Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу:
Источник статьи: http://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vektory/nahozhdenie-ugla-mezhdu-vektorami-primery-i-reshen/
Как найти угол между векторами
Угол между векторами
Угол между векторами — это угол между отрезками, которые изображают эти две направляющие и которые отложены от одной точки пространства. Другими словами — это кратчайший путь, на который можно повернуть один из векторов вокруг его начала до положения общей направленности со вторым.
На изображении это α, который также можно обозначить следующим образом:
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Как и любой другой угол, векторный может быть представлен в нескольких вариациях.
С величиной (0^circ) (то есть, векторы сонаправлены):
С величиной (180^circ) (векторы направлены в противоположные стороны):
Нахождение угла между векторами
Как правило, угол между ( overrightarrow a) и (overrightarrow b) можно найти с помощью скалярного произведения или теоремы косинусов для треугольника, который был построен на основе двух этих направляющих.
Скалярное произведение — это число, которое равно произведению двух направляющих на косинус угла между ними.
Формула скалярного произведения:
(left(overrightarrow a;overrightarrow bright)=left|overrightarrow aright|timesleft|overrightarrow bright|timescosleft(widehat
- Если α — острый, то СП (скалярное произведение) будет положительным числом (cos острого угла — положительное число).
- Если векторы имеют общую направленность, то есть угол между ними равен (0^circ) , а косинус — 1, то СП будет тоже положительным.
- Если α — тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (cos тупого угла — отрицательное число).
- Если α равен (180^circ) , то есть векторы противоположно направлены, то СП тоже отрицательно, потому что cos данного угла равен 1.
- Если α — прямой, то СП равно 0, так как косинус (90^circ) равен 0.
В случае, если overrightarrow a и overrightarrow b не нулевые, можно найти косинус α между ними, опираясь на формулу:
Расчет угла, если вектор задан координатами
В случае, когда направляющие расположены на двухмерной плоскости с заданными координатами в виде (overrightarrow a=left(a_x;a_yright)) и (overrightarrow b=left(b_x;b_yright)) , то угол между ними можно найти следующим образом:
Если же координаты находятся в трехмерном пространстве и заданы в виде:
то формула принимает такой вид:
Расчет угла, если заданы три точки в прямоугольной системе координат
В этом случае проще будет разобраться с объяснениями сразу на примере.
Допустим, нам известны три точки и их координаты: A(3,-2), B(2,1), C (6,-1). Нужно найти косинус угла между (overrightarrow
Для начала найдем их координаты по известным координатам заданных точек:
После этого уже можем применить формулу для определения косинуса угла на плоскости и подставить известные значения:
Примеры решения задач
Для наглядности, взглянем на примеры решения задач по данной теме.
Задача 1
Известно, что (overrightarrow a) и (overrightarrow b) . Их длины равны 3 и 6 соответственно, а скалярное произведение равно -9. Нужно найти cos угла между векторами и его величину.
Подставим известные значения:
Далее найдем угол между данными векторами:
Задача 2
В пространстве даны координаты (overrightarrow a=(8; -11; 7)) и (overrightarrow b=(-2; -7; 8)) . Вычислить угол α между ними.
Используем формулу для нахождения косинуса угла между направляющими в трехмерной системе координат:
Подставляем значения и получаем:
Задача 3
Известны (overrightarrow a=(3; 4)) и (overrightarrow b=(2; 5)) . Найти угол между ними.
Источник статьи: http://wiki.fenix.help/matematika/ugol-mezhdu-vektorami
Формула угла между векторами
Угол между двумя векторами
Рассмотрим понятие угла между двумя направлениями в пространстве.
Как и на плоскости, в пространстве направлением называется множество всех лучей, каждый из которых сонаправлен с данным. Таким образом, любой луч из данного множества сонаправленных лучей вполне определяет это направление (подобно тому, как любой направленный отрезок вполне определяет вектор, который он изображает). Поэтому направление в пространстве обычно задают при помощи только одного луча.
Углом между двумя направлениями называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом.
Угол между лучами l1 и l2 обозначается (widehat
Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов. Угол между векторами а и b (рис. 21) обозначается (widehat
Если угол между векторами а и b равен 90°, то эти векторы называют перпендикулярными (или ортогональными) и пишут: а ⊥ b.
Рассмотрим некоторую прямую l, на которой выбрана единица измерения длины. Пусть А и В — некоторые точки прямой l такие, что |АВ| = 1.
Тогда векторы (overrightarrow
Единичные векторы прямой задают на ней два направления. Одно из них называется положительным, другое — отрицательным.
Прямая, на которой выбрана точка О (начало отсчета), задано положительное направление и задана единица измерения длины, называется осью. Вектор е (|е| = 1), задающий направление оси, называется единичным вектором оси (рис. 23).
Углом между вектором и осью, называется величина угла между направлением оси и направлением вектора (рис. 24).
Вычисление угла между двумя векторами.
По определению скалярного произведения
т. е. косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин.
$$ acdot b = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2, \ |a|=sqrt<
и поэтому, используя равенство (1), получим формулу
Эта формула позволяет вычислить косинус угла между векторами а и b по координатам этих векторов.
Если векторы а = (x1 ; y1 ) и b = (x2 ; y2) заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле
Задача 1. Даны два вектора а = (3; 4) и b = (4; 3). Найти угол между ними.
Подставив координаты векторов в формулу (3), получим
откуда (по таблице) (widehat<(a; b)>) ≈ 16°.
Задача 2. Найти косинус угла между векторами
Источник статьи: http://razdupli.ru/teor/109_formula-ugla-mezhdu-vektorami.php
Как найти угол между векторами
Марина Николаевна Ковальчук
Эксперт по предмету «Геометрия»
С нами работают 108 689 преподавателей из 185 областей знаний. Мы публикуем только качественные материалы
Угол между векторами
Для того, чтобы мы могли ввести формулу для вычисления угла между векторами через координаты, нужно сначала разобраться с самим понятием угла между этими векторами.
Пусть нам даны два вектора $overline<α>$ и $overline<β>$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $overline<α>=overline
Рисунок 1. Угол между векторами. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Причем мы будем считать, что если векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут сонаправленными, или один или оба из них будет нулевым вектором, то угол между этими векторами будет равняться $0^circ$.
Нахождение угла между векторами в пространстве с помощью скалярного произведения
Вспомним сначала, что называется скалярным произведением и каким образом его можно находить.
Скалярным произведением двух векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
Также, помимо того, как из самого определения 1, для нахождения скалярного произведения можно пользоваться следующей теоремой.
Скалярное произведение двух данных векторов $overline<δ>$ и $overline<β>$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, равняется сумме произведений их соответствующих координат.
Математически выглядит следующим образом
$overline<δ>cdot overline<β>=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$
Обозначение: $overline<δ>cdot overline<β>$.
С помощью скалярного произведения мы можем найти косинус угла между векторами. Пусть нам даны векторы $overline<δ>$ и $overline<β>$ с координатами $(δ_1,β_1,γ_1)$ и $(δ_2,β_2,γ_2)$, соответственно. Из определения 2 получим, что
Из теоремы 1 мы знаем, что $overline<δ>cdot overline<β>=δ_1 δ_2+β_1 β_2+γ_1 γ_2$, следовательно
Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline<δ>|$ и $|overline<β>|$, окончательно получим
Найдя значение косинуса, мы легко найдем и значение самого угла.
Найти косинус угла между векторами $overline<δ>$ и $overline<β>$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.
Найдем скалярное произведение между данными векторами через координаты:
$overline<δ>cdot overline<β>=1cdot 3+(-2)cdot 0+2cdot 4=11$
Найдем длины этих векторов:
Нахождение угла между векторами с помощью векторного произведения
Вспомним сначала, определение векторного произведения и каким образом его можно находить.
Векторным произведением двух векторов называется такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина равна произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют ту же ориентацию, как и декартова система координат.
Математически это выглядит следующим образом:
- $|overline<δ>хoverline<β>|=|overline<δ>||overline<β>|sin∠(overline<δ>,overline<β>)$
- $overline<δ>хoverline<β>⊥overline<δ>$, $overline<δ>хoverline<β>⊥overline<β>$
- $(overline<δ>хoverline<β>,overline<δ>,overline<β>)$ и $(overline,overline
,overline )$ одинаково ориентированы (рис. 2)
Рисунок 2. Векторное произведение. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Для нахождения вектора векторного произведения можно пользоваться следующей формулой:
С помощью векторного произведения мы можем найти синус угла между данными векторами. Пусть нам даны векторы $overline<δ>$ и $overline<β>$ с координатами $(δ_1,δ_2,δ_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Из определения 3 получим, что
Найдем вектор векторного произведения по формуле:
$overline<δ>хoverline<β>=begin
Расписывая по формуле длины вектора значения $|overline<δ>|$, $|overline<β>|$ и $|overline<δ>хoverline<β>|$, окончательно получим
Найдя значение синуса, мы легко найдем и значение самого угла между векторами через координаты через формулу.
Найти синус угла между векторами $overline<δ>$ и $overline<β>$, имеющими координаты $(1,-2,2)$ и $(3,0,4)$, соответственно.
Найдем вектор векторного произведения между данными векторами по формуле:
Источник статьи: http://spravochnick.ru/geometriya/metod_koordinat_v_prostranstve/kak_nayti_ugol_mezhdu_vektorami/
Как найти угол треугольника зная координаты вершин
Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.
Решения задач о треугольнике онлайн
Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.
Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.
Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.
Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.
Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.
Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.
Найти косинусы углов треугольника
Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.
1) Найти косинусы углов треугольника ABC;
2) Определить вид треугольника.
1) Угол A образован векторами
(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).
Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.
2) Угол B образован векторами
— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:
Как найти косинус внутреннего угла при вершине В?
Вычислим стороны треугольника АВС, используя формулу определения расстояния между точками в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве.
Затем, применив теорему косинусов, найдем искомый угол.
Вот таким образом у меня получилось, если не ошибся в арифметике
Найти косинус угла АВС можно по формуле для расчёта угла между двумя векторами.
Зная координаты вершин А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2), находим вектора АВ = , СВ = . Для этого мы использовали формулу вида:
Источник статьи: http://ritorika.com.ua/rukovodstvo/24/kak-najti-ugol-treugolnika-znaja-koordinaty
Как найти угол треугольника зная координаты вершин
Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.
Решения задач о треугольнике онлайн
Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.
Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.
Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.
Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.
Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.
Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.
Найти косинусы углов треугольника
Мы уже находили косинусы углов треугольника по его сторонам в произвольном треугольнике и косинус острого угла прямоугольного треугольника.
Рассмотрим, как найти косинусы углов треугольника по его вершинам.
1) Найти косинусы углов треугольника ABC;
2) Определить вид треугольника.
1) Угол A образован векторами
(Чертёж не обязательно делать на координатной плоскости. Достаточно выполнить его схематически, для упрощения понимания, какой угол какими векторами образован).
Поскольку скалярное произведение меньше нуля, угол, образованный данными векторами, тупой. Значит треугольник ABC — тупоугольный.
2) Угол B образован векторами
— противоположные векторы, то их координаты отличаются только знаками и векторы имеют одинаковую длину:
Как найти косинус внутреннего угла при вершине В?
Вычислим стороны треугольника АВС, используя формулу определения расстояния между точками в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве.
Затем, применив теорему косинусов, найдем искомый угол.
Вот таким образом у меня получилось, если не ошибся в арифметике
Найти косинус угла АВС можно по формуле для расчёта угла между двумя векторами.
Зная координаты вершин А(2;-2;-2), В(2;2;-1) и С(3;1;-2), находим вектора АВ = , СВ = . Для этого мы использовали формулу вида:
Источник статьи: http://ritorika.com.ua/rukovodstvo/24/kak-najti-ugol-treugolnika-znaja-koordinaty
Как найти косинус угла по координатам
Формула
Чтобы найти косинус угла между векторами нужно найти отношение скалярного произведения векторов и произведение их длин (модулей). Если векторы заданы на плоскости двумя координатами $ overline=(x_1;y_1) $ и $ overline=(x_2;y_2) $, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:
В числителе находится скалярное произведение векторов, то есть каждая координата умножается на соответствующую координату другого вектора и при этом находится сумма всех произведений. А в знаменателе расположено произведение модулей векторов. Каждый модуль равен извлеченному квадратному корню из суммы квадратов координат вектора.
Примеры решений
| Пример |
| Даны два вектора $ overline =(3;1) $ и $ overline = (2;4) $. Требуется найти косинус угла между векторами. |
| Решение |
Первая строчка заполняется переменными x, y, z, и из них вычитаются координаты любой точки плоскости. В данном случае вычитается точка С = ( − 1; 0; 6). Тогда получится такая строка: (x−(−1); y − 0; z−6).
