На страницах этого популярного портала вы найдете ответ на любые профильные вопросы
Меню
Как найти косинус угла больше 90 градусов
Как найти косинус угла больше 90 градусов
Тригонометрия с нуля в 9 классе
Тригонометрия начинается в 9-м классе и это одна из самых нелюбимых тем у школьников. Не потому, что она сложная, а потому, что это что-то новое и очень необычное. Но в ОГЭ она если и встречается, то в первой части, а значит, ничего сложного там не должно быть.
Возникает интересный вопрос: как может пригодиться тригонометрия в реальной жизни? Оказывается, ее применение очень обширно: в астрономии и навигации при определении углов и направлений, в географии, в волновой физике (радио, радары, свет, рентген) и т.д. Конечно многие, кто заканчивает школу, никогда больше не столкнутся с тригонометрией, но общие знания все равно должны быть у каждого, чтобы понимать, как устроен окружающий нас мир.
Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс?
Тригонометрия в какой-то степени относится и к алгебре, и к геометрии. В этом уроке мы обсудим геометрическую часть тригонометрии.
А именно, нам понадобится прямоугольный треугольник. Это такой треугольник, в котором один из углов 90 градусов. Стороны, образующие прямой угол, называются катеты, для удобства обозначим их какими-нибудь буквами, например, (a) и (b). А гипотенузой называют сторону треугольника, лежащую напротив прямого угла, пусть она у нас будет (c). И обозначим острые углы в треугольнике за (alpha) и (beta).
С обозначениями закончили, без них изучать тригонометрию будет проблематично.
А теперь дадим определения тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Все эти страшные названия не существуют сами по себе, они обязательно берутся от какого-нибудь угла, например, (alpha).
Синусом угла (alpha) в ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике называют отношение противолежащего катета (a) к гипотенузе (c). (Противолежащий катет – это сторона, которая лежит прямо напротив угла (alpha)). Посмотрите на рисунок, в нашем случае синус (alpha) можно записать так:
Это и есть определение синуса: синус – это отношение определенных сторон треугольника. Ничего сложного тут нет.
Косинусом угла (alpha) в прямоугольном треугольнике называют отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе (c). (Прилежащий катет – это катет, который образует угол (alpha) с гипотенузой.) Опять обратите внимание на рисунок:
Тангенсом угла (alpha) называют отношение противолежащего катета (a) к прилежащему (b):
Котангенсом угла (alpha) называют отношение прилежащего катета (b) к противолежащему (a):
Вот так просто вводятся определения всех тригонометрических функций через обычный прямоугольный треугольник.
Свойства тригонометрических функций
$$ sin(alpha) in [-1;1];$$ $$ cos(alpha) in [-1;1];$$
Для тангенса и котангенса никаких ограничений нет, они могут принимать абсолютно любые значения.
Теперь выведем несколько формул, без которых нам точно потом не обойтись. Например, можно обратить внимание, что тангенс выражается через деление синуса на косинус, просто расписав их по определению:
А последняя формула есть ни что иное, как определение тангенса: $$ tg(alpha)=frac;$$ Значит $$ tg(alpha)=frac.$$
Кроме этого, легко заметить, что функции тангенса и котангенса взаимно обратны: $$tg(alpha)*ctg(alpha)=frac*frac=1.$$
А теперь мы подобрались к не самой очевидной тригонометрической формуле, но одной из самых главных во всей тригонометрии. Основное тригонометрическое тождество:
$$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad (1)$$
И вторая аналогичная формула для котангенса: $$1+сtg^2(alpha)=frac<1>;$$ Вывод один в один, сделайте сами.
Для удобства соберем все формулы вместе. $$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1. qquad(1)$$ $$ tg(alpha)=frac. qquad(2)$$ $$ctg(alpha)=frac. qquad(3)$$ $$tg(alpha)*ctg(alpha)=1.qquad(4)$$ $$1+tg^2(alpha)=frac<1>. qquad(5)$$ $$1+сtg^2(alpha)=frac<1>. qquad(6)$$ Это далеко не все тригонометрические формулы, их гораздо больше. Но для начала и для 9-го класса этого вполне достаточно.
Зачем же они нужны? Оказывается, эти формулы помогают связать тригонометрические функции между собой. Посмотрите внимательно на первую формулу (1): зная, например, чему равен косинус, можно легко найти синус, и наоборот.
Пример 1Пусть (cos(alpha) =frac<1><2>), найдите (sin(alpha)=?)
Берем основное тригонометрическое тождество (формула (1)) и подставляем в него известный по условию задачи (cos(alpha)=frac<1><2>🙂 $$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$ $$sin^2(alpha)+left(frac<1><2>right)^2=1;$$ А дальше просто решаем получившееся уравнение относительно синуса: $$sin^2(alpha)=1-left(frac<1><2>right)^2;$$ $$sin^2(alpha)=1-frac<1><4>;$$ Приводим к общему знаменателю: $$sin^2(alpha)=frac<4><4>-frac<1><4>;$$ $$sin^2(alpha)=frac<3><4>;$$ И здесь внимательно решаем квадратное уравнение: $$sin(alpha)=pmfrac><2>;$$ Обратите внимание на (pm). Синус может быть как положительным, так и отрицательным, так как при подстановке и возведении в квадрат минус сгорает. Значит здесь получается два ответа.
Аналогично, зная хотя бы одну тригонометрическую функцию, можно найти все остальные, используя тригонометрические формулы. Рассмотрим еще пример:
Пример 2Пусть (sin(alpha) =frac<1><3>), найдите (ctg(alpha)=?)
Смотрим на наш список формул и находим такую, в которой есть и синус и котангенс — это формула (6): $$1+сtg^2(alpha)=frac<1>.$$ Подставляем известный из условия синус (sin(alpha) =frac<1><3>): $$1+сtg^2(alpha)=frac<1><3>right)^2>.$$ Перевернем правую часть: $$1+сtg^2(alpha)=left(frac<3><1>right)^2.$$ $$1+сtg^2(alpha)=9.$$ Теперь решим уравнение и найдем котангенс: $$сtg^2(alpha)=8.$$ $$сtg(alpha)=pmsqrt<8>=pmsqrt<4>*sqrt<2>=pm2sqrt<2>.$$
Значения тригонометрических функций
Все тригонометрические функции берутся от некоторых углов. Если нам известен угол, то это значит, что нам известно и значение тригонометрической функции. Например, синус от 30 градусов равен (frac<1><2>):
При помощи калькулятора можно посчитать значение тригонометрической функции от любого угла (за редкими исключениями, поговорим об этом позже). Но есть, так называемые, стандартные углы, значения от которых всеобще известны. В школе пользоваться калькулятором нельзя, поэтому подавляющее большинство заданий из тригонометрии будет связано именно с этими углами, особенно в 9-м классе. Обычно стандартные углы записываются при помощи таблицы, которую придется выучить:
Вот несколько примеров, посчитанных при помощи таблицы (1): $$cos(45^o)=frac><2>=frac>*sqrt<2>>=frac<1>>;$$ $$tg(60^o)=sqrt<3>;$$ $$ctg(90^o)=0;$$
Наблюдательный читатель мог обратить внимание, что значения всех тригонометрических функций в таблице (1) либо положительны, либо равны нулю. Отрицательных значений нет совсем. Однако, в примерах №1 и№2, которые мы разобрали выше, у нас получались отрицательные значения. Дело в том, что в таблице (1) рассмотрены далеко не все стандартные углы, а только до 90 градусов. Есть расширенная версия этой таблицы, где указано больше стандартных углов. И у некоторых тригонометрических функций значения будут отрицательны. Пример такой таблицы:
Выглядит пугающе, но учить вам это НЕ НУЖНО! В некоторых школах есть изверги, которые заставляют учить такую таблицу, но в этом совершенно нет необходимости. В дальнейшем мы научимся сами выводить все значения тригонометрических функций только из маленькой таблицы.
Обратите внимание, что синус некоторого угла в треугольнике всегда положителен, неважно, тупой или острый угол. А вот косинус, тангенс и котангенс в треугольнике положительны только от острых углов и отрицательны от тупых.
Тут может возникнуть вопрос, как может существовать синус, косинус, тангенс или котангенс от тупого угла, большего чем (90^o), если мы давали определение всех тригонометрических функций через прямоугольный треугольник, в котором нет углов больших (90^o). Ну что ж, да тригонометрические функции существуют для любых углов и острых, и тупых, но для самого начала тригонометрии определения через прямоугольный треугольник нам более чем достаточно. Просто запомните выводы, которые мы сделали в предыдущем абзаце.
Рассмотрим пример на тригонометрию по типу схожий с заданиями ОГЭ. Обычно задачи сводятся просто к нахождению тригонометрической функции некоторого угла, нарисованного на рисунке:
Пример 2По рисунку определить значение (sin(alpha)=?)
По определению синус в прямоугольном треугольнике – это отношение противолежащего катета к гипотенузе. Первым делом достроим наш синий угол (angle) до прямоугольного треугольника, для этого опустим из точки (A) высоту (AH) к (BC). Получили прямоугольный треугольник (AHB). Теперь можем воспользоваться определением синуса: $$sin(alpha)=frac;$$ По клеточкам на рисунке найдем длину отрезка (AH=15). А гипотенузу (AB) найти по клеточкам не выйдет, так как она идет по диагонали. Но мы можем найти опять по клеточкам второй катет в прямоугольном треугольнике (BH=12) и применить теорему Пифагора: $$AB^2=AH^2+BH^2;$$ $$AB^2=15^2+12^2=225+144=369;$$ $$AB=sqrt<369>=3sqrt<41>;$$ Подставим в формулу для синуса и найдем его: $$sin(alpha)=frac=frac<15><3sqrt<41>>;$$
Разберем еще примеры посложнее на нахождение тригонометрических функций друг через друга. Некоторые даже будут из реального ЕГЭ:
Пример 3Пусть (tg(alpha)=sqrt<3>), найти (cos(alpha)=?), если известно, что (alpha Задание из ЕГЭ по профильной математике.
Условие аналогично условию в примерах №1 и 2, но появилось еще какое-то ограничение на угол (alpha), пока не будем обращать на него внимания, и решаем как обычно. Воспользуемся формулой (5), в ней есть и косинус, и тангенс, как раз одна из функций нам дана, а другую надо найти: $$1+tg^2(alpha)=frac<1>;$$ $$1+(sqrt<3>)^2=frac<1>;$$ $$1+3=frac<1>;$$ $$4=frac<1>;$$ $$cos^2(alpha)=frac<1><4>;$$ $$cos(alpha)=pmfrac<1><2>.$$
У нас опять получилось два ответа из-за квадрата. В условии сказано, что задание из первой части ЕГЭ, а значит два ответа быть не может. Для этого нам и дано, что (alpha Пусть (tg(alpha) =-2), найти (sin(alpha)=?), при (90^o 90^o), то значение косинуса должно быть отрицательным: $$cos(alpha)=-sqrt<5>>;$$
А потом, уже зная косинус, по основному тригонометрическому тождеству (1) можно найти требуемый в задаче синус: $$sin^2(alpha)+cos^2(alpha)=1;$$ $$sin^2(alpha)+left(-sqrt<5>>right)^2=1;$$ $$sin^2(alpha)+frac<1><5>=1;$$ $$sin^2(alpha)=-frac<1><5>+1;$$ $$sin^2(alpha)=frac<4><5>;$$ $$sin(alpha)=pmsqrt<5>>;$$ Синус у нас положительный и при острых ((alpha Дан прямоугольный треугольник (bigtriangleup), в котором угол (angle=90^o), угол (angle=60^o), сторона (AC=5). Найти все стороны треугольника (bigtriangleup).
Trouble understanding sine, cosine of angles greater than $90$ degrees
I recently learned about the trigonometric functions of angles greater than $90$ degrees, and I’m having a hard time understanding the concept.
We worked with a diagram like this:
My teacher proceeded to tell the class that the sine of angle $theta$ was equal to the ratio between the opposite side ( $y$ ) and the hypotenuse ( $r$ ).
I don’t quite understand this logic. I’m familiar with trigonometric functions, but as I remember them, they applied to angles inside a right-triangle, not an angle outside of it. This seems counter-intuitive to me.
Shouldn’t the sine ratio (or cosine, for that matter) represent the angle $180 — theta$ located inside the right triangle, rather than outside of it? An explanation would be greatly appreciated, as this is a key part of our current unit.
1 Answer 1
When trigonometric functions like sine and cosine are applied to situations where we’re dealing with angles that are greater than or equal to 90 degrees, the logic based purely on the right triangle definition of trigonometric functions as we know it breaks because in elementary trigonometry the sum of the angles in a right triangle (or any other triangle, for that matter) can’t be greater than $180^circ$ . That’s obvious.
Let’s say you have a 135-degree angle ( $90^circ+45^circ=135^circ$ ), as in your picture. Basically, you still, kind of, use the right triangle idea, but you now must take into account the fact that the legs of the triangle can have negative values because the whole idea that the angle can be greater than or equal to 90 degrees comes from the unit circle which we work with in the Cartesian coordinate system. Therefore, when $x$ is negative, the length of the corresponding leg has a negative value. When $y$ is negative, the length of the corresponding leg is going to be negative as well. Does this make sense to you?
If you find my explanation confusing, here’s a more-to-the-point version: forget about the right triangle definition for angles greater than or equal to 90 degrees. It doesn’t really work. Now you work in the Cartesian coordinate system where the hypotenuse equals $1$ , $costheta$ is the x-coordinate and $sintheta$ is the y-coordinate.
Таблицы значений синусов (sin), косинусов (cos), тангенсов (tg), котангенсов (ctg) — это мощный и полезный инструмент, помогающий решать множество задач, как теоретического, так и прикладного характера. В этой статье мы приведем таблицу основных тригонометрических функций (синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов) для углов 0, 30, 45, 60, 90, . 360 градусов ( 0 , π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 π радиан). Также будут показаны отдельные таблицы Брадиса для синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов с пояснением, как их использовать для нахождения значений основных тригонометрических функций.
Таблица основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 45, 60, 90, . 360 градусов
Исходя из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно найти значения этих функций для углов 0 и 90 градусов
sin 0 = 0 , cos 0 = 1 , t g 0 = 0 , котангенс нуля — не определен,
sin 90 ° = 1 , cos 90 ° = 0 , с t g 90 ° = 0 , тангенс дявяноста градусов не определен.
Значения синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов в курсе геометрии определяются как соотношения сторон прямоугольного треугольника, углы которого равны 30, 60 и 90 градусов, и также 45, 45 и 90 градусов.
Определение тригонометрических функуций для острого угла в прямоугольном треугольнике
Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
В соответствии с определениями находятся значения функций:
sin 30 ° = 1 2 , cos 30 ° = 3 2 , t g 30 ° = 3 3 , c t g 30 ° = 3 , sin 45 ° = 2 2 , cos 45 ° = 2 2 , t g 45 ° = 1 , c t g 45 ° = 1 , sin 60 ° = 3 2 , cos 45 ° = 1 2 , t g 45 ° = 3 , c t g 45 ° = 3 3 .
Сведем эти значения в таблицу и назовем ее таблицей основных значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Таблица основных значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
α °
0
30
45
60
90
sin α
0
1 2
2 2
3 2
1
cos α
1
3 2
2 2
1 2
0
t g α
0
3 3
1
3
н е о п р е д е л е н
c t g α
н е о п р е д е л е н
3
1
3 3
0
α , р а д и а н
0
π 6
π 4
π 3
π 2
Одно из важных свойств тригонометрических функций — периодичность. На основе этого свойства данную таблицу можно расширить,используя формулы приведения. Ниже представим расширенную таблицу значений основных тригонометрических функций для углов 0, 30, 60, . ,120, 135, 150, 180, . , 360 градусов ( 0 , π 6 , π 3 , π 2 , . . . , 2 π радиан).
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
α °
0
30
45
60
90
120
135
150
180
210
225
240
270
300
315
330
360
sin α
0
1 2
2 2
3 2
1
3 2
2 2
1 2
0
— 1 2
— 2 2
— 3 2
— 1
— 3 2
— 2 2
— 1 2
0
cos α
1
3 2
2 2
1 2
0
— 1 2
— 2 2
— 3 2
— 1
— 3 2
— 2 2
— 1 2
0
1 2
2 2
3 2
1
t g α
0
3 3
1
3
—
— 1
— 3 3
0
0
3 3
1
3
—
— 3
— 1
0
c t g α
—
3
1
3 3
0
— 3 3
— 1
— 3
—
3
1
3 3
0
— 3 3
— 1
— 3
—
α , р а д и а н
0
π 6
π 4
π 3
π 2
2 π 3
3 π 4
5 π 6
π
7 π 6
5 π 4
4 π 3
3 π 2
5 π 3
7 π 4
11 π 6
2 π
Периодичность синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяет расширять эту таблицу до сколь угодно больших значений углов. Значения, собранные в таблице, используются при решении задач чаще всего, поэтому их рекомендуется выучить наизусть.
Как пользоваться таблицей основных значений тригонометрических функций
Принцип пользования таблицей значений синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов понятен на интуитивном уровне. Пересечение строки и столбца дает значение функции для конкретного угла.
Пример. Как пользоваться таблицей синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Нужно узнать, чему равен sin 7 π 6
Находим в таблице столбец, значение последней ячейки которого равно 7 π 6 радиан — то же самое, что 210 градусов. Затем выбираем сроку таблицы, в которой представлены значения синусов. На пересечении строки и столбца находим искомое значение:
Таблицы Брадиса
Таблица Брадиса позволяет вычислить значение синуса, косинуса, тангенса или котангенса с точностью до 4-х знаков после запятой без использования вычислительной техники. Это своего рода замена инженерному калькулятору.
Владимир Модестович Брадис (1890 — 1975) — советский математик-педагог, с 1954 года член-корреспондент АПН СССР. Таблицы четырёхзначных логарифмов и натуральных тригонометрических величин, разработанные Брадисом, впервые вышли в 1921 году.
Сначала приведем таблицу Брадиса для синусов и косинусов. Она позволяет достаточно точно вычислять приближенные значения этих функций для углов, содержащих целое количество градусов и минут. В крайнем левом столбце таблицы представлены градусы, а в верхней строке — минуты. Отметим, что все значения углов таблицы Брадиса кратны шести минутам.
Таблица Брадиса для синусов и косинусов
sin
0′
6′
12′
18′
24′
30′
36′
42′
48′
54′
60′
cos
1′
2′
3′
0.0000
90°
0°
0.0000
0017
0035
0052
0070
0087
0105
0122
0140
0157
0175
89°
3
6
9
1°
0175
0192
0209
0227
0244
0262
0279
0297
0314
0332
0349
88°
3
6
9
2°
0349
0366
0384
0401
0419
0436
0454
0471
0488
0506
0523
87°
3
6
9
3°
0523
0541
0558
0576
0593
0610
0628
0645
0663
0680
0698
86°
3
6
9
4°
0698
0715
0732
0750
0767
0785
0802
0819
0837
0854
0.0872
85°
3
6
9
5°
0.0872
0889
0906
0924
0941
0958
0976
0993
1011
1028
1045
84°
3
6
9
6°
1045
1063
1080
1097
1115
1132
1149
1167
1184
1201
1219
83°
3
6
9
7°
1219
1236
1253
1271
1288
1305
1323
1340
1357
1374
1392
82°
3
6
9
8°
1392
1409
1426
1444
1461
1478
1495
1513
1530
1547
1564
81°
3
6
9
9°
1564
1582
1599
1616
1633
1650
1668
1685
1702
1719
0.1736
80°
3
6
9
10°
0.1736
1754
1771
1788
1805
1822
1840
1857
1874
1891
1908
79°
3
6
9
11°
1908
1925
1942
1959
1977
1994
2011
2028
2045
2062
2079
78°
3
6
9
12°
2079
2096
2113
2130
2147
2164
2181
2198
2215
2233
2250
77°
3
6
9
13°
2250
2267
2284
2300
2317
2334
2351
2368
2385
2402
2419
76°
3
6
8
14°
2419
2436
2453
2470
2487
2504
2521
2538
2554
2571
0.2588
75°
3
6
8
15°
0.2588
2605
2622
2639
2656
2672
2689
2706
2723
2740
2756
74°
3
6
8
16°
2756
2773
2790
2807
2823
2840
2857
2874
2890
2907
2924
73°
3
6
8
17°
2924
2940
2957
2974
2990
3007
3024
3040
3057
3074
3090
72°
3
6
8
18°
3090
3107
3123
3140
3156
3173
3190
3206
3223
3239
3256
71°
3
6
8
19°
3256
3272
3289
3305
3322
3338
3355
3371
3387
3404
0.3420
70°
3
5
8
20°
0.3420
3437
3453
3469
3486
3502
3518
3535
3551
3567
3584
69°
3
5
8
21°
3584
3600
3616
3633
3649
3665
3681
3697
3714
3730
3746
68°
3
5
8
22°
3746
3762
3778
3795
3811
3827
3843
3859
3875
3891
3907
67°
3
5
8
23°
3907
3923
3939
3955
3971
3987
4003
4019
4035
4051
4067
66°
3
5
8
24°
4067
4083
4099
4115
4131
4147
4163
4179
4195
4210
0.4226
65°
3
5
8
25°
0.4226
4242
4258
4274
4289
4305
4321
4337
4352
4368
4384
64°
3
5
8
26°
4384
4399
4415
4431
4446
4462
4478
4493
4509
4524
4540
63°
3
5
8
27°
4540
4555
4571
4586
4602
4617
4633
4648
4664
4679
4695
62°
3
5
8
28°
4695
4710
4726
4741
4756
4772
4787
4802
4818
4833
4848
61°
3
5
8
29°
4848
4863
4879
4894
4909
4924
4939
4955
4970
4985
0.5000
60°
3
5
8
30°
0.5000
5015
5030
5045
5060
5075
5090
5105
5120
5135
5150
59°
3
5
8
31°
5150
5165
5180
5195
5210
5225
5240
5255
5270
5284
5299
58°
2
5
7
32°
5299
5314
5329
5344
5358
5373
5388
5402
5417
5432
5446
57°
2
5
7
33°
5446
5461
5476
5490
5505
5519
5534
5548
5563
5577
5592
56°
2
5
7
34°
5592
5606
5621
5635
5650
5664
5678
5693
5707
5721
0.5736
55°
2
5
7
35°
0.5736
5750
5764
5779
5793
5807
5821
5835
5850
5864
0.5878
54°
2
5
7
36°
5878
5892
5906
5920
5934
5948
5962
5976
5990
6004
6018
53°
2
5
7
37°
6018
6032
6046
6060
6074
6088
6101
6115
6129
6143
6157
52°
2
5
7
38°
6157
6170
6184
6198
6211
6225
6239
6252
6266
6280
6293
51°
2
5
7
39°
6293
6307
6320
6334
6347
6361
6374
6388
6401
6414
0.6428
50°
2
4
7
40°
0.6428
6441
6455
6468
6481
6494
6508
6521
6534
6547
6561
49°
2
4
7
41°
6561
6574
6587
6600
6613
6626
6639
6652
6665
6678
6691
48°
2
4
7
42°
6691
6704
6717
6730
6743
6756
6769
6782
6794
6807
6820
47°
2
4
6
43°
6820
6833
6845
6858
6871
6884
6896
8909
6921
6934
6947
46°
2
4
6
44°
6947
6959
6972
6984
6997
7009
7022
7034
7046
7059
0.7071
45°
2
4
6
45°
0.7071
7083
7096
7108
7120
7133
7145
7157
7169
7181
7193
44°
2
4
6
46°
7193
7206
7218
7230
7242
7254
7266
7278
7290
7302
7314
43°
2
4
6
47°
7314
7325
7337
7349
7361
7373
7385
7396
7408
7420
7431
42°
2
4
6
48°
7431
7443
7455
7466
7478
7490
7501
7513
7524
7536
7547
41°
2
4
6
49°
7547
7559
7570
7581
7593
7604
7615
7627
7638
7649
0.7660
40°
2
4
6
50°
0.7660
7672
7683
7694
7705
7716
7727
7738
7749
7760
7771
39°
2
4
6
51°
7771
7782
7793
7804
7815
7826
7837
7848
7859
7869
7880
38°
2
4
5
52°
7880
7891
7902
7912
7923
7934
7944
7955
7965
7976
7986
37°
2
4
5
53°
7986
7997
8007
8018
8028
8039
8049
8059
8070
8080
8090
36°
2
3
5
54°
8090
8100
8111
8121
8131
8141
8151
8161
8171
8181
0.8192
35°
2
3
5
55°
0.8192
8202
8211
8221
8231
8241
8251
8261
8271
8281
8290
34°
2
3
5
56°
8290
8300
8310
8320
8329
8339
8348
8358
8368
8377
8387
33°
2
3
5
57°
8387
8396
8406
8415
8425
8434
8443
8453
8462
8471
8480
32°
2
3
5
58°
8480
8490
8499
8508
8517
8526
8536
8545
8554
8563
8572
31°
2
3
5
59°
8572
8581
8590
8599
8607
8616
8625
8634
8643
8652
0.8660
30°
1
3
4
60°
0.8660
8669
8678
8686
8695
8704
8712
8721
8729
8738
8746
29°
1
3
4
61°
8746
8755
8763
8771
8780
8788
8796
8805
8813
8821
8829
28°
1
3
4
62°
8829
8838
8846
8854
8862
8870
8878
8886
8894
8902
8910
27°
1
3
4
63°
8910
8918
8926
8934
8942
8949
8957
8965
8973
8980
8988
26°
1
3
4
64°
8988
8996
9003
9011
9018
9026
9033
9041
9048
9056
0.9063
25°
1
3
4
65°
0.9063
9070
9078
9085
9092
9100
9107
9114
9121
9128
9135
24°
1
2
4
66°
9135
9143
9150
9157
9164
9171
9178
9184
9191
9198
9205
23°
1
2
3
67°
9205
9212
9219
9225
9232
9239
9245
9252
9259
9256
9272
22°
1
2
3
68°
9272
9278
9285
9291
9298
9304
9311
9317
9323
9330
9336
21°
1
2
3
69°
9336
9342
9348
9354
9361
9367
9373
9379
9383
9391
0.9397
20°
1
2
3
70°
9397
9403
9409
9415
9421
9426
9432
9438
9444
9449
0.9455
19°
1
2
3
71°
9455
9461
9466
9472
9478
9483
9489
9494
9500
9505
9511
18°
1
2
3
72°
9511
9516
9521
9527
9532
9537
9542
9548
9553
9558
9563
17°
1
2
3
73°
9563
9568
9573
9578
9583
9588
9593
9598
9603
9608
9613
16°
1
2
2
74°
9613
9617
9622
9627
9632
9636
9641
9646
9650
9655
0.9659
15°
1
2
2
75°
9659
9664
9668
9673
9677
9681
9686
9690
9694
9699
9703
14°
1
1
2
76°
9703
9707
9711
9715
9720
9724
9728
9732
9736
9740
9744
13°
1
1
2
77°
9744
9748
9751
9755
9759
9763
9767
9770
9774
9778
9781
12°
1
1
2
78°
9781
9785
9789
9792
9796
9799
9803
9806
9810
9813
9816
11°
1
1
2
79°
9816
9820
9823
9826
9829
9833
9836
9839
9842
9845
0.9848
10°
1
1
2
80°
0.9848
9851
9854
9857
9860
9863
9866
9869
9871
9874
9877
9°
0
1
1
81°
9877
9880
9882
9885
9888
9890
9893
9895
9898
9900
9903
8°
0
1
1
82°
9903
9905
9907
9910
9912
9914
9917
9919
9921
9923
9925
7°
0
1
1
83°
9925
9928
9930
9932
9934
9936
9938
9940
9942
9943
9945
6°
0
1
1
84°
9945
9947
9949
9951
9952
9954
9956
9957
9959
9960
9962
5°
0
1
1
85°
9962
9963
9965
9966
9968
9969
9971
9972
9973
9974
9976
4°
0
0
1
86°
9976
9977
9978
9979
9980
9981
9982
9983
9984
9985
9986
3°
0
0
0
87°
9986
9987
9988
9989
9990
9990
9991
9992
9993
9993
9994
2°
0
0
0
88°
9994
9995
9995
9996
9996
9997
9997
9997
9998
9998
0.9998
1°
0
0
0
89°
9998
9999
9999
9999
9999
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
1.0000
0°
0
0
0
90°
1.0000
sin
60′
54′
48′
42′
36′
30′
24′
18′
12′
6′
0′
cos
1′
2′
3′
Для нахождения значений синусов и косинусов углов, не представленных в таблице, необходимо использовать поправки.
Теперь приведем таблицу Брадиса для тангенсов и котангенсов. Она содержит значения тангенсов углов от 0 до 76 градусов, и котангенсов углов от 14 до 90 градусов.
Таблица Брадиса для тангенса и котангенса
tg
0′
6′
12′
18′
24′
30′
36′
42′
48′
54′
60′
ctg
1′
2′
3′
0
90°
0°
0,000
0017
0035
0052
0070
0087
0105
0122
0140
0157
0175
89°
3
6
9
1°
0175
0192
0209
0227
0244
0262
0279
0297
0314
0332
0349
88°
3
6
9
2°
0349
0367
0384
0402
0419
0437
0454
0472
0489
0507
0524
87°
3
6
9
3°
0524
0542
0559
0577
0594
0612
0629
0647
0664
0682
0699
86°
3
6
9
4°
0699
0717
0734
0752
0769
0787
0805
0822
0840
0857
0,0875
85°
3
6
9
5°
0,0875
0892
0910
0928
0945
0963
0981
0998
1016
1033
1051
84°
3
6
9
6°
1051
1069
1086
1104
1122
1139
1157
1175
1192
1210
1228
83°
3
6
9
7°
1228
1246
1263
1281
1299
1317
1334
1352
1370
1388
1405
82°
3
6
9
8°
1405
1423
1441
1459
1477
1495
1512
1530
1548
1566
1584
81°
3
6
9
9°
1584
1602
1620
1638
1655
1673
1691
1709
1727
1745
0,1763
80°
3
6
9
10°
0,1763
1781
1799
1817
1835
1853
1871
1890
1908
1926
1944
79°
3
6
9
11°
1944
1962
1980
1998
2016
2035
2053
2071
2089
2107
2126
78°
3
6
9
12°
2126
2144
2162
2180
2199
2217
2235
2254
2272
2290
2309
77°
3
6
9
13°
2309
2327
2345
2364
2382
2401
2419
2438
2456
2475
2493
76°
3
6
9
14°
2493
2512
2530
2549
2568
2586
2605
2623
2642
2661
0,2679
75°
3
6
9
15°
0,2679
2698
2717
2736
2754
2773
2792
2811
2830
2849
2867
74°
3
6
9
16°
2867
2886
2905
2924
2943
2962
2981
3000
3019
3038
3057
73°
3
6
9
17°
3057
3076
3096
3115
3134
3153
3172
3191
3211
3230
3249
72°
3
6
10
18°
3249
3269
3288
3307
3327
3346
3365
3385
3404
3424
3443
71°
3
6
10
19°
3443
3463
3482
3502
3522
3541
3561
3581
3600
3620
0,3640
70°
3
7
10
20°
0,3640
3659
3679
3699
3719
3739
3759
3779
3799
3819
3839
69°
3
7
10
21°
3839
3859
3879
3899
3919
3939
3959
3979
4000
4020
4040
68°
3
7
10
22°
4040
4061
4081
4101
4122
4142
4163
4183
4204
4224
4245
67°
3
7
10
23°
4245
4265
4286
4307
4327
4348
4369
4390
4411
4431
4452
66°
3
7
10
24°
4452
4473
4494
4515
4536
4557
4578
4599
4621
4642
0,4663
65°
4
7
11
25°
0,4663
4684
4706
4727
4748
4770
4791
4813
4834
4856
4877
64°
4
7
11
26°
4877
4899
4921
4942
4964
4986
5008
5029
5051
5073
5095
63°
4
7
11
27°
5095
5117
5139
5161
5184
5206
5228
5250
5272
5295
5317
62°
4
7
11
28°
5317
5340
5362
5384
5407
5430
5452
5475
5498
5520
5543
61°
4
8
11
29°
5543
5566
5589
5612
5635
5658
5681
5704
5727
5750
0,5774
60°
4
8
12
30°
0,5774
5797
5820
5844
5867
5890
5914
5938
5961
5985
6009
59°
4
8
12
31°
6009
6032
6056
6080
6104
6128
6152
6176
6200
6224
6249
58°
4
8
12
32°
6249
6273
6297
6322
6346
6371
6395
6420
6445
6469
6494
57°
4
8
12
33°
6494
6519
6544
6569
6594
6619
6644
6669
6694
6720
6745
56°
4
8
13
34°
6745
6771
6796
6822
6847
6873
6899
6924
6950
6976
0,7002
55°
4
9
13
35°
0,7002
7028
7054
7080
7107
7133
7159
7186
7212
7239
7265
54°
4
8
13
36°
7265
7292
7319
7346
7373
7400
7427
7454
7481
7508
7536
53°
5
9
14°
37°
7536
7563
7590
7618
7646
7673
7701
7729
7757
7785
7813
52°
5
9
14
38°
7813
7841
7869
7898
7926
7954
7983
8012
8040
8069
8098
51°
5
9
14
39°
8098
8127
8156
8185
8214
8243
8273
8302
8332
8361
0,8391
50°
5
10
15
40°
0,8391
8421
8451
8481
8511
8541
8571
8601
8632
8662
0,8693
49°
5
10
15
41°
8693
8724
8754
8785
8816
8847
8878
8910
8941
8972
9004
48°
5
10
16
42°
9004
9036
9067
9099
9131
9163
9195
9228
9260
9293
9325
47°
6
11
16
43°
9325
9358
9391
9424
9457
9490
9523
9556
9590
9623
0,9657
46°
6
11
17
44°
9657
9691
9725
9759
9793
9827
9861
9896
9930
9965
1,0000
45°
6
11
17
45°
1,0000
0035
0070
0105
0141
0176
0212
0247
0283
0319
0355
44°
6
12
18
46°
0355
0392
0428
0464
0501
0538
0575
0612
0649
0686
0724
43°
6
12
18
47°
0724
0761
0799
0837
0875
0913
0951
0990
1028
1067
1106
42°
6
13
19
48°
1106
1145
1184
1224
1263
1303
1343
1383
1423
1463
1504
41°
7
13
20
49°
1504
1544
1585
1626
1667
1708
1750
1792
1833
1875
1,1918
40°
7
14
21
50°
1,1918
1960
2002
2045
2088
2131
2174
2218
2261
2305
2349
39°
7
14
22
51°
2349
2393
2437
2482
2527
2572
2617
2662
2708
2753
2799
38°
8
15
23
52°
2799
2846
2892
2938
2985
3032
3079
3127
3175
3222
3270
37°
8
16
24
53°
3270
3319
3367
3416
3465
3514
3564
3613
3663
3713
3764
36°
8
16
25
54°
3764
3814
3865
3916
3968
4019
4071
4124
4176
4229
1,4281
35°
9
17
26
55°
1,4281
4335
4388
4442
4496
4550
4605
4659
4715
4770
4826
34°
9
18
27
56°
4826
4882
4938
4994
5051
5108
5166
5224
5282
5340
5399
33°
10
19
29
57°
5399
5458
5517
5577
5637
5697
5757
5818
5880
5941
6003
32°
10
20
30
58°
6003
6066
6128
6191
6255
6319
6383
6447
6512
6577
6643
31°
11
21
32
59°
6643
6709
6775
6842
6909
6977
7045
7113
7182
7251
1,7321
30°
11
23
34
60°
1,732
1,739
1,746
1,753
1,760
1,767
1,775
1,782
1,789
1,797
1,804
29°
1
2
4
61°
1,804
1,811
1,819
1,827
1,834
1,842
1,849
1,857
1,865
1,873
1,881
28°
1
3
4
62°
1,881
1,889
1,897
1,905
1,913
1,921
1,929
1,937
1,946
1,954
1,963
27°
1
3
4
63°
1,963
1,971
1,980
1,988
1,997
2,006
2,014
2,023
2,032
2,041
2,05
26°
1
3
4
64°
2,050
2,059
2,069
2,078
2,087
2,097
2,106
2,116
2,125
2,135
2,145
25°
2
3
5
65°
2,145
2,154
2,164
2,174
2,184
2,194
2,204
2,215
2,225
2,236
2,246
24°
2
3
5
66°
2,246
2,257
2,267
2,278
2,289
2,3
2,311
2,322
2,333
2,344
2,356
23°
2
4
5
67°
2,356
2,367
2,379
2,391
2,402
2,414
2,426
2,438
2,450
2,463
2,475
22°
2
4
6
68°
2,475
2,488
2,5
2,513
2,526
2,539
2,552
2,565
2,578
2,592
2,605
21°
2
4
6
69°
2,605
2,619
2,633
2,646
2,66
2,675
2,689
2,703
2,718
2,733
2,747
20°
2
5
7
70°
2,747
2,762
2,778
2,793
2,808
2,824
2,840
2,856
2,872
2,888
2,904
19°
3
5
8
71°
2,904
2,921
2,937
2,954
2,971
2,989
3,006
3,024
3,042
3,06
3,078
18°
3
6
9
72°
3,078
3,096
3,115
3,133
3,152
3,172
3,191
3,211
3,230
3,251
3,271
17°
3
6
10
73°
3,271
3,291
3,312
3,333
3,354
3,376
3
7
10
3,398
3,42
3,442
3,465
3,487
16°
4
7
11
74°
3,487
3,511
3,534
3,558
3,582
3,606
4
8
12
3,630
3,655
3,681
3,706
3,732
15°
4
8
13
75°
3,732
3,758
3,785
3,812
3,839
3,867
4
9
13
3,895
3,923
3,952
3,981
4,011
14°
5
10
14
tg
60′
54′
48′
42′
36′
30′
24′
18′
12′
6′
0′
ctg
1′
2′
3′
Как пользоваться таблицами Брадиса
Рассмотрим таблицу Брадиса для синусов и косинусов. Все, что относится к синусам находится вверху и слева. Если нам нужны косинусы — смотрим на правую сторону внизу таблицы.
Для нахождения значений синуса угла нужно найти пересечение строки, содержащей в крайней левой ячейке необходимое количество градусов, и столбца, содержащего в верхней ячейке необходимое число минут.
Если точного значения угла нет в таблице Брадиса, прибегаем к помощи поправок. Поправки на одну, две и три минуты даны в крайних правых столбцах таблицы. Для нахождения значения синуса угла, которого нет в таблице, находим самое близкое к нему значение. После этого прибавляем или отнимаем поправку, соответствующую разнице между углами.
В случае, если мы ищем синус угла, который больше 90 градусов, сначала нужно воспользоваться формулами приведения, а уже потом — таблицей Брадиса.
Пример. Как пользоваться таблицей Брадиса
Пусть нужно найти синус угла 17 ° 44 ‘ . По таблице находим, чему равен синус 17 ° 42 ‘ и прибавляем к его значению поправку на две минуты:
17 ° 44 ‘ — 17 ° 42 ‘ = 2 ‘ ( н е о б х о д и м а я п о п р а в к а ) sin 17 ° 44 ‘ = 0 . 3040 + 0 . 0006 = 0 . 3046
Принцип работы с косинусами, тангенсами и котангенсами аналогичен. Однако, важно помнить о знаке поправок.
При вычислении значений синусов поправка имеет положительный знак, а при вычислении косинусов поправку необходимо брать с отрицательным знаком.
Нахождение значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса
Для того, чтобы определить значение угла α, необходимо воспользоваться подходящей функции из тригонометрии. Во время решения задач постоянно возникает необходимость в том, чтобы узнать значение углов. Для некоторых углов можно найти точные значения, для других сложно определить точную цифру и можно вывести только приблизительное значение.
В этой статье мы подробно поговорим о функциях из тригонометрии. Мы не только расскажем о свойствах синуса, тангенса и других функций, но и узнаем, как правильно вычислять значения для каждого отдельного случая.
Рассмотрим подробно каждый случай.
Приближенное число для каждой из известных функций можно найти по определению. Для одних можно указать точные значения, для других – только приблизительные.
Соотношения сторон и углов фигуры используются для того, чтобы определить значения для 30 ° , 45 ° , 60 ° . Если угол выходит за пределы 90 ° , то перед вычислением значения следует воспользоваться специальной формулой для того, чтобы привести угол к нужному виду.
Если известно значение синуса для α , можно быстро узнать значение косинуса для этого же угла. Это легко выполнить с помощью основных тождеств, которые представлены в геометрии.
В некоторых случаях для того, чтобы узнать sin или cos угла, можно использовать подходящую тригонометрическую формулу. Например, по известному значению синуса 45 ° , мы сможем определить значение синуса 30 ° , воспользовавшись правилом из тригонометрии.
Если для примера не подходит ни одно из приведенных выше решений, можно найти приближенное значение. В этом вам помогут таблицы основных тригонометрических функций, которые легко можно найти.
Если взять за основу определения, возможно определить значения для определенного угла α . Также можно вычислить значения тангенса и котангенса для определенного случая. Можно найти значений основных функций из тригонометрии для частных вариантов. Это углы 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° .
Разобьем эти углы на четыре группы: 360 · z градусов ( 2 π · z рад), 90 + 360 · z градусов ( π 2 + 2 π · z рад), 180 + 360 · z градусов ( π + 2 π · z рад) и 270 + 360 · z градусов ( 3 π 2 + 2 π · z рад), где z — любое целое число.
Изобразим данные формулы на рисунке:
Для каждой группы соответствуют свои значения.
При повороте из точки A на 360 · z ° , она переходит в себя. А 1 ( 1 , 0 ) . Синус 0 ° , 360 ° , 720 ° равен 0 , а косинус равен 1 . Представим это в виде формулы: sin ( 360 ° · z ) = 0 и cos ( 360 ° · z ) = 1 .
Можно определить, что t g ( 360 ° · z ) = 0 1 = 0 , а котангенс не определен.
Если А ( 1 , 0 ) повернуть на 90 + 360 · z ° , то она перейдет в А 1 ( 0 , 1 ) . По определению: sin ( 90 ° + 360 ° · z ) = 1 и cos ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 . Мы не сможем определить значение тангенса, но котангенс рассчитывается по данной формуле: c t g ( 90 ° + 360 ° · z ) = 0 1 = 0 .
Рассмотрим особенности для третьей группы углов. После поворота точки А ( 1 , 0 ) на любой из углов 180 + 360 · z ° , она перейдет в A 1 ( − 1 , 0 ) . Мы находим значения функций кроме тангенса.
Рассмотрим правила для четвертой группы углов. При повороте точки на 270 + 360 · z ° мы попадем в A 1 ( 0 , − 1 ) . Мы находим значения всех функций кроме тангенса.
Для углов, которые не относятся к перечню от 0 ° , 90 ° , 180 ° , 270 ° , 360 ° … , точных значений нет. Мы можем найти лишь приближенные значения. Рассмотрим пример. Условия – найти основные значения для угла − 52 ° . Выполним построения.
Согласно рисунку, абсцисса А 1 ≈ 0 , 62 , а ордината ≈ − 0 , 78 . Соответственно, sin ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 и cos ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 . Осталось определиться с тангенсом и котангенсом.
Выполняем вычисления: t g ( — 52 ° ) ≈ — 0 , 78 0 , 62 ≈ — 1 , 26 и c t g ( — 52 ° ) ≈ 0 , 62 — 0 , 78 ≈ — 0 , 79 .
Чем точнее выполняется чертеж, тем более точными будут значения для каждого индивидуального случая. Выполнять вычисления удобно только в теории, так как на практике довольно сложно и долго выполнять рисунки.
Линии тригонометрических функций
Линии тригонометрических функций – это линии, которые изображаются вместе с единичной окружностью. Они имеют точку отсчета и единичный отрезок, которая равна единице в координатной системе. Они используются для наглядного изображения значений.
Рассмотрим их на подробном рисунке
Как найти sin α , cos α , t g α , c t g α
Для тридцати-, сорокопяти-, шестидесятиградусных углов мы имеем определенные значения. Чтобы найти их, можно воспользоваться правилами о прямоугольном треугольнике с острыми углами. Для этого используется теорема Пифагора.
Для того, чтобы узнать значения для углов тридцати- и шестидесятиградусных углов изображаем прямоугольный треугольник с углами данной величины. Длина гипотенузы должна быть равна 1 . Согласно теореме Пифагора, катет, лежащий напротив тридцатиградусного угла, равен половине гипотенузы. Воспользуемся теоремой: 1 2 — 1 2 2 = 3 2 . Так как синус угла – это катет, деленный на гипотенузу, вычисляем, что sin 30 ° = 1 2 1 = 1 2 и sin 60 ° = 3 2 1 = 3 2 .
Косинус можно найти по формуле, которая предполагает деление прилежащего катета на гипотенузу. Вычисляем: cos 30 ° = 3 2 1 = 3 2 и cos 60 ° = 1 2 1 = 1 2 .
Тангенс можно найти по формуле, которая предполагает деление противолежащего катета на прилежащий. Котангенс находим по такой же схеме – делим прилежащий катет на противолежащий.
Вычисляем: t g 30 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 и t g 60 ° = 3 2 1 2 = 3 . Находим котангенс по подобной схеме: с t g 30 ° = 3 2 1 2 = 3 и с t g 60 ° = 1 2 3 2 = 1 3 = 3 3 . После этого приступаем к вычислению значений основных тригонометрических функций для сорока пятиградусного угла. Используем равнобедренный треугольник с углами 45 ° и гипотенузой, которая равна 1 . Используем теорему Пифагора. Согласно формуле, длины катетов равны 2 2 . Т
Теперь мы сможем найти значения для основных тригонометрических функций. Используем формулу, которая предполагает деление длин соответствующих сторон рассматриваемого треугольника.
Выводим формулу: c t g 45 ° = 2 2 2 2 = 1 .
Полученные значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов будут использоваться для решения различных задач. Запишите их – они часто будут использоваться. Для удобства можно использовать таблицу значений.
Проиллюстрируем значения для тридцати-, сорокапяти-, шестидесятиградусных углов с использованием окружности и линий.
Значения основных функций тригонометрии
Основные тождества из геометрии связывают с собой sin α , cos α , t g α , c t g α для определенного угла. С помощью одной функции вы легко сможете найти другую.
Для того, чтобы найти синус по известному косинусу, sin 2 α + cos 2 α = 1 .
Тангенс по известному косинусу t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α .
Котангенс по известному синусу или наоборот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α .
Тангенс через котангенс или наоборот можно найти благодаря удобной формуле: t g α · c t g α = 1 .
Для того, чтобы закрепить полученные знания, рассмотрим их на подробном примере
Необходимо найти значение синуса угла π 8 , если t g π 8 = 2 — 1 .
Сначала найдем котангенс угла: c t g π 8 = 1 t g π 8 = 1 2 — 1 = 2 + 1 ( 2 — 1 ) · ( 2 + 1 ) = 2 + 1 ( 2 ) 2 — 1 2 = 2 + 1 Воспользуемся формулой 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α . Благодаря этому мы вычисляем значение синуса. Имеем sin 2 π 8 = 1 1 + c t g 2 π 8 = 1 1 + ( 2 + 1 ) 2 = 1 4 + 2 2 = 1 2 · ( 2 + 2 ) = 2 — 2 2 · ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = = 2 — 2 2 · ( 2 2 — ( 2 ) 2 ) = 2 — 2 4
Для завершения необходимо определить значение синуса. Угол π 8 является углом первой четверти, то синус является положительным. Чтобы точно определить знак, вы можете воспользоваться таблицей, в которой определены знаки по четвертям координатной плоскости. Таким образом, sin π 8 = sin 2 π 8 = 2 — 2 4 = 2 — 2 2 . sin π 8 = 2 — 2 2 .
Сведение к углу
Удобнее всего находить значения для угла от 0 до 90 ° . Сведение к углу из интервала от 0 до 90 ° . Если угол не соответствует заданному интервалу, можно использовать законы и тождества, которые мы учили на уроках геометрии. Тогда мы сможем найти значение, которое будет равно для угла указанных пределах.
Задача заключается в том, чтобы найти синус 210 ° . Представим 210 как разность или сумму, разложив число на несколько. Воспользуемся соответствующей формулой для приведения. Используем формулу для нахождения значения синуса 30 ° : sin 210 ° = sin ( 180 ° + 30 ° ) = — sin 30 ° = — 1 2 , или косинуса 60 ° sin 210 ° = sin ( 270 ° — 60 ° ) = — cos 60 ° = — 1 2 .
Для того, чтобы решать задачи было намного проще, при нахождении значений переходите к углам из интервала от 0 до 90 ° с помощью формул приведения, если угол не находится в этих пределах.
Использование формул
Раннее мы рассмотрели подробности, касающиеся нахождению значений основных функций с использованием формул тригонометрии. Для того, чтобы определить значение для определенного угла, используйте формулы и значения основных функций для известных углов.
Для примера вычислим значение тангенса π 8 , который был использован в предыдущем примере. Возьмем за основу основные формулы тригонометрии.
Используя формулу тангенса, преобразуем уравнение до следующего равенства t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 . Значения косинуса угла π 4 известны из предыдущего примера. Благодаря этому мы быстро найдем значения тангенса. t g 2 π 8 = 1 — cos π 4 1 + cos π 4 = 1 — 2 2 1 + 2 2 = 2 — 2 2 + 2 = = ( 2 — 2 ) 2 ( 2 + 2 ) · ( 2 — 2 ) = ( 2 — 2 ) 2 2 2 — ( 2 ) 2 = ( 2 — 2 ) 2 2
Угол π 8 является углом первой четверти. Согласно таблице основных тригонометрических функций по четвертям координатной плоскости, тангенс этого угла положителен. Продолжаем вычисления для дальнейшего решения: t g π 8 = t g 2 π 8 = ( 2 — 2 ) 2 2 = 2 — 2 2 = 2 — 1
Частные случаи
Тригонометрия – довольно сложная наука. Далеко не всегда можно найти формулы, используемые для вычисления. Существует множество уравнений, которые не поддаются стандартным формулам. Некоторые значения очень сложно обозначить точной цифрой. Это не так просто, как может показаться.
Однако точные значения не всегда нужны. Хватает и тех, что не претендуют на высокую точность. Благодаря существующим таблицам, которые можно найти в математических учебниках, можно найти любое приближенное значение основных функций. Благодаря справочным материалам вычислять формулы будет намного проще. В таблицах содержатся значения с высокой точностью.
Как найти синус и косинус углов в градусах без тригонометрической таблицы?
В статье мы расскажем, как находить значения:
и других тригонометрических выражений без тригонометрической таблицы .
Как вычисляются синусы и косинусы углов?
Чтобы вычислить косинус и синус некоторого угла нужно: 1. Отложить этот угол на тригонометрическом круге и определить какая точка соответствует этому углу; 2. Найти абсциссу и ординату этой точки. Косинус угла равен — абсциссе, а синус угла — ординате.
Предположим, стоит задача найти косинус и синус угла (30^°). Отложим на круге угол в (30^°) и найдем какая точка соответствует этому углу.
Если построить все точно, то видно, что абсцисса точки равна (0,866)… , что равно числу (frac><2>) , а ордината равна (0,5), то есть (frac<1><2>).
Аналогично и для любой другой точки на круге: значение абсциссы равно косинусу угла, а ординаты – синусу угла. Поэтому:
В тригонометрии ось абсцисс (ось x) часто называют «ось косинусов», а ординат (ось y) – «ось синусов».
Обычно на осях не отмечают (0,1); (0,2); (0,3) и т.д., а сразу наносят стандартные значения для синуса и косинуса: (±frac<1><2>=±0,5); (±frac> <2>≈±0,707); (±frac> <2>≈±0,866).
Первый шаг к тому, чтобы находить синусы и косинусы стандартных углов – научится отмечать эти углы на тригонометрическом круге.
Как отметить любой угол на тригонометрическом круге?
Чтоб отложить положительный угол нужно двигаться против часовой стрелки от начала отсчета, чтобы отметить отрицательный – по часовой стрелке;
Градусная мера окружности равна (360^°), полуокружности (180^°), а четверти (90^°);
Углы в (0^°), (30^°), (45^°) и (60^°) выглядят так:
Одна точка может соответствовать разным углам;
Угол может быть больше (360^°). В этом случае он просто сделает полный оборот и пойдет дальше. Фактически, можно (360^°) просто отбросить и откладывать тот угол, который останется – в итоге вы всё равно окажетесь в той же точке.
Задание 1. Отметьте на окружности точки соответствующие углам: (720^°), (225^°), (300^°), (870^°), (900^°), (-330^°), (-630^°), (-210^°).
Как находить синус и косинус любого угла?
Начертите тригонометрический круг и оси косинусов и синусов (не обязательно рисовать прям аккуратно, как на картинке ниже, можно и некрасиво – главное не запутаться какая точка к какому значению относится).
Отложите на круге угол, синус и косинус которого надо найти, и определите точку на круге, соответствующую этому углу.
Найдите координаты точки, используя картинку ниже.
(-540^°) на тригонометрическом круге совпадает с (-1) на оси косинусов. То есть, координаты этой точки: ((-1;0)). Значит, (cos(-540^°)=-1), а (sin(-540^° )=0).
Да, имея перед глазами тригонометрический круг, вычислять синусы и косинусы любых углов легко. Возможно, у вас возник вопрос: «а что делать, если круга нет? Как делать такие вычисления на ЕГЭ?». Ответ очевиден – нарисовать круг самому! Для этого надо понять, как располагаются значения на нем. Подробную методику того, как это делается я рассказывала в этой статье .
Есть и другой способ запомнить тригонометрический круг – внимательно посмотреть на картинку ниже и запомнить максимальное количество элементов. После прикройте страницу и по памяти нарисуйте круг и отметьте всё, что смогли запомнить. Сверьте, что у вас получилось с тем, что было на картинке. Повторяйте эту последовательность действий пока по памяти не получится нарисовать тригонометрический круг со всеми значениями. Это займет 15 минут вашего времени, но сильно поможет в 13 задаче ЕГЭ (и не только в ней).
Примеры вычисления синуса и косинуса из ЕГЭ
В двух следующих примерах я специально рисовала круг от руки, чтобы вы увидели, как выглядят реальные решения.
Пример. Найдите значение выражения (54sqrt<3>cos(510^°)). Решение. (510^°=360^°+150^°=360^°+180^°-30^°.)
Смотрите бесплатные видео-уроки по теме “Тригонометрия” на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Для каждого из острых углов найдем прилежащий к нему катет и противолежащий.
Синус угла – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = Противолежащий катет гипотенуза
Косинус угла – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
cos α = Прилежащий катет гипотенуза
Тангенс угла – отношение противолежащего катета к прилежащему (или отношение синуса к косинусу).
tg α = Противолежащий катет Прилежащий катет
Котангенс угла – отношение прилежащего катета к противолежащему (или отношение косинуса к синусу).
ctg α = Прилежащий катет Противолежащий катет
Рассмотрим прямоугольный треугольник A B C , угол C равен 90 °:
tg ∠ A = sin ∠ A cos ∠ A = C B A C
ctg ∠ A = cos ∠ A sin ∠ A = A C C B
tg ∠ B = sin ∠ B cos ∠ B = A C C B
ctg ∠ B = cos ∠ B sin ∠ B = C B A C
Тригонометрия: Тригонометрический круг
Тригонометрия на окружности – это довольно интересная абстракция в математике. Если понять основной концепт так называемого “тригонометрического круга”, то вся тригонометрия будет вам подвластна. В описании к видео есть динамическая модель тригонометрического круга.
Тригонометрический круг – это окружность единичного радиуса с центром в начале координат.
Такая окружность пересекает ось х в точках ( − 1 ; 0 ) и ( 1 ; 0 ) , ось y в точках ( 0 ; − 1 ) и ( 0 ; 1 )
На данной окружности будет три шкалы отсчета – ось x , ось y и сама окружность, на которой мы будем откладывать углы.
Углы на тригонометрической окружности откладываются от точки с координатами ( 1 ; 0 ) , – то есть от положительного направления оси x , против часовой стрелки. Пусть эта точка будет называться S (от слова start). Отметим на окружности точку A . Рассмотрим ∠ S O A , обозначим его за α . Это центральный угол, его градусная мера равна дуге, на которую он опирается, то есть ∠ S O A = α = ∪ S A .
Давайте найдем синус и косинус этого угла. До этого синус и косинус мы искали в прямоугольном треугольнике, сейчас будем делать то же самое. Для этого опустим перпендикуляры из точки A на ось x (точка B ) и на ось игрек (точка C ) .
Отрезок O B является проекцией отрезка O A на ось x , отрезок O C является проекцией отрезка O A на ось y .
Рассмотрим прямоугольный треугольник A O B :
cos α = O B O A = O B 1 = O B
sin α = A B O A = A B 1 = A B
Поскольку O C A B – прямоугольник, A B = C O .
Итак, косинус угла – координата точки A по оси x (ось абсцисс), синус угла – координата точки A по оси y (ось ординат).
Давайте рассмотрим еще один случай, когда угол α – тупой, то есть больше 90 ° :
Опускаем из точки A перпендикуляры к осям x и y . Точка B в этом случае будет иметь отрицательную координату по оси x . Косинус тупого угла отрицательный .
Можно дальше крутить точку A по окружности, расположить ее в III или даже в IV четверти, но мы пока не будем этим заниматься, поскольку в курсе 9 класса рассматриваются углы от 0 ° до 180 ° . Поэтому мы будем использовать только ту часть окружности, которая лежит над осью x . (Если вас интересует тригонометрия на полной окружности, смотрите видео на канале). Отметим на этой окружности углы 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° , 90 ° , 120 ° , 135 ° , 150 ° , 180 ° . Из каждой точки на окружности, соответствующей углу, опустим перпендикуляры на ось x и на ось y .
Координата по оси x – косинус угла , координата по оси y – синус угла .
Ещё одно замечание.
Синус тупого угла – положительная величина, а косинус – отрицательная.
Тангенс – это отношение синуса к косинусу. При делении положительной величины на отрицательную результат отрицательный. Тангенс тупого угла отрицательный .
Котангенс – отношение косинуса к синусу. При делении отрицательной величины на положительную результат отрицательный. Котангенс тупого угла отрицательный .
Основное тригонометрическое тождество
Данное тождество – теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике O A B :
Тригонометрия: Таблица значений тригонометрических функций
0 °
30 °
45 °
60 °
90 °
sin α
0
1 2
2 2
3 2
1
cos α
1
3 2
2 2
1 2
0
tg α
0
3 3
1
3
нет
ctg α
нет
3
1
3 3
0
Тригонометрия: градусы и радианы
Как перевести градусы в радианы, а радианы в градусы? Как и когда возникла градусная мера угла? Что такое радианы и радианная мера угла? Ищите ответы в этом видео!
Тригонометрия: Формулы приведения
Тригонометрия на окружности имеет некоторые закономерности. Если внимательно рассмотреть данный рисунок,
sin 180 ° = sin ( 180 ° − 0 ° ) = sin 0 °
sin 150 ° = sin ( 180 ° − 30 ° ) = sin 30 °
sin 135 ° = sin ( 180 ° − 45 ° ) = sin 45 °
sin 120 ° = sin ( 180 ° − 60 ° ) = sin 60 °
cos 180 ° = cos ( 180 ° − 0 ° ) = − cos 0 °
cos 150 ° = cos ( 180 ° − 30 ° ) = − cos 30 °
cos 135 ° = cos ( 180 ° − 45 ° ) = − cos 45 °
cos 120 ° = cos ( 180 ° − 60 ° ) = − cos 60 °
Для произвольного тупого угла β = 180 ° − α всегда будут справедливы следующие равенства:
Тригонометрия: Теорема синусов
В произвольном треугольнике стороны пропорциональны синусам противолежащих углов.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C
Тригонометрия: Расширенная теорема синусов
Отношение стороны к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной вокруг данного треугольника окружности.
a sin ∠ A = b sin ∠ B = c sin ∠ C = 2 R
Тригонометрия: Теорема косинусов
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c ⋅ cos ∠ A
b 2 = a 2 + c 2 − 2 a c ⋅ cos ∠ B
c 2 = a 2 + b 2 − 2 a b ⋅ cos ∠ C
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с тригонометрией.
Тригонометрия: Тригонометрические уравнения
Из серии видео ниже вы узнаете, как решать простейшие тригонометрические уравнения, что такое обратные тригонометрические функции, зачем они нужны и как их использовать. Если вы поймёте эти базовые темы, то вскоре сможете без проблем решать любые тригонометрические уравнения любого уровня сложности!
Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы
Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой нужной науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии, которые придумали наиболее важные понятия, объяснили многие свойства, предложили варианты измерения и др.
Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии без таблиц и графиков.
Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения
Зачем разделять понятия синуса, косинуса, тангенса и котангенса?
Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.
Определения тригонометрических функций
Синус угла ( sin α ) — это отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.
Косинус угла ( cos α ) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Тангенс угла ( t g α ) — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.
Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!
Синус и косинус можно представить через экспоненту (экспоненциальная функция).
В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.
Означения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять (находить) значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.
Что и почему важно и принято помнить в ходе такого нахождения?
Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тг и ктг — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.
Как найти синус? Для начала нужно определиться, какой перед нами треугольник: прямоугольный или произвольный. В первом случае можно использовать обычный тригонометрический метод, а во втором — теорему косинусов.
Как найти косинус? Соответственно, нам нужно знать значения прилежающего катета и гипотенузы.
Как найти тангенс? Если треугольник прямоугольный, то тангенс вычисляется при помощи значений противоположного катета и прилежащего (в уравнении нужно поделить одно на другое). Если речь идет о числах, тупых, развернутых углов и углов, превышающих 360 градусов, то тангенс определяется при помощи синуса и косинуса (посредством их отношения и деления).
Теорема синусов и косинусов используется для того чтобы искать элементы в произвольном треугольнике. Такой поиск используется часто.
Угол поворота
Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .
В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность (круг) с центром в начале декартовой системы координат.
Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).
Синус (sin или син) угла поворота
Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y
Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α =икс
Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x
Котанг угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y
Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогична ситуация с котангенсом. Отличие состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.
Простое правило: синус и косинус определены для любых углов α .
Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )
Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )
При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.
Числа
Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.
Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.
Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.
Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.
Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).
Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .
Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y
Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x
Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t
Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.
Тригонометрические функции углового и числового аргумента
Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).
Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.
Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.
Основные функции тригонометрии
Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.
Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.
Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии
Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.
Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.
В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.
Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.
Синус, косинус, тангенс и котангенс: основные формулы
Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника
Изучение тригонометрии мы начнем с прямоугольного треугольника. Определим, что такое синус и косинус, а также тангенс и котангенс острого угла. Это основы тригонометрии.
Напомним, что прямой угол — это угол, равный 90 градусов. Другими словами, половина развернутого угла.
Острый угол — меньший 90 градусов.
Тупой угол — больший 90 градусов. Применительно к такому углу «тупой» — не оскорбление, а математический термин 🙂
Нарисуем прямоугольный треугольник. Прямой угол обычно обозначается C. Обратим внимание, что сторона, лежащая напротив угла, обозначается той же буквой, только маленькой. Так, сторона, лежащая напротив угла A, обозначается .
Угол A обозначается соответствующей греческой буквой .
Гипотенуза прямоугольного треугольника — это сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катеты — стороны, лежащие напротив острых углов.
Катет , лежащий напротив угла , называется противолежащим (по отношению к углу ). Другой катет , который лежит на одной из сторон угла , называется прилежащим.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета к гипотенузе:
Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к гипотенузе:
Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему:
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу:
Котангенс острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение прилежащего катета к противолежащему (или, что то же самое, отношение косинуса к синусу):
Обратите внимание на основные формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые приведены ниже. Они пригодятся нам при решении задач.
sin
sin cos
cos
1+tg
cos = sin
tg
1+ctg
sin = cos
ctg
tg = ctg
Давайте докажем некоторые из них.
Сумма углов любого треугольника равна . Значит, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равнa .
С одной стороны, как отношение противолежащего катета к гипотенузе. С другой стороны, , поскольку для угла катет а будет прилежащим. Получаем, что . Иными словами, .
Возьмем теорему Пифагора: . Поделим обе части на получаем то есть Мы получили основное тригонометрическое тождество.
Поделив обе части основного тригонометрического тождества на , получим: Это значит, что если нам дан тангенс острого угла , то мы сразу можем найти его косинус. Аналогично,
Хорошо, мы дали определения и записали формулы. А для чего все-таки нужны синус, косинус, тангенс и котангенс?
Мы знаем, что сумма углов любого треугольника равна .
Знаем соотношение между сторонами прямоугольного треугольника. Это теорема Пифагора: .
Получается, что зная два угла в треугольнике, можно найти третий. Зная две стороны в прямоугольном треугольнике, можно найти третью. Значит, для углов — свое соотношение, для сторон — свое. А что делать, если в прямоугольном треугольнике известен один угол (кроме прямого) и одна сторона, а найти надо другие стороны?
С этим и столкнулись люди в прошлом, составляя карты местности и звездного неба. Ведь не всегда можно непосредственно измерить все стороны треугольника.
Синус, косинус и тангенс — их еще называют тригонометрическими функциями угла — дают соотношения между сторонами и углами треугольника. Зная угол, можно найти все его тригонометрические функции по специальным таблицам. А зная синусы, косинусы и тангенсы углов треугольника и одну из его сторон, можно найти остальные.
Мы тоже нарисуем таблицу значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса для «хороших» углов от до .
0
sin
0
cos
0
tg
0
−
ctg
−
0
Обратите внимание на два прочерка в таблице. При соответствующих значениях углов тангенс и котангенс не существуют.
Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.
В самом деле, пусть АВС и — два прямоугольных треугольника с прямыми углами С и и равными острыми углами А и
Треугольники АВС и подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому
Из этих равенств следует, что т. е. sin А = sin
Аналогично, т. е. cos А = cos и т. е. tg A = tg
Это значит, что синус, косинус и тангенс зависят только от величины угла.
Разберем несколько задач по тригонометрии из Банка заданий ФИПИ.
Задача 1. В треугольнике ABC угол C равен , sin A = 0,1. Найдите cos B.
Задача решается за четыре секунды.
Поскольку , sin A = cos B = 0,1 .
Задача 2 . В треугольнике угол равен , , .
Найдем AC по теореме Пифагора.
Задача 3. В треугольнике АВС угол С равен AВ = 13, ВС = 5. Найдите косинус и тангенс острого угла А. Ответ округлите до сотых.
Для угла А противолежащий катет – это ВС,
АВ является гипотенузой треугольника, лежит против Значит, sin A
Катет, прилежащий к – это катет АС, следовательно, cos А
Длину катета АС найдем по теореме Пифагора:
Заметим, что если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то гипотенуза равна 13. Это одна из так называемых Пифагоровых троек. О них мы расскажем в других статьях сайта.
Задача 4. В треугольнике АВС угол С равен AC = 2, sin A=
По теореме Пифагора получим
Задача 5. В треугольнике АВС угол С равен tg A = Найдите AB.
В треугольнике АВС угол С равен CH – высота, AB = 13, tg A = Найдите AH.
AВ = с = 13, tg A = тогда b = 5a.
(по двум углам), следовательно откуда
Задача 7. В треугольнике АВС угол С равен
Так как sin A = тогда c = АВ = 18.
Задача 8. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BC = 3, cos A =
а для ВНС: sin В = = , откуда СН =
По теореме Пифагора найдем ВН:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой. Поэтому для АВС получим:
Задача 9. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 24 и BН = 7. Найдите sin A.
ВС найдем по теореме Пифагора:
тогда а значит и sin A = = 0,28.
Задача 10. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, СН = 8 и BН = 4. Найдите tg A.
По определению sin A = = = cos A = = =
тогда tg A = который найдем из BHC:
Задача 11. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, tg A = Найдите АН.
Задача 12. В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, BН = 12, sin A = Найдите АВ.
Из СВН имеем cos В = = тогда ВС =
В АВС имеем sinA = = тогда AВ =
Задача 13. В треугольнике АВС угол С равен 90 из вершины прямого угла к гипотенузе проведена высота СН. Найдите cos A, AC и AB, если СН = 12, ВС = 20.
Найдем НВ по теореме Пифагора из ВСН:
Для АВС: cos A = получили cos A = 0,6.
Найдем АС и АВ несколькими способами.
Так как cos A = то пусть АС = 3х, АВ = 5х,
тогда по теореме Пифагора получим
(высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой) , тогда АН = 144:16 = 9.
По теореме Пифагора найдем АС:
Ответ: cos A = 0,6; АС = 15, АВ = 25.
Высота ВН прямоугольного треугольника АВС, проведенная из вершины прямого угла В, равна 24 и отсекает от гипотенузы АС отрезок НС, равный 18.
Из прямоугольного ВНС по теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС и cos C:
Из основного тригонометрического тождества найдем
Гипотенуза АС прямоугольного треугольника АСЕ равна 50, sin А =
Найдите площадь треугольника.
В прямоугольном АСЕ sin А =
Второй катет найдем, используя теорему Пифагора:
Площадь прямоугольного треугольника равна S =
В треугольнике АВС угол С — прямой, катеты АВ = 13 и ВС = 12, СК — высота.
Найдите sin Результат округлите до сотых.
Найдем АС по теореме Пифагора из САВ:
Задача 17. В треугольнике АВС АС = ВС, АВ = 72, cos A = Найдите высоту СН.
Так как АС = ВС, то АВС — равнобедренный с основанием АВ, тогда
высота СН является медианой, то есть АН = НВ =
Поскольку АСН — прямоугольный,
По теореме Пифагора тогда
Задача 18. В треугольнике АВС угол С равен 90 sin A = AC = 10 Найдите АВ.
Поскольку sin A = то можно обозначить
учитывая, что длина стороны положительна, х = 2,
следовательно, АВ = 14 2 = 28.
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством
По определению cos A = значит
Так как АС=10 то откуда АВ = = 28.
Задача 19. Найдите углы ромба АВСD, если его диагонали АС и ВD равны 4 и 4.
Диагонали ромба делят его углы пополам, значит, =
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, в прямоугольном треугольнике АВО катет АО = а катет ВО =
Часто в задачах встречаются треугольники с углами и или с углами и . Основные соотношения для них запоминайте наизусть!
Для треугольника с углами и катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы.
Треугольник с углами и — равнобедренный. В нем гипотенуза в раз больше катета.
В треугольнике АВС угол С равен 90 угол А равен 30 АВ = 2
По свойству катета, лежащего против угла имеем ВС = АВ =
В BHC: то следовательно, ВН = BC =
По теореме Пифагора найдем НС:
В треугольнике АВС угол С равен 90 CH — высота, АВ = 2, Найдите АH.
Из АВС найдем ВС = АВ = 1 (по свойству катета, лежащего против угла 30 ),
Еще раз повторим, что такое синус, косинус и тангенс угла в прямоугольном треугольнике.
Как запомнить эти соотношения? Лучший способ – решать много задач, и на уроках геометрии, и готовясь к ЕГЭ. Тогда все формулы, равенства, соотношения запомнятся сами собой.
Мы рассмотрели задачи на решение прямоугольных треугольников — то есть на нахождение неизвестных сторон или углов. Но это не всё! В вариантах ЕГЭ по математике множество задач, где фигурирует синус, косинус, тангенс или котангенс внешнего угла треугольника. Об этом — в следующей статье.
Если вам понравился разбор данной темы — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
