = = = – ,

откуда ψ = arccos .

Ответ: а) arctg ; б) arccos .

Источник статьи: http://reader.lecta.rosuchebnik.ru/demo/7999/data/chapter16.xhtml

Двугранный угол

Дай нам 10 минут ты разберешься в одной из самых важных тем стереометрии.

И получишь за неё баллы на ЕГЭ!

Двугранный угол – коротко о главном

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

Угол между плоскостяминаименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Двугранный угол может быть и острым и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

  • Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.
  • Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен ( displaystyle 90<>^circ ), то есть тот, у которого линейный угол равен ( displaystyle 90<>^circ ).

Два способа найти угол между плоскостями:

  • При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

Двугранный угол – определения

Двугранный угол – это фигура, образованная двумя полуплоскостями, исходящими из одной прямой.

При этом прямая ( displaystyle AB) – это ребро двугранного угла, а полуплоскости ( displaystyle alpha ) и ( displaystyle beta ) – стороны или грани двугранного угла.

Двугранный угол получает обозначение по своему ребру: «двугранный угол ( displaystyle AB)».

С понятием двугранного угла тесно связано понятие угол между плоскостями.

Угол между плоскостями – наименьший из двугранных углов, образованных при пересечении плоскостей.

Итак, внимание! Различие между двугранным углом и углом между плоскостями в том, что:

Двугранный угол может быть и острым, и тупым, а угол между плоскостями только острым! НЕ ПУТАЙ!

Линейный угол двугранного угла

Как измерить двугранный угол?

Нужно поступить так: из произвольной точки на ребре двугранного угла провести в каждой плоскости по перпендикуляру к этому ребру.

В плоскости ( displaystyle alpha ) провели перпендикуляр ( displaystyle MD) к ребру ( displaystyle AB). Что получилось? Обычный, плоский угол ( displaystyle varphi ).

Вот этот угол и называется: линейный угол двугранного угла ( displaystyle AB).

Зачем этот линейный угол? Запомни, это очень ВАЖНО:

Двугранный угол измеряется величиной своего линейного угла.

То есть математически договорились, что если угол φ будет равен, к примеру ( displaystyle 20<>^circ ), то это будет автоматически означать, что угол ( displaystyle AB) равен ( displaystyle 20<>^circ ).

Вот и ключ к поиску величины двугранного угла и угла между плоскостями:

Чтобы найти величину двугранного угла или угла между плоскостями, нужно построить линейный угол и найти величину этого линейного угла.

Ещё раз немного о названиях.

Прямой двугранный угол – двугранный угол, который равен ( displaystyle 90<>^circ ), то есть тот, у которого линейный угол равен ( displaystyle 90<>^circ ).

Как найти угол между плоскостями?

Найти угол между плоскостями можно двумя способами: геометрическим и алгебраическим.

Геометрический способ

При геометрическом способе нужно сначала построить угол двугранного угла, а потом искать этот линейный угол с помощью знаний из планиметрии.

Алгебраический способ

Алгебраический способ – это применение метода координат – там есть формула для нахождения угла между плоскостями.

( displaystyle cos gamma =frac<<_<1>><_<2>>+<_<1>><_<2>>+<_<1>><_<2>>>^<2>+B_<1>^<2>+C_<1>^<2>>sqrt^<2>+B_<2>^<2>+C_<2>^<2>>>)

Подробнее про уравнение плоскости ты можешь прочитать в статье «Расстояние от точки до плоскости»!

Какой же способ лучше? Зависит от задачи.

Если нужно найти, скажем, двугранный угол при основании правильной , то проще использовать геометрический способ.

А если линейный угол двугранного угла никак не хочет проходить ни через какие удобные точки, то можно использовать метод координат как палочку выручалочку.

Но тогда нужно очень твёрдо знать формулы и не делать арифметических ошибок при многочисленных подсчётах – ведь придётся искать ( displaystyle <_<1>>,<_<1>>,<_<1>>,<_<2>>,<_<2>>,<_<2>>), а потом ещё и ( displaystyle cos gamma ).

Давай разберём несложную задачу для примера. Мы применим оба метода к одной и той же задаче.

Решение геометрическим способом

В правильной треугольной пирамиде боковое ребро в три раза больше ребра основания. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Источник статьи: http://youclever.org/book/dvugrannyj-ugol-2/

Угол между двумя плоскостями

Пусть даны плоскости α1 и α2 своими общими уравнениями. Тогда под углом φ между плоскостями α1 и α2 понимают наименьший угол, на который надо повернуть одну из плоскостей до ее совпадения с другой плоскостью. Поэтому . Очевидно, что либо φ=(^,), либо φ= (-^,), гдеи— нормальные векторы плоскостей α1 и α2 соответственно. В любом случае

В частности, если φ = π/2, то

условие перпендикулярности двух плоскостей.

IV прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве Уравнение прямой в пространстве

Очевидно, что прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух плоскостей α1 и α2. Тогда в произвольной афинной системе координат прямая задается системой двух линейных уравнений

(1)

общее уравнение прямой или уравнение прямой в общем виде.

Классификация кривых второго порядка (квп)

где a²+ b²+ c² ≠ 0 , называется уравнением кривой второго порядка в прямоугольноу системе ккординат OXY. Преобразуем систему координат таким образом, чтобы уравнение (1) приняло наиболее простой вид.

1. Если в уравнении коэффициент b ≠ 0, то можно повернуть систему координат OXY на угол α такой, что в новой системе координат O’X’Y’ уравнение (1) не будет содержать член с произведением xy’.

Действительно, согласно формулам поворота x = x’cosα – y’sinα, y = y’sinα + y’cosα.. Подставляя значения x и y в (1) легко подсчитать, что коэффициент при xy примет вид

-2acosα sinα + b²cos²α — b²sin²α + 2csinα cosα.

,

Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП имеет вид

2. Если в уравнении (2) а ≠ 0 и d ≠ 0, либо с ≠ 0 и е ≠ 0, то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ, получаем уравнение КВП, не содержащее член с х, соответственено у.

Действительно, пусть а ≠ 0, d ≠ 0. Выделим полный квадрат при переменной х в (2).

Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу. Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF = r— полярный радиус точки М, φ — ее полярный угол. Тогда

полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы.

Для левой ветви гиперболы

полярное уравнение левой ветви гиперболы.

Пусть l – прямая. Тогда ее положение в пространстве однозначно определяется заданием ее направляющего вектора =(m,n,р) и точкой М0(х0,у0,z0), через которую прямая проходит. Возьмем произвольную точку М(х,у,z)l. Тогда и, значит,

Переходя к координатам, получим

параметрические уравнение прямой.

Выражая параметр t, получим

каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М00 y0,z0) параллельно вектору =(m,m,р).

Последнее уравнение равносильно

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Наоборот, пусть задано общее уравнение прямой.

каноническое уравнение прямой.

Источник статьи: http://studfile.net/preview/5792818/page:14/

Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

(blacktriangleright) Двугранный угол – угол, образованный двумя полуплоскостями и прямой (a) , которая является их общей границей.

(blacktriangleright) Чтобы найти угол между плоскостями (xi) и (pi) , нужно найти линейный угол (причем острый или прямой) двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi) :

Шаг 1: пусть (xicappi=a) (линия пересечения плоскостей). В плоскости (xi) отметим произвольную точку (F) и проведем (FAperp a) ;

Шаг 3: по ТТП ( (FG) – перпендикуляр, (FA) –наклонная, (AG) – проекция) имеем: (AGperp a) ;

Шаг 4: угол (angle FAG) называется линейным углом двугранного угла, образованного плоскостями (xi) и (pi) .

Заметим, что треугольник (AG) – прямоугольный.
Заметим также, что плоскость (AFG) , построенная таким образом, перпендикулярна обеим плоскостям (xi) и (pi) . Следовательно, можно сказать по-другому: угол между плоскостями (xi) и (pi) — это угол между двумя пересекающимися прямыми (cin xi) и (binpi) , образующими плоскость, перпендикулярную и (xi) , и (pi) .

Дана четырехугольная пирамида, все ребра которой равны, причем основание является квадратом. Найдите (6cos alpha) , где (alpha) – угол между ее смежными боковыми гранями.

Пусть (SABCD) – данная пирамида ( (S) – вершина), ребра которой равны (a) . Следовательно, все боковые грани представляют собой равные равносторонние треугольники. Найдем угол между гранями (SAD) и (SCD) .

Проведем (CHperp SD) . Так как (triangle SAD=triangle SCD) , то (AH) также будет высотой в (triangle SAD) . Следовательно, по определению (angle AHC=alpha) – линейный угол двугранного угла между гранями (SAD) и (SCD) .
Так как в основании лежит квадрат, то (AC=asqrt2) . Заметим также, что (CH=AH) – высота равностороннего треугольника со стороной (a) , следовательно, (CH=AH=frac2a) .
Тогда по теореме косинусов из (triangle AHC) : [cos alpha=dfrac<2CHcdot AH>=-dfrac13 quadRightarrowquad 6cosalpha=-2.]

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются под углом, косинус которого равен (0,2) . Плоскости (pi_2) и (pi_3) пересекаются под прямым углом, причем линия пересечения плоскостей (pi_1) и (pi_2) параллельна линии пересечения плоскостей (pi_2) и (pi_3) . Найдите синус угла между плоскостями (pi_1) и (pi_3) .

Пусть линия пересечения (pi_1) и (pi_2) – прямая (a) , линия пересечения (pi_2) и (pi_3) – прямая (b) , а линия пересечения (pi_3) и (pi_1) – прямая (c) . Так как (aparallel b) , то (cparallel aparallel b) (по теореме из раздела теоретической справки “Геометрия в пространстве” (rightarrow) “Введение в стереометрию, параллельность”).

Отметим точки (Ain a, Bin b) так, чтобы (ABperp a, ABperp b) (это возможно, так как (aparallel b) ). Отметим (Cin c) так, чтобы (BCperp c) , следовательно, (BCperp b) . Тогда (ACperp c) и (ACperp a) .
Действительно, так как (ABperp b, BCperp b) , то (b) перпендикулярна плоскости (ABC) . Так как (cparallel aparallel b) , то прямые (a) и (c) тоже перпендикулярны плоскости (ABC) , а значит и любой прямой из этой плоскости, в частности, прямой (AC) .

Отсюда следует, что (angle BAC=angle (pi_1, pi_2)) , (angle ABC=angle (pi_2, pi_3)=90^circ) , (angle BCA=angle (pi_3, pi_1)) . Получается, что (triangle ABC) прямоугольный, а значит [sin angle BCA=cos angle BAC=0,2.]

Даны прямые (a, b, c) , пересекающиеся в одной точке, причем угол между любыми двумя из них равен (60^circ) . Найдите (cos^<-1>alpha) , где (alpha) – угол между плоскостью, образованной прямыми (a) и (c) , и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c) . Ответ дайте в градусах.

Пусть прямые пересекаются в точке (O) . Так как угол между любыми двумя их них равен (60^circ) , то все три прямые не могут лежать в одной плоскости. Отметим на прямой (a) точку (A) и проведем (ABperp b) и (ACperp c) . Тогда (triangle AOB=triangle AOC) как прямоугольные по гипотенузе и острому углу. Следовательно, (OB=OC) и (AB=AC) .
Проведем (AHperp (BOC)) . Тогда по теореме о трех перпендикулярах (HCperp c) , (HBperp b) . Так как (AB=AC) , то (triangle AHB=triangle AHC) как прямоугольные по гипотенузе и катету. Следовательно, (HB=HC) . Значит, (OH) – биссектриса угла (BOC) (так как точка (H) равноудалена от сторон угла).

Заметим, что таким образом мы к тому же построили линейный угол двугранного угла, образованного плоскостью, образованной прямыми (a) и (c) , и плоскостью, образованной прямыми (b) и (c) . Это угол (ACH) .

Найдем этот угол. Так как точку (A) мы выбирали произвольно, то пусть мы выбрали ее так, что (OA=2) . Тогда в прямоугольном (triangle AOC) : [sin 60^circ=dfrac quadRightarrowquad AC=sqrt3 quadRightarrowquad OC=sqrt=1.] Так как (OH) – биссектриса, то (angle HOC=30^circ) , следовательно, в прямоугольном (triangle HOC) : [mathrm,30^circ=dfracquadRightarrowquad HC=dfrac1.] Тогда из прямоугольного (triangle ACH) : [cosangle alpha=cosangle ACH=dfrac=dfrac13 quadRightarrowquad cos^<-1>alpha=3.]

Плоскости (pi_1) и (pi_2) пересекаются по прямой (l) , на которой лежат точки (M) и (N) . Отрезки (MA) и (MB) перпендикулярны прямой (l) и лежат в плоскостях (pi_1) и (pi_2) соответственно, причем (MN = 15) , (AN = 39) , (BN = 17) , (AB = 40) . Найдите (3cosalpha) , где (alpha) – угол между плоскостями (pi_1) и (pi_2) .

Треугольник (AMN) прямоугольный, (AN^2 = AM^2 + MN^2) , откуда [AM^2 = 39^2 — 15^2 = 36^2.] Треугольник (BMN) прямоугольный, (BN^2 = BM^2 + MN^2) , откуда [BM^2 = 17^2 — 15^2 = 8^2.] Запишем для треугольника (AMB) теорему косинусов: [AB^2 = AM^2 + MB^2 — 2cdot AMcdot MBcdotcosangle AMB.] Тогда [40^2 = 36^2 + 8^2 — 2cdot 36cdot 8cdotcosangle AMBqquadLeftrightarrowqquad cosangle AMB = -dfrac<5><12>] Так как угол (alpha) между плоскостями – это острый угол, а (angle AMB) получился тупым, то (cosalpha=dfrac5<12>) . Тогда [3cosalpha = dfrac54=1,25.]

(ABCDA_1B_1C_1D_1) – параллелепипед, (ABCD) – квадрат со стороной (a) , точка (M) – основание перпендикуляра, опущенного из точки (A_1) на плоскость ((ABCD)) , кроме того (M) – точка пересечения диагоналей квадрата (ABCD) . Известно, что (A_1M = dfrac><2>a) . Найдите угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) . Ответ дайте в градусах.

Построим (MN) перпендикулярно (AB) как показано на рисунке.

Так как (ABCD) – квадрат со стороной (a) и (MNperp AB) и (BCperp AB) , то (MNparallel BC) . Так как (M) – точка пересечения диагоналей квадрата, то (M) – середина (AC) , следовательно, (MN) – средняя линия и (MN =frac12BC= frac<1><2>a) .
(MN) – проекция (A_1N) на плоскость ((ABCD)) , причем (MN) перпендикулярен (AB) , тогда по теореме о трех перпендикулярах (A_1N) перпендикулярен (AB) и угол между плоскостями ((ABCD)) и ((AA_1B_1B)) есть (angle A_1NM) .
[mathrm, angle A_1NM = dfrac = dfrac><2>a><2>a> = sqrt<3>qquadRightarrowqquadangle A_1NM = 60^]

В квадрате (ABCD) : (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC) . Найдите угол между плоскостями (ASD) и (ABC) , если (SO = 5) , а (AB = 10) .

Прямоугольные треугольники (triangle SAO) и (triangle SDO) равны по двум сторонам и углу между ними ( (SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = 90^circ) ; (AO = DO) , т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = SD) (Rightarrow) (triangle ASD) – равнобедренный. Точка (K) – середина (AD) , тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD) , а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскостям (ASD) и (ABC) (Rightarrow) (angle SKO) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

В (triangle SKO) : (OK = frac<1><2>cdot AB = frac<1><2>cdot 10 = 5 = SO) (Rightarrow) (triangle SOK) – равнобедренный прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle SKO = 45^circ) .

В квадрате (ABCD) : (O) – точка пересечения диагоналей; (S) – не лежит в плоскости квадрата, (SO perp ABC) . Найдите угол между плоскостями (ASD) и (BSC) , если (SO = 5) , а (AB = 10) .

Прямоугольные треугольники (triangle SAO) , (triangle SDO) , (triangle SOB) и (triangle SOC) равны по двум сторонам и углу между ними ( (SO perp ABC) (Rightarrow) (angle SOA = angle SOD = angle SOB = angle SOC = 90^circ) ; (AO = OD = OB = OC) , т.к. (O) – точка пересечения диагоналей квадрата, (SO) – общая сторона) (Rightarrow) (AS = DS = BS = CS) (Rightarrow) (triangle ASD) и (triangle BSC) – равнобедренные. Точка (K) – середина (AD) , тогда (SK) – высота в треугольнике (triangle ASD) , а (OK) – высота в треугольнике (AOD) (Rightarrow) плоскость (SOK) перпендикулярна плоскости (ASD) . Точка (L) – середина (BC) , тогда (SL) – высота в треугольнике (triangle BSC) , а (OL) – высота в треугольнике (BOC) (Rightarrow) плоскость (SOL) (она же плоскость (SOK) ) перпендикулярна плоскости (BSC) . Таким образом получаем, что (angle KSL) – линейный угол, равный искомому двугранному углу.

(KL = KO + OL = 2cdot OL = AB = 10) (Rightarrow) (OL = 5) ; (SK = SL) – высоты в равных равнобедренных треугольниках, которые можно найти по теореме Пифагора: (SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50) . Можно заметить, что (SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2) (Rightarrow) для треугольника (triangle KSL) выполняется обратная теорема Пифагора (Rightarrow) (triangle KSL) – прямоугольный треугольник (Rightarrow) (angle KSL = 90^circ) .

Подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ по математике, как правило, начинается с повторения основных формул, в том числе и тех, которые позволяют определить угол между плоскостями. Несмотря на то, что этот раздел геометрии достаточно подробно освещается в рамках школьной программы, многие выпускники нуждаются в повторении базового материала. Понимая, как найти угол между плоскостями, старшеклассники смогут оперативно вычислить правильный ответ в ходе решения задачи и рассчитывать на получение достойных баллов по итогам сдачи единого государственного экзамена.

Основные нюансы

Чтобы вопрос, как найти двугранный угол, не вызывал затруднений, рекомендуем следовать алгоритму решения, который поможет справиться с заданиями ЕГЭ.

Вначале необходимо определить прямую, по которой пересекаются плоскости.

Затем на этой прямой нужно выбрать точку и провести к ней два перпендикуляра.

Следующий шаг — нахождение тригонометрической функции двугранного угла, который образован перпендикулярами. Делать это удобнее всего при помощи получившегося треугольника, частью которого является угол.

Ответом будет значение угла или его тригонометрической функции.

Подготовка к экзаменационному испытанию вместе со «Школково» — залог вашего успеха

В процессе занятий накануне сдачи ЕГЭ многие школьники сталкиваются с проблемой поиска определений и формул, которые позволяют вычислить угол между 2 плоскостями. Школьный учебник не всегда есть под рукой именно тогда, когда это необходимо. А чтобы найти нужные формулы и примеры их правильного применения, в том числе и для нахождения угла между плоскостями в Интернете в режиме онлайн, порой требуется потратить немало времени.

Математический портал «Школково» предлагает новый подход к подготовке к госэкзамену. Занятия на нашем сайте помогут ученикам определить наиболее сложные для себя разделы и восполнить пробелы в знаниях.

Мы подготовили и понятно изложили весь необходимый материал. Базовые определения и формулы представлены в разделе «Теоретическая справка».

Для того чтобы лучше усвоить материал, предлагаем также попрактиковаться в выполнении соответствующих упражнений. Большая подборка задач различной степени сложности, например, на нахождение угла между прямой и плоскостью, представлена в разделе «Каталог». Все задания содержат подробный алгоритм нахождения правильного ответа. Перечень упражнений на сайте постоянно дополняется и обновляется.

Практикуясь в решении задач, в которых требуется найти угол между двумя плоскостями, учащиеся имеют возможность в онлайн-режиме сохранить любое задание в «Избранное». Благодаря этому они смогут вернуться к нему необходимое количество раз и обсудить ход его решения со школьным учителем или репетитором.

Источник статьи: http://shkolkovo.net/catalog/geometriya_v_prostranstve_stereometriya/nahozhdenie_ugla_mezhdu_ploskostyami_dvugrannyj_ugol

Угол между плоскостями

Углы между плоскостями — обозначение

Углом между плоскостями именуется такой угол, который образовался между перпендикулярными прямыми, опущенными в пределах этих плоскостей к линии их пересечения.

Рассмотрим данное понятие наглядно с помощью картинки:

Допустим, α и β — пересекающиеся плоскости. Проведем к линии с перпендикуляр a, который принадлежит α. Далее проведем прямую b, лежащую в β и образующую с прямой c угол в 90°. Угол между α и β равен углу, который образовался между а и b, обозначенному на картинке как φ. В записи это выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На схеме видно, что при пересечении α и β возникают четыре угла, но углом между плоскостями считается острый угол. В случае, когда плоскости при пересечении создают прямые углы, они считаются перпендикулярными друг другу.

Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними

Существует несколько вариаций взаимного расположения двух плоскостей.

Параллельность

Две плоскости считаются параллельными в том случае, если у них отсутствуют общие точки.

Возьмем за условие, что плоскости α, расположенной в некоторой прямоугольной системе координат, соответствует общее уравнение: А1х+В1у+С1z+D1=0. А плоскость β определяется общим уравнением вида: А2х+В2у+С2z+D2=0.

Согласно теореме о параллельности плоскостей, чтобы α и β являлись параллельными, достаточно отсутствия решений системы линейных уравнений вида:

То есть приведенная выше система должна быть несовместной.

Доказательство

Допустим, указанные плоскости, соответствующие уравнениям А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 параллельны друг другу, следовательно, у них отсутствуют общие точки. Это значит, что нет ни одной точки в прямоугольной системе координат, находящейся в трехмерном пространстве, чьи координаты отвечали бы условиям обоих уравнений одновременно или:

В случае, если данная система уравнений не имеет решений, то в прямоугольной системе координат трехмерного пространства отсутствуют точки с координатами, одновременно отвечающими условиям обоих уравнений, входящих в рассматриваемую систему. Отсюда можно сделать вывод, что плоскости α и β с соответствующими им уравнениями А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z+D2=0 не обладают ни одной общей точкой, а значит, являются параллельными. Теорема доказана.

Перпендикулярность

Две плоскости перпендикулярны друг другу, в ситуации, когда они при взаимном пересечении образуют прямой угол, то есть угол в 90°.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то такие плоскости являются перпендикулярными.

Доказательство

Необходимо доказать, что α⊥β.

  1. α∩β=AC, причем AB⊥AC по условию.
  2. Проведем прямую AD, принадлежащую плоскости β и перпендикулярную AC.
  3. ∠BAD=90°, поскольку AB⊥β. Следовательно, заданные плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Явность перпендикулярных пересекающихся плоскостей достигается при необходимом и достаточном условии, что нормальные векторы данных плоскостей при пересечении образовали прямой угол.

Доказательство

Допустим, в трехмерном пространстве существует некоторая прямоугольная система координат. При наличии нормальных векторов заданных плоскостей α и β с координатами:

то необходимо и достаточно, чтобы эти векторы приняли вид:

(left(overrightarrow,overrightarrow<;n_2>right)=0Leftrightarrow A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2=0)

— нормальные векторы плоскостей α и β. Чтобы заданные плоскости были перпендикулярными, достаточно, чтобы скалярное произведение данных векторов ровнялось нулю, то есть принимало вид:

(left(overrightarrow,overrightarrow<;n_2>right)=0Leftrightarrow A_1times A_2+B_1times B_2+C_1times C_2=0)

Угол между плоскостями

Для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями используют метод координат. Суть данного способа заключается в нахождении косинуса угла, образованного при пересечении плоскостей.

Предположим, что плоскости P1 и P2 заданы следующими уравнениями:

Найдем косинус угла между P1 и P2 по формуле:

Запишем в ответе модуль косинуса угла, поскольку за величину угла между плоскостями принимают острый угол.

Примеры решения задач

Плоскости заданы уравнениями:

Определить пересекаются ли α и β. В случае пересечения заданных плоскостей найти угол между ними.

Найдем угол между заданными плоскостями:

Далее вычислим косинус угла между α и β:

В ответе запишем модуль найденной величины.

Ответ: плоскости α и β пересекаются, а косинус угла между ними равен ½.

Плоскость α проходит через точку A(1,1,−1) и перпендикулярна к плоскостям, заданным уравнениями:

Составьте уравнение плоскости α.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности α к плоскостям β и φ является параллельность α к нормалям β и φ — N1 и N2, иными словами, α должна быть перпендикулярна к произведению векторов [N1,N2].

Следующим шагом выпишем уравнение плоскости α, проходящей через точку A(1,1,−1) и перпендикулярную вектору [N1,N2]=(−14,7,7):

Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/ugol-mezhdu-ploskostyami

16.Вычисление угла между плоскостями.

Рассмотрим две плоскости α1 и α2, заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами п1 и п2 плоскостей α1 и α2 равен одному из указанных смежных двугранных углов

двугранных углов или Поэтому Т.к. и , то

17.Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно , или .

Таким образом, .

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α1 и α2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы п1 и п2 параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

18.Прямая в пространстве: общие, параметрические и канонические уравнения, их эквивалентность; уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

—Пусть заданы две точки М1(х1, у1, z1) и М2(х2, у2, z2), через которые должна проходить прямая линия. Примем за направляющий вектор прямой вектор

Поэтому уравнение (13.4) примет вид

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М1 и S вектора , параллельного этой прямой.

Вектор S, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М1(x1, y1, z1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t, что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М, лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x, y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М1(x1, y1, z1) – точка, лежащая на прямой l, и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и S коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Источник статьи: http://studfile.net/preview/7644369/page:8/

Углы в пространстве

На этой странице вы узнаете

  • Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?
  • Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?
  • Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Стереометрия — это не просто раздел математики, который нужно долго и нудно учить. На самом деле стереометрия описывает всю нашу жизнь. Стало интересно? Давайте разбираться.

Углы между плоскостями

Мы точно знаем, что угол между стеной и полом равен 90°. Также, как и угол между стеной и потолком, или полом и любым предметом мебели.

Но чему равен угол между двумя открытыми страницами тетради? Или угол между стеной и полуоткрытой дверью? Угол между перилами и плоскостью пола? Все эти углы достаточно легко найти. И ответы на все эти вопросы нам дает именно стереометрия.

Начнем разбирать в углах между плоскостями с того, что введем понятие двугранного угла.

Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу.

Если мы откроем книгу не полностью и посмотрим на пространство между двумя страницами, это пространство и будет двугранным углом.

На рисунке:
АВ — общая прямая для плоскостей, ее называют ребром двугранного угла;
a, b — плоскости, которые образуют двугранный угол, они называются гранями двугранного угла.

Как мы сталкиваемся с двугранными углами, когда читаем книгу?

Если раскрыть книгу не полностью, то ее страницы будут образовывать двугранный угол, то есть часть пространства, заключенную между двумя страницами.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей обычно образуется четыре двугранных угла. Нас интересует меньший из них.

Настало время ввести понятие угла между двумя плоскостями. Но для этого нам нужно провести перпендикуляры к ребру двугранного угла в каждой плоскости. Важно, чтобы перпендикуляры пересекались в одной точке.

Проведенные перпендикуляры образовали четыре угла. Меньший из них и будет называться углом между плоскостями.

Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях.

Обозначим нужный нам угол на рисунке как угол COD. Он и будет являться углом между данными плоскостями.

Угол COD также будет называться линейным углом двугранного угла.

Линейный угол двугранного угла показывает градусную меру двугранного угла. Поскольку двугранный угол — это часть пространства, то в этом пространстве можно провести множество линейных углов, которые будут равны между собой.

Как и обычные углы, углы между плоскостями бывают трех видов:

  • Острые, то есть меньше 90 0
  • Прямые, равные 90 0
  • Тупые, которые больше 90и меньше 180 0

Как уже было сказано выше, за угол между плоскостями всегда принимается острый угол, образованный этими плоскостями.

А что будет, если между плоскостями получится прямой угол?

Такие плоскости называются перпендикулярными.

Где в комнате можно найти перпендикулярные плоскости?

Достаточно посмотреть на стены и пол, или стены и потолок. А еще на углы потолка — в них будет три перпендикулярные плоскости.

У перпендикулярных плоскостей есть одна очень интересная особенность: все углы, образованные ими, равны между собой и равняются 90° градусам.

Чтобы найти угол между плоскостями, необходимо следовать следующему алгоритму.

Алгоритм нахождения угла между плоскостями

1 шаг. Найти линию пересечения плоскостей.

2 шаг. Достроить к этой линии перпендикуляр в каждой плоскости.

3 шаг. Найти острый угол между построенными перпендикулярами.

Углы между прямой и плоскостью

Если нарисовать две прямые на листе бумаги, мы с легкостью можем измерить угол между ними с помощью транспортира. А если провести прямую к плоскости, как точно измерить угол между ними?

И в этом вопросе к нам снова на помощь приходит стереометрия. Но для начала рассмотрим, что такое угол между прямой и плоскостью.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Что такое проекция? Предположим, мы проткнем лист бумаги (плоскость) очень длинной иглой.

А теперь сделаем этот рисунок ближе к чертежу. Пусть плоскость а пересекает прямая а в точке О.

Начнем строить проекцию. Прежде чем разобраться, что такое проекция прямой на плоскость, найдем проекцию точки на плоскость.

Возьмем на нашей прямой а точку А и опустим из нее перпендикуляр к плоскости а. Точка, в которой перпендикуляр пересечет плоскость, будет называться проекцией точки на плоскость. На рисунке обозначим ее как А1.

Проекция точки на плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.

Теперь, если мы будем брать каждую точку на прямой и проектировать ее на плоскость а, то получим проекцию этой прямой на плоскость. Но поскольку на прямой бесконечное множество точек, достаточно соединить точки А1 и О, получаем, что А1О — проекция прямой а на плоскость а.

Заметим, что если мы проведем из любой точки прямой проекцию к плоскости, то попадем на прямую А1О.

Проекция прямой а на плоскость — это прямая а1, образованная проекциями всех точек прямой а на плоскость.

Таким образом можно построить проекции не только прямой, но и любой фигуры.

Мы построили угол из определения. Тогда углом между прямой а и плоскость а будет угол А1ОА.

В этом случае мы также берем острый угол, образованный прямой и плоскостью.

Алгоритм нахождения угла между прямой и плоскостью

Шаг 1. Построить проекцию прямой на плоскость.

Шаг 2. Найти угол между прямой и построенной проекцией.

Если прямая параллельна плоскости угол будет равен 0.

Проекция прямой на плоскость будет этой же прямой, просто лежащей в плоскости.

Когда прямая перпендикулярна плоскости, проекцией прямой на плоскость будет точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью будет равен 90°.

Чуть подробнее остановимся на случае, когда прямая перпендикулярна плоскости.

Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости.

А что делать, если прямая будет перпендикулярна только одной прямой из плоскости? По определению обязательно, чтобы она была перпендикулярна всем прямым из плоскости. Как тогда проверить перпендикулярность?

Для этого существует признак перпендикулярности прямой и плоскости:

  • Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.

Следовательно, если необходимо в задаче доказать перпендикулярность прямой и плоскости, достаточно доказать, что прямая будет перпендикулярна всего двум пересекающимся прямым в этой плоскости, а не всему множеству прямых, лежащий в данной плоскости.

Рассмотрим несколько интересных свойств, связанных с прямой, перпендикулярной к плоскости.

Свойство 1. Через любую точку пространства можно провести единственную прямую, перпендикулярную плоскости.

Попробуйте подставить уголок к стене из любой точки. Получится ли у вас сделать так, что из одной и той же точки уголок встанет перпендикулярно стене несколько раз? Нет.

Свойство 2. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то такие прямые параллельны.

Здесь тоже просто все доказать. Достаточно построить в плоскости прямую, которая пересечет две данные прямые и посмотреть на рисунок “сбоку”. Заметим, что соответственные углы равны, а значит, прямые параллельны.

Подробнее про соответственные углы и параллельные прямые можно прочитать в статье “Основы планиметрии”.

Свойство 3. Если к одной прямой перпендикулярны две плоскости, то такие плоскости параллельны.

Тут такие же рассуждения, как и в предыдущем свойстве: достаточно построить прямые, принадлежащие плоскостям, и посмотреть на них “сбоку”.

Свойство 4. Если через перпендикулярную к плоскости прямую проходит плоскость, то данные плоскости будут перпендикулярны.

Это легко проверить, если найти любой двугранный угол между построенными плоскостями.

Теорема о трех перпендикулярах

Разберем еще одну очень интересную теорему, связанную с проекциями прямой на плоскость. А именно мы рассмотрим теорему о трех перпендикулярах.

Для начала попробуем понять ее на реальных предметах.

Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Возьмем уголок и зафиксируем его строго вертикально на листе. Для удобства назовем уголок АВС, где С — прямой угол.

Сразу заметим, что прямая АС будет перпендикулярна плоскости листа (поскольку уголок стоит строго вертикально, а лист лежит строго горизонтально).
Дальше заметим, что прямые АС и ВС также перпендикулярны, поскольку в уголке угол С равен 90°.
Посмотрим чуть-чуть внимательнее и обратим внимание, что прямая ВС при этом будет проекцией на плоскость листа прямой АВ.

Немного достроим наш рисунок и через точку В проведем прямую, перпендикулярную ВС. Назовем эту прямую КМ.
Сразу отмечаем, что прямая КМ перпендикулярна ВС по построению, а также перпендикулярна прямой АС (поскольку АС — перпендикуляр к плоскости листа).

Можем ли мы что-то еще сказать про нашу ситуацию? Оказывается, прямая АВ также будет перпендикулярна прямой КМ.

Возникнет вопрос, почему?

1. Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она будет перпендикулярна этой плоскости.

Теперь узнаем, как этот признак выполняется в данной ситуации.

2. Посмотрим на ситуацию немного под другим углом и в этот раз возьмем за плоскость не лист, а нашу линейку.

3. Тогда две пересекающиеся прямые в плоскости линейки будут перпендикулярны прямой КМ: BCKM по построению, а ACKM как прямая, перпендикулярная к плоскости листа, а значит, и перпендикулярная всем прямым в этой плоскости.

4. Получается, что прямая КМ перпендикулярна плоскости АВС, следовательно, перпендикулярна и всем прямым в этой плоскости, в том числе прямой АВ.

Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.

Мы рассмотрели теорему о трех перпендикулярах. Осталось ее только сформулировать математическим языком.

Теорема о трех перпендикулярах
Если наклонная прямая АВ к плоскости а перпендикулярна прямой КМ в этой плоскости, то и проекция прямой АВ на плоскость а перпендикулярна к прямой КМ.

Для построения чертежа заменим линейку на несколько отрезков. Тогда АВ — наклонная, ВС — проекция, КМ — прямая в плоскости.

Как с помощью линейки и листа воспроизвести в жизни теорему о трех перпендикулярах?

Для этого нужно взять лист бумаги и треугольную линейку. На листе бумаги построить произвольную прямую, а после поставить линейку строго вертикально так, чтобы основание линейки на листе было перпендикулярно начерченной прямой.

Таким образом, длинная сторона линейки будет наклонной прямой, основание — ее проекцией, а начерченная линия — перпендикуляром к проекции.

Вот и все, ничего сложного. А называется теорема так потому, что в построении действительно присутствуют три перпендикуляра, которые отлично видно на рисунке.

Теорему о трех перпендикулярах можно активно использовать для доказательства и решении задач.

Фактчек

  • Двугранный угол — это часть пространства, заключенная между двумя полуплоскостями, имеющими общую границу. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла или, другими словами, угол между плоскостями.
  • Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей. Перпендикуляры должны лежать в данных плоскостях. За угол между плоскостями принимают острый угол, образованный этими плоскостями. Если угол между плоскостями равен 90°, то такие плоскости перпендикулярны.
  • Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, необходимо построить проекцию прямой на плоскость и найти угол между прямой и ее проекцией. Если прямая параллельна плоскости, то угол между ними будет равен 0°. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними будет равен 90°.
  • Прямая, перпендикулярная плоскости — прямая, которая перпендикулярна к каждой прямой, лежащей в этой плоскости. Чтобы доказать, что прямая перпендикулярна плоскости, достаточно доказать, что эта прямая перпендикулярна двум пересекающимся в плоскости прямым.
  • Теорема о трех перпендикулярах гласит, что если наклонная прямая а к плоскости а перпендикулярна прямой b в этой плоскости, то и проекция прямой а на плоскость а перпендикулярна к прямой b.

Проверь себя

Задание 1.
Выберите верное утверждение.

  1. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом все линейные углы двугранного угла равны между собой;
  2. Градусной мерой двугранного угла будет линейный угол двугранного угла. При этом линейные углы двугранного угла не равны между собой;
  3. Грань двугранного угла — это общая прямая плоскостей, которые его образуют;
  4. Ребра двугранного угла — это плоскости, которые его образуют.

Задание 2.
Угол между плоскостями — это…

  1. Тупой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
  2. Острый или прямой угол между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей;
  3. Тупой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей;
  4. Острый или прямой угол между двумя произвольными линиями, проведенными к линии пересечения плоскостей.

Задание 3.
Что такое проекция прямой на плоскость?

  1. Это любая прямая, проведенная из точки пересечения прямой и плоскости;
  2. Это перпендикуляр, опущенный из любой точки на плоскость;
  3. Это всегда точка пересечения прямой и плоскости;
  4. Это прямая, образованная проекциями всех точек прямой на плоскость.

Задание 4.
Какой будет проекция прямой, перпендикулярной к плоскости, на эту плоскость?

  1. Проекция будет равна этой прямой и параллельна ей;
  2. Проекция будет меньше прямой и образовывать с ней угол;
  3. Проекция будет точкой пересечения прямой и плоскости;
  4. Проекция будет больше прямой и образовывать с ней угол.

Задание 5.
Как доказать, что прямая перпендикулярна плоскости?

  1. Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна одной любой прямой в плоскости;
  2. Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна двум параллельным прямым в плоскости;
  3. Достаточно доказать, что угол между прямой и любой прямой в плоскости равен 90°;
  4. Достаточно доказать, что прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым в этой плоскости.

Ответы: 1. — 1 2. — 2 3. — 4 4. — 3 5. — 4

Источник статьи: http://umschool.net/library/matematika/ugly-v-prostranstve/

Угол между двумя пересекающимися плоскостями: определение, примеры нахождения

Статья рассказывает о нахождении угла между плоскостями. После приведения определения зададим графическую иллюстрацию, рассмотрим подробный способ нахождения методом координат. Получим формулу для пересекающихся плоскостей, в которую входят координаты нормальных векторов.

Угол между плоскостями – определение

В материале будут использованы данные и понятия, которые ранее были изучены в статьях про плоскость и прямую в пространстве. Для начала необходимо перейти к рассуждениям, позволяющим иметь определенный подход к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Заданы две пересекающиеся плоскости γ 1 и γ 2 . Их пересечение примет обозначение c . Построение плоскости χ связано с пересечением этих плоскостей. Плоскость χ проходит через точку М в качестве прямой c . Будет производиться пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 с помощью плоскости χ . Принимаем обозначения прямой, пересекающей γ 1 и χ за прямую a , а пересекающую γ 2 и χ за прямую b . Получаем, что пересечение прямых a и b дает точку M .

Расположение точки M не влияет на угол между пересекающимися прямыми a и b , а точка M располагается на прямой c , через которую проходит плоскость χ .

Необходимо построить плоскость χ 1 с перпендикулярностью к прямой c и отличную от плоскости χ . Пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 с помощью χ 1 примет обозначение прямых а 1 и b 1 .

Видно, что при построении χ и χ 1 прямые a и b перпендикулярны прямой c , тогда и а 1 , b 1 располагаются перпендикулярно прямой c . Нахождение прямых a и а 1 в плоскости γ 1 с перпендикулярностью к прямой c , тогда их можно считать параллельными. Таки же образом расположение b и b 1 в плоскости γ 2 с перпендикулярностью прямой c говорит об их параллельности. Значит, необходимо сделать параллельный перенос плоскости χ 1 на χ , где получим две совпадающие прямые a и а 1 , b и b 1 . Получаем, что угол между пересекающимися прямыми a и b 1 равен углу пересекающихся прямых a и b .

Рассмотрим не рисунке, приведенном ниже.

Данное суждение доказывается тем, что между пересекающимися прямыми a и b имеется угол, который не зависит от расположения точки M , то есть точки пересечения. Эти прямые располагаются в плоскостях γ 1 и γ 2 . Фактически, получившийся угол можно считать углом между двумя пересекающимися плоскостями.

Перейдем к определению угла между имеющимися пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 .

Углом между двумя пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 называют угол, образовавшийся путем пересечения прямых a и b , где плоскости γ 1 и γ 2 имеют пересечение с плоскостью χ , перпендикулярной прямой c .

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Определение может быть подано в другой форме. При пересечении плоскостей γ 1 и γ 2 , где c – прямая, на которой они пересеклись, отметить точку M , через которую провести прямые a и b , перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях γ 1 и γ 2 , тогда угол между прямыми a и b будет являться углом между плоскостями. Практически это применимо для построения угла между плоскостями.

При пересечении образуется угол, который по значению меньше 90 градусов, то есть градусная мера угла действительна на промежутке такого вида ( 0 , 90 ] . Одновременно данные плоскости называют перпендикулярными в случае, если при пересечении образуется прямой угол. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями

Обычный способ для нахождения угла между пересекающимися плоскостями – это выполнение дополнительных построений. Это способствует определять его с точностью, причем делать это можно с помощью признаков равенства или подобия треугольника, синусов, косинусов угла.

Рассмотрим решение задач на примере из задач ЕГЭ блока C 2 .

Задан прямоугольный параллелепипед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , где сторона А В = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7 , точка E разделяет сторону А А 1 в отношении 4 : 3 . Найти угол между плоскостями А В С и В E D 1 .

Для наглядности необходимо выполнить чертеж. Получим, что

Наглядное представление необходимо для того, чтобы было удобней работать с углом между плоскостями.

Производим определение прямой линии, по которой происходит пересечение плоскостей А В С и В E D 1 . Точка B является общей точкой. Следует найти еще одну общую точку пересечения. Рассмотрим прямые D A и D 1 E , которые располагаются в одной плоскости A D D 1 . Их расположение не говорит о параллельности, значит, они имеют общую точку пересечения.

Однако, прямая D A расположена в плоскости А В С , а D 1 E в B E D 1 . Отсюда получаем, что прямые D A и D 1 E имеют общую точку пересечения, которая является общей и для плоскостей А В С и B E D 1 . Обозначает точку пересечения прямых D A и D 1 E буквой F . Отсюда получаем, что B F является прямой, по которой пересекаются плоскости А В С и В E D 1 .

Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

Для получения ответа необходимо произвести построение прямых, расположенных в плоскостях А В С и В E D 1 с прохождением через точку, находящуюся на прямой B F и перпендикулярной ей. Тогда получившийся угол между этими прямыми считается искомым углом между плоскостями А В С и В E D 1 .

Отсюда видно, что точка A – проекция точки E на плоскость А В С . Необходимо провести прямую, пересекающую под прямым углом прямую B F в точке М . Видно, что прямая А М – проекция прямой Е М на плоскость А В С , исходя из теоремы о тех перпендикулярах A M ⊥ B F . Рассмотрим рисунок, изображенный ниже.

∠ A M E — это искомый угол, образованный плоскостями А В С и В E D 1 . Из получившегося треугольника А Е М можем найти синус, косинус или тангенс угла, после чего и сам угол, только при известных двух сторонах его. По условию имеем, что длина А Е находится таким образом: прямая А А 1 разделена точкой E в отношении 4 : 3 , то означает полную длину прямой – 7 частей, тогда А Е = 4 частям. Находим А М .

Необходимо рассмотреть прямоугольный треугольник А В F . Имеем прямой угол A с высотой А М . Из условия А В = 2 , тогда можем найти длину A F по подобию треугольников D D 1 F и A E F . Получаем, что A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Необходимо найти длину стороны B F из треугольника A B F , используя теорему Пифагора. Получаем, что B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Длина стороны А М находится через площадь треугольника A B F . Имеем, что площадь может равняться как S A B C = 1 2 · A B · A F , так и S A B C = 1 2 · B F · A M .

Получаем, что A M = A B · A F B F = 2 · 4 2 5 = 4 5 5

Тогда можем найти значение тангенса угла треугольника А Е М . Получим:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Искомый угол, получаемый пересечением плоскостей А В С и B E D 1 равняется a r c t g 5 , тогда при упрощении получим a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Ответ: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Некоторые случаи нахождения угла между пересекающимися прямыми задаются при помощи координатной плоскости О х у z и методом координат. Рассмотрим подробней.

Если дана задача, где необходимо найти угол между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 , искомый угол обозначим за α .

Тогда заданная система координат показывает, что имеем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей γ 1 и γ 2 . Тогда обозначим, что n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z является нормальным вектором плоскости γ 1 , а n 2 → = ( n 2 x , n 2 y , n 2 z ) — для плоскости γ 2 . Рассмотрим подробное нахождение угла, расположенного между этими плоскостями по координатам векторов.

Необходимо обозначить прямую, по которой происходит пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 буквой c . На прямой с имеем точку M , через которую проводим плоскость χ , перпендикулярную c . Плоскость χ по прямым a и b производит пересечение плоскостей γ 1 и γ 2 в точке M . из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 равен углу пересекающихся прямых a и b , принадлежащих этим плоскостям соответственно.

В плоскости χ откладываем от точки M нормальные векторы и обозначаем их n 1 → и n 2 → . Вектор n 1 → располагается на прямой, перпендикулярной прямой a , а вектор n 2 → на прямой, перпендикулярной прямой b . Отсюда получаем, что заданная плоскость χ имеет нормальный вектор прямой a , равный n 1 → и для прямой b , равный n 2 → . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда получаем формулу, по которой можем вычислить синус угла пересекающихся прямых при помощи координат векторов. Получили, что косинусом угла между прямыми a и b то же, что и косинус между пересекающимися плоскостями γ 1 и γ 2 выводится из формулы cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , где имеем, что n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z ) и n 2 → = ( n 2 x , n 2 y , n 2 z ) являются координатами векторов представленных плоскостей.

Вычисление угла между пересекающимися прямыми производится по формуле

α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

По условию дан параллелепипед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , где А В = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7 , а точка E разделяет сторону А А 1 4 : 3 . Найти угол между плоскостями А В С и B E D 1 .

Из условия видно, что стороны его попарно перпендикулярны. Это значит, что необходимо ввести систему координат О х у z с вершиной в точке С и координатными осями О х , О у , О z . Необходимо поставить направление по соответствующим сторонам. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Пересекающиеся плоскости А В С и B E D 1 образуют угол, который можно найти по формуле α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , в которой n 1 → = ( n 1 x , n 1 y , n 1 z ) и n 2 → = ( n 2 x , n 2 y , n 2 z ) являются нормальными векторами этих плоскостей. Необходимо определить координаты. По рисунку видим, что координатная ось О х у совпадает в плоскостью А В С , это значит, что координаты нормального вектора k → равняются значению n 1 → = k → = ( 0 , 0 , 1 ) .

За нормальный вектор плоскости B E D 1 принимается векторное произведение B E → и B D 1 → , где их координаты находятся путем координат крайних точек В , Е , D 1 , которые определяются, исходя из условия задачи.

Получаем, что B ( 0 , 3 , 0 ) , D 1 ( 2 , 0 , 7 ) . Потому как A E E A 1 = 4 3 , из координат точек A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 найдем E 2 , 3 , 4 . Получаем, что B E → = ( 2 , 0 , 4 ) , B D 1 → = 2 , — 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 — 3 7 = 12 · i → — 6 · j → — 6 · k → ⇔ n 2 → = ( 12 , — 6 , — 6 )

Необходимо произвести подстановку найденных координат в формулу вычисления угла через арккосинус. Получаем

α = a r c cos 0 · 12 + 0 · ( — 6 ) + 1 · ( — 6 ) 0 2 + 0 2 + 1 2 · 12 2 + ( — 6 ) 2 + ( — 6 ) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Метод координат дает аналогичный результат.

Завершающая задача рассматривается с целью нахождения угла между пересекающимися плоскостями при имеющихся известных уравнениях плоскостей.

Вычислить синус , косинус угла и значение угла, образованного двумя пересекающимися прямыми, которые определены в системе координат О х у z и заданы уравнениями 2 x — 4 y + z + 1 = 0 и 3 y — z — 1 = 0 .

При изучении темы общего уравнения прямой вида A x + B y + C z + D = 0 выявили, что А , В , С являются коэффициентами, равными координатам нормального вектора. Значит, n 1 → = 2 , — 4 , 1 и n 2 → = 0 , 3 , — 1 являются нормальным векторами заданных прямых.

Необходимо подставить координаты нормальных векторов плоскостей в формулу вычисления искомого угла пересекающихся плоскостей. Тогда получаем, что

α = a r c cos 2 · 0 + — 4 · 3 + 1 · ( — 1 ) 2 2 + — 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Отсюда имеем, что косинус угла принимает вид cos α = 13 210 . Тогда угол пересекающихся прямых не является тупым. Подставив в тригонометрическое тождество, получаем, что значение синуса угла равняется выражению. Вычислим и получим, что

sin α = 1 — cos 2 α = 1 — 13 210 = 41 210

Ответ: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Источник статьи: http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/prjamaja-ploskost/ugol-mezhdu-dvumja-peresekajuschimisja-ploskostjam/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *