Меню

Как найти коэффициент затухания математического маятника



СтудФайлы vol.1 / лабы / Лабы / маятник / МатМаят

Целью работы явилось изучение различных режимов колебательного движения математического маятника и определение ускорения свободного падения, коэффициента затухания системы, а также величин, характеризующих затухающие колебания: времени релаксации, числа колебаний системы за это время, логарифмического декремента затухания и добротности системы.

Приборы: установка – маятник с электронным секундомером (δ = 0.001 с) и транспортиром (δ =1°), миллиметровая линейка (δ = 1 мм).

1.Математический маятник представляет собой тело малых размеров, подвешенное на длинной нерастяжимой нити.(рис.1).

Среди всевозможных колебаний, которые может совершать маятник, самыми простыми являются гармонические колебания. Чтобы получить период таких колебаний, необходимо принять некоторые условия, которые на практике в реальных колебательных системах выполняются лишь приближенно. Так, в случае мат. маятника пренебрежем силой сопротивления воздуха и отклонение нити маятника от равновесного положения будем считать малыми. Кроме того, будем считать, что нить маятника в любой момент времени находится в одной плоскости.

Рассмотрим произвольное положение маятника, когда его нить составляет угол  с вертикалью ОС (рис.1) Тогда второй закон Ньютона:

(1)

(2)

; .

В нашем случае ось вращения проходит через т. О, , где — длина нити, =90 0 , тогда:

. (3)

Подставляя (3) в (2), получаем в случае малых колебаний ():

, (4)

где 0 2 =g/l, 0 – собственная частота колебаний.

. (5)

Решение уравнения (4) можно записать в виде:

, (6)

где А0 – амплитуда колебания; 0 – начальная фаза колебания; (0t+0) – фаза колебания. Постоянные А0 и 0 находят из начальных условий.

2.Затухающие колебания математического маятника.

Учтем влияние силы сопротивления воздуха Fc на движение маятника. При небольших скоростях:

, (7)

где  — постоянная величина, зависящая от свойств среды и от формы и размеров тела. Так, в случае движения шарика радиуса, R в неограниченной среде с коэффициентом вязкости :

(закон Стокса). (8)

С учетом (7) уравнение (4) примет вид:

, (9)

где 2 = /m,  — коэффициент затухания системы.

Решение уравнения (9) при малом затухании (

Время 10 колебаний для разных углов отклонения

Источник статьи: http://studfile.net/preview/2556361/

Изучение затухающих колебаний математического маятника

Колебания – достаточно распространенная форма движений в природе. В повторяющихся движениях участвует трава на ветру, струны музыкальных инструментов, атомы кристаллической решетки, маятник часов и многие другие тела. Колебания играют немаловажную роль в нашей жизни, а законы их описывающие, являются общими. Для изучения колебаний в школьном курсе физики рассматриваются модели – идеализированные механические системы, в которых движения тел строго повторяются во времени. Но в реальном мире существуют силы трения, которые изменяют колебательный процесс маятника, делая колебания затухающими.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Изучение затухающих колебаний

Работа выполнена Хоченковой Дарьей,

Руководитель: Хоченкова Т.Е.,

Актуальность исследования стр. 3

Цели и задачи исследования стр. 3

Предмет исследования стр. 3

Гипотеза исследования стр. 3

Методы исследования стр. 4

Методика проведения эксперимента по измерению коэффициента затухания колебаний в среде стр. 6

Эксперимент № 1. Определение коэффициента затухания колебаний математического маятника в воздушной среде стр. 7

Эксперимент № 2. Определение коэффициента затухания колебаний математического маятника в воде, насыщенном растворе соли стр. 8

  1. Заключение стр. 9
  2. Использованные источники стр. 10
  3. Приложение стр. 11-16

удивительно склонен к колебаниям…

Колебания – достаточно распространенная форма движений в природе. В повторяющихся движениях участвует трава на ветру, струны музыкальных инструментов, атомы кристаллической решетки, маятник часов и многие другие тела. Колебания играют немаловажную роль в нашей жизни, а законы их описывающие, являются общими. Для изучения колебаний в школьном курсе физики рассматриваются модели – идеализированные механические системы, в которых движения тел строго повторяются во времени. Но в реальном мире существуют силы трения, которые изменяют колебательный процесс маятника, делая колебания затухающими. Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Мне всегда было интересно понять, почему все системы колеблющихся тел, которые я наблюдала, после некоторого времени переходили в состояние покоя. Каковы законы, которыми описываются движения реальных колебательных систем? Чем отличаются собственные колебания системы в среде от незатухающих колебаний идеализированной системе? Как свойства среды влияют на параметры колебаний? Поиск ответов на эти вопросы определяет актуальность исследования.

Область исследования: механика колебательного движения реальных систем в вязких средах.

Объект исследования: свободные затухающие колебания математического маятника.

Предмет исследования: характеристики колебательного движения – период, частота, коэффициент и логарифмический декремент затухания.

Цель исследования : измерение амплитуды затухающих колебаний математического маятника в разных средах, вычисление периода, изучение зависимости декремента затухания от рода вещества.

Гипотеза: наличие сил трения приводит к рассеянию энергии и уменьшению амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период колебаний, в более плотной среде колебания затухают быстрее.

  1. Изучить физику колебательного движения математического маятника.
  2. Познакомиться с экспериментальными методами оценки декремента затухания колебаний;
  3. Произвести эксперимент по изучению свободных затухающих колебаний математического маятника в различных средах;
  4. Сравнить зависимости графиков координаты колеблющегося тела от времени для гармонических и затухающих колебаний;
  5. Использовать методы визуализации полученных данных на основе построения диаграмм;
  6. Выявить как влияет вязкость среды на декремент затухания колебаний в различных средах;
  7. Проанализировать результаты эксперимента и сделать выводы о влиянии свойств среды на декремент затухания механических колебаний математического маятника.

Для решения поставленных задач использовались следующие методы исследования: теоретические : изучение специальной литературы, анализ результатов эксперимента, формулирование выводов; экспериментальные : измерение амплитуды затухающих колебаний, вычисление периода колебаний, построение графиков колебательного движения, исследование факторов, влияющих на декремент затухания.

Исследование проводилось в три этапа:

  • Подготовительный : выбор темы, формулирование целей, составление плана исследований.
  • Содержательный : изучение теории механических колебаний математического маятника, знакомство с методами измерения параметров затухающих колебаний, проведение экспериментальных исследований по определению декремента затухания, анализ факторов, влияющих на изменение декремента затухания колебаний в различных средах.
  • Заключительный : систематизация данных, анализ результатов, представление результатов исследования.

Практическая значимость: материалы исследования могут быть использованы на уроках физики, во внеклассной работе.

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, точно или приблизительно повторяющиеся через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, описывается с помощью некоторой периодической функции координаты от времени х = f (t). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление об изменениях параметров колебательного процесса во времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник.

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, которая колеблется под действием силы тяжести (Приложение, рис.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными. Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания нитяного маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными.

Элементарным видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

где x – смещение тела от положения равновесия, x m – амплитуда колебаний, т. е. максимальное отклонение от положения равновесия, ω – циклическая или круговая частота колебаний, t – время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса.

Если t = 0, φ = φ 0 , поэтому φ 0 называется начальной фазой. Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T (Приложение, рис. 2). Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний. Частота колебаний ν показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты – Герц (Гц). Частота колебаний ν связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс в природе невозможен. Свободные колебания любого маятника рано или поздно затухают и прекращаются. Поэтому в практической деятельности обычно встречаются именно с затухающими колебаниями. Они характеризуются тем, что амплитуда колебаний x m является убывающей функцией. В реальных колебательных системах помимо возвращающей силы действуют силы сопротивления среды. Наличие сил трения приводит к уменьшению энергии колебательной системы и убыванию амплитуды колебаний. Замедляя движение, силы трения увеличивают период, т.е. уменьшает частоту колебаний. Такие колебания не будут гармоническими, механическая энергия постепенно расходуется на совершение работы по преодолению силы сопротивления воздуха и превращается во внутреннюю энергию. Чем больше сила сопротивлению движению, тем быстрее прекращаются свободные колебания. В более вязких средах, например, в воде колебания затухают быстрее, чем в воздухе.

Поскольку скорость движения при колебаниях небольшая, будем считать, что сила сопротивления пропорциональна скорости движения F с

F c = – r ×υ = – r × , где r- коэффициент сопротивления среды;

На основании II закона Ньютона, учитывая действие сил сопротивления и сил упругости, получим:

Если разделить правую и левую часть на m и ввести обозначения , а = 2β, то получим, что решением такого уравнения будет функция:

Эта зависимость является уравнением свободных затухающих колебаний, в котором амплитуда убывает по экспоненциальному закону (Приложение, рис. 3).

Период таких затухающих колебаний равен:

Степень убывания амплитуды определяется коэффициентом затухания колебаний β

За время t = амплитуда уменьшается в e ≈ 2,72 раз.

Методика проведения эксперимента по измерению коэффициента затухания, декремента затухающих колебаний.

Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожно мала по сравнению с массой груза, деформации нити невелики, поэтому ими можно пренебречь. Пример такого маятника – тяжелый шарик, подвешенный на длинной тонкой нити, совершающий колебания небольшой амплитуды. Измерение параметров собственных (незатухающих) колебаний системы предполагает отсутствие внешней среды. Движение же маятника в среде приводит к появлению сил вязкого трения, которые постепенно уменьшают первоначально сообщенную системе энергию. Это выражается уменьшением собственной частоты колебаний ω 0 и постепенным уменьшением амплитуды колебаний (приложение, рис. 4). Анализ графиков затухающих колебаний, изображенных на рисунке 4, показывает зависимость степени уменьшения амплитуды от вязких свойств среды, а, следовательно, при различных значениях коэффициента затухания колебаний маятника.

Затухающие колебания можно разделить на два класса периодические (осуществляется при небольших коэффициентах трения среды) и непериодические (при сильном трении).

Установка для изучения затухающих колебаний представляет собой математический маятник, который совершает колебания относительно точки подвеса. На самодельной проградуированной шкале фиксируется амплитуда отклонения маятника от положения равновесия. В ходе эксперимента измеряется период затухающих колебаний, отмечаются значения амплитуды колебаний двух последующих отклонений х m маятника в одну и ту же сторону (Приложение, фотография 1). Оценивается д екремент затухания – количественная характеристика быстроты затухания колебаний. Физический смысл декремента – величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда убывает в е раз. Декремент затухания характеризует число периодов, в течение которых происходит затухание колебаний.

Декремент затухания λ равен натуральному логарифму отношения двух последующих максимальных отклонений х m колеблющейся величины в одну и ту же сторону (Приложение, рис. 5):

Расчетная формула для вычисления коэффициента затухания колебаний:

Логарифмический декремент затухания колебаний математического маятника, характеризующий интенсивность затухания, то есть уменьшение амплитуды за один период колебаний вычисляется по формуле

Эксперимент 1. Определение коэффициента и декремента затухания колебаний математического маятника в воздушной среде.

Цель: измерение параметров колебательных движений математического маятника, расчет коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания колебаний.

Приборы и материалы: штатив с муфтой и лапкой, математический маятник, секундомер (таймер телефона), самодельная шкала для установления угла отклонения маятника.

  1. Собрать экспериментальную установку (Приложение, рис. 6).
  2. Вывести маятник из положения равновесия, отклонив шарик от первоначального состояния на угол φ 0 . Отпустить шарик без толчка.

Пoд действием результитующей силы (суммы сил тяжести F т = mg и силы упругости, возникающей в нити), шaрик начнет движение в сторону положения равновесия, через некоторое время пройдет его, по инерции, затем отклонится в другую сторону от положения равновесия на некоторый угол φ 1 меньший, чем φ 0 и, под действием равнодействующей силы снова начнет движение в сторону положения равновесия. При отсутствии внешних действующих на шарик сил он будет совершать oписанное движение в oдной плoскости. В этом случае, траектoрией движения шарика будет дуга окружности радиуса l . В результате того, что на шарик действует сила сопротивления со стороны среды, в которой он движется, колебания математического маятника будут затухающими и после каждого прохождения равновесия он будет отклоняться от него на всё меньший и меньший угол.

  1. С помощью секундомера измерить время, за которое амплитуда колебаний математического маятника уменьшается в два раза, и рассчитать коэффициент затухания, характеризующий быстроту убывания амплитуды колебаний с течением времени, по формуле [2]:
  2. Полученные экспериментальные данные занесем в таблицу (Приложение, таблица 1,2).
  3. Пользуясь формулами [1] и [2],[3] произвести вычисление коэффициента и декремента затухания.

Коэффициент затухания колебаний:

Логарифмический декремент затухания колебаний в воздушной среде:

Вывод: коэффициент затухания колебаний математического маятника, измеренный при неизменной длине нити 50 см, полученный в эксперименте для движения в воздухе, составляет 0,18 с -1 , логарифмический декремент затухания – 0,23. Сравним параметры затухающих колебаний в различных средах, а для этого проведем эксперимент 2.

Эксперимент 2. Определение коэффициента и декремента затухания колебаний математического маятника в воде, насыщенном растворе соли.

Цель: измерение параметров колебательных движений математического маятника, расчет коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания колебаний в различных средах, анализ зависимости вязких свойств среды на параметры затухающих колебаний.

Приборы и материалы: штатив с муфтой и лапкой, математический маятник, секундомер (таймер), самодельная шкала для установления угла отклонения маятника, емкость с водой, насыщенный раствор соли.

  1. Собрать экспериментальную установку (Приложение, рис. 6).
  2. Вывести маятник из положения равновесия, отклонив шарик от первоначального состояния на угол φ 0 . Отпустить шарик без толчка.
  3. Определить время, с помощью таймера, за которое амплитуда колебаний математического маятника уменьшится в два раза, и рассчитать коэффициент затухания, характеризующий как быстро убывает амплитуда колебаний с течением времени, по формуле [2]:
  4. Полученные экспериментальные данные для сравнения занести в таблицу 2 (Приложение, таблица 1,2).
  5. Пользуясь формулами [1] и [2],[3] произвести вычисление коэффициента и декремента затухания.

Коэффициент затухания колебаний в воде и насыщенном растворе соли:

Логарифмический декремент затухания колебаний в воде и насыщенном растворе соли:

  1. Прoизвести анaлиз пoлучившихся зависимостей, нa оснoве данных таблиц 1 и 2 прилoжения.

Вывод: сравнение результатов, полученных в хoде измерения коэффициента затухания и логарифмического декрементa затухания колебаний математического маятников в различных средaх, позволяет сделать вывод, на основе сравнения данных таблиц 1 и 2, о том, что в более вязких средах с возрастанием коэффициента сопротивления среды увеличиваются действующие силы сопротивления движению, что приводит к ускорению процесса затухания колебаний. Расположив среды по возрастанию коэффициента трения (воздух, вода, насыщенный раствор соли), наблюдаем уменьшение коэффициента зaтухания и логарифмическогo декремента зaтухания кoлебаний мaтемaтического мaятникa. Проведенный анализ позволяет сделать заключение о том, что колебания в более плoтных средах затухают быстрее.

Представим полученные результаты в виде диаграмм (приложение 1, диаграммы 1,2).

В процессе выполнения работы я исследовала параметры затухающих колебаний математического маятника, происходящие в реальных средах. Наблюдая за процессом реальных колебаний в вязких средах, где действуют силы сопротивления и, сопоставляя значения амплитуд в разные моменты времени, периодов колебаний, коэффициентов затухания и логарифмических декрементов затухающих колебаний, можно сделать вывод, что гипотеза исследования подтверждена. Изучение колебательных процессов позволило установить закономерность: чем более плотной оказывается среда, тем быстрее будет уменьшаться амплитуда колебаний, увеличиваться период и уменьшаться коэффициент затухания и логарифмический декремент затухающих колебаний математического маятника. На преодоление сопротивления среды затрачивается энергия. Вследствие этого механическая энергия колеблющегося тела непрерывно уменьшается. Практическая деятельность по изучению затухающих физических колебаний, происходящих в средах с наличием сил трения, позволила мне на более высоком уровне изучить теорию колебаний, получить практические навыки исследователя, которые необходимы для глубокого знакомства с физической наукой.

  1. Блудов М.И. Беседы по физике. М.: Просвещение, 2012 г.
  2. Перельман Я. И. Знаете ли вы физику? Домодедово «ВАП», 2010г.
  3. Перышкин А.В., Гутник Е.М. 9 кл.: Учеб. для общеoбразоват. учеб. заведений. – М.: Дрофа, 2017. – 256 с.
  4. Физика. Механика. 10 кл. Профильный уровень: учебник для общеобразовательных учреждений /М.М. Балашов, А.И. Громова, А.Б. Долицкий и др.; под ред. Г.Я. Мякишева, — 14 -е изд., 2016.
  5. Физика: учебник для 10 класса с углубленным изучением физики /А.Т. Глазунов, О.Ф. Кабардин, А.Н. Малинин и др. под ред. А.А. Пинского, О.Ф. Кабардина. — м.: Просвещение, 2018.
  6. Савельев И.В. Курс обшей физики, Т.2. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 2010.
  7. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2014
  8. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Издательский центр «Академия», 2014.
  9. Колебания математического маятника https://lektsii.org/10-13324.html

Рисунок 1. Колебания математического маятника.

Рисунок 2. График x(t) для гармонических колебаний.

Рисунок 3. График x(t) затухающих колебаний.

Рисунок 4. Уменьшение амплитуды собственных механических колебаний системы при различных значениях коэффициента затухания

Рисунок 5. Параметры затухающих колебаний

Рисунок 6. Экспериментальная установка.

Таблица 1. Сравнение результатов эксперимента 1,2. Определение коэффициента затухания колебаний математического маятника в различных средах.

Источник статьи: http://nsportal.ru/ap/library/nauchno-tekhnicheskoe-tvorchestvo/2019/09/09/izuchenie-zatuhayushchih-kolebaniy

Математический маятник

Математическим маятником называется идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, которая колеблется под действием силы тяжести.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения проходящей через точку подвеса равен

Математический маятник является частным случаем физического маятника, поэтому, период колебаний математического маятника можно вычислить по формуле (5.24), учитывая, что приведенная длина физического маятника и длина математического маятника равны (L = l)

.

Затухание колебания

Движение в реальных системах всегда сопровождается трением и в результате потери энергии колебания затухают. Свободные колебания всегда являются затухающими. Затухающие колебания можно продемонстрировать с помощью установки изображенной на рис.5.6. Если привести в колебание воронку с песком, то при ее движении всыпающийся песок оставляет след затухающих колебаний.

При малых скоростях колебания сила трения пропорциональна скорости

(5.25)

где r – коэффициент сопротивления.

На колеблющуюся систему массой m действует сумма сил ( ), которая вызывает ускорение этой системы, т.е.

(5.26)

Зная, что и, обозначив (α – коэффициент затухания), получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

(5.27)

Решением этого уравнения при условии ω0 > α является выражение

(5.28)

Здесь – частота затухающих колебаний, а постоянные А0 и φ зависят от начальных условий.

На рис.5.7. представлен график функции (5.28). На графике пунктиром показаны кривые затухания амплитуд. Уменьшение амплитуд происходит по закону

(5.29)

где α – коэффициент затухания, характеризующий скорость затухания колебаний.

Найдем время τ, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Если в формулу (5.29) подставить , получим

at = 1 или .

Следовательно, коэффициент затухания обратно пропорционален времени, за которое амплитуда уменьшается в е раз.

Мерой затухания является величина называемая логарифмическим декрементом затухания δ. Логарифмический декремент затухания есть логарифм отношения двух последовательных амплитуд колебаний отличающихся на период.

(5.30)

При малых значениях δ пользуются понятием добротности .

Период затухающих колебаний равен

При система совершает периодические затухающие колебания, как показано на рис.5.8.

Когда , то Τ ® ∞. Это значит, что движение перестает быть периодическим (см. рис.5.8). В зависимости от начальных условий система возвращается в положение равновесия по одной из двух указанных кривых.

Дата добавления: 2015-10-26 ; просмотров: 5303 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Источник статьи: http://helpiks.org/5-90915.html

Затухающие колебания

Определение затухающих колебаний

Механическое движение всегда сопровождается трением. Трение приводит к рассеянию (диссипации) механической энергии. Диссипация энергии имеется в любых не идеализированных колебательных системах, она вызывает затухание собственных колебаний.

Затухающими колебаниями называют колебания, амплитуда которых постепенно уменьшается со временем из-за потерь энергии колебательной системой.

Уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием

Иногда, если тело движется в веществе, силу сопротивления ($>_

$), которая действует на рассматриваемое тело, при маленьких скоростях его движения, считают прямо пропорциональной скорости ($overline$):

где $beta $ — коэффициент сопротивления.

Данную силу учитывают в уравнении второго закона Ньютона при описании движения. Так, уравнение, которое описывает линейные колебания по вертикали (колебания по оси X) пружинного маятника, учитывающее силу трения принимает вид:

где $dot=v_x.$ Принимая во внимание равенства:

(где $_0$- циклическая частота свободных незатухающих колебаний (собственная частота колебаний при $gamma $=0) той же колебательной системы; $gamma $ — коэффициент затухания) уравнение колебаний пружинного маятника с затуханием (2) преобразуем к виду:

Малые собственные колебания, затухающие вследствие сопротивления среды в любой физической системе (математический маятник, физический маятник, электрические колебания . ) описывают при помощи уравнения формы (4).

Уравнение затухающих колебаний имеет точное решение:

где $omega =sqrt<^2_0-^2>$; $A_0$ — начальная амплитуда колебаний, задаваемая начальными условиями; $varphi $ — постоянная из начальных условий. При $gamma ll _0$, $omega approx _0$, параметр $A_0e^<-gamma t>$ можно считать медленно изменяющейся во времени амплитудой колебаний.

Затухание колебаний по экспоненте связано с тем, что силу сопротивления мы приняли пропорциональной скорости. Если использовать другую зависимость силы трения от скорости, то закон затухания изменится.

Диссипация энергии при затухающих колебаниях

Пусть затухание мало, при этом потеря энергии колебательной системой за один период много меньше, чем энергия колебаний.

Рассеяние энергии за период колебаний происходит не равномерно, ввиду осцилляции кинетической энергии ($E_k$). Уравнение убывания энергии при затухающих колебаниях будет иметь вид:

[frac

=-frac<2beta >leftlangle E_krightrangle left(6right),]

где $frac

$ — скорость изменения энергии колебаний; $leftlangle E_krightrangle $ — средняя величина кинетической энергии за период колебаний. Уравнение (6) не применяют для промежутков времени, которые меньше периода колебаний.

Так как мы считаем затухание малым, то $leftlangle E_krightrangle $ можно принять равным (как при свободных колебаниях) половине полной энергии осциллятора:

[leftlangle E_krightrangle =frac<2>left(7right).]

В таком случае уравнение (6) можно записать в виде:

Выражение (8) отображает «сглаженное» поведение энергии колебаний (в случае, если детали изменения энергии за один период колебаний не интересны). Оно показывает, что скорость изменения энергии пропорциональна самой энергии. Решением уравнения (8) является функция:

где $E_0$ — величина энергии колебательной системы в начальный момент времени.

Так как энергия колебаний пропорциональна квадрату амплитуды ($Esim A^2$), изменение амплитуды колебаний за большие отрезки времени (в сравнении с периодом колебаний) запишем в виде функции:

$A_0$ — начальная амплитуда колебаний.

Время жизни колебаний. Период затухающих колебаний. Декремент затухания

Из формулы (10) видно, что амплитуда затухающих колебаний убывает по экспоненте. За время $tau =frac<1>$ амплитуда убывает в $e$ раз и это не зависит от $A_0$. Время $tau $ в этом случае называют временем жизни колебаний (или временем релаксации) (не смотря на то, что в соответствии с выражением (9) колебания должны длиться бесконечно). Тезис о малости затухания означает, что время жизни колебаний не бесконечно, а много больше, чем их период ($tau gg T$). За время жизни происходит много колебательных движений.

Строго говоря, затухающие колебания не являются строго периодическими движениями. Периодом в данном случае считают промежуток времени между двумя последовательными максимальными отклонениями от положения равновесия.

Период затухающих колебаний считают равным:

Пусть $Aleft(tright) и A(t+T)$ — амплитуды двух последовательных колебаний, моменты времени которых отличаются на период. Отношение этих амплитуд, следуя (10) равно:

называют декрементом затухания. Натуральный логарифм декремента затухания ($theta $):

называют логарифмическим декрементом затухания. Для колебательной системы $theta $ постоянная величина.

Примеры задач с решением

Задание. Каков коэффициент затухания маятника ($gamma $), если за $Delta t$ амплитуда его колебаний уменьшилась в $n$ раз?

Решение. За основу решения задачи примем уравнение затухающих колебаний в виде:

где $t_2-t_1=Delta t$. Найдем натуральный логарифм от правой и левой части выражения (1.2), получим:

Выразим $gamma $ из (1.3) учтем, что $frac=n$:

Ответ. $gamma =frac<>$

Задание. Что представляет собой фазовая траектория затухающего колебания?

Решение. Фазовой траекторией называют траекторию движения в плоскости $left(x;;vright).$ По оси абсцисс откладывается отклонение $x$, по оси ординат откладывают скорость $v$. Каждому движению в момент времени $t$ соответствует изображающая точка, на указанной плоскости координаты ее $left(x,vright),$ они однозначно определены мгновенными значениями отклонения и скорости. Точка со временем движется и описывает траекторию (рис.1). В данном случае время выступает как параметр, уравнение фазовой траектории задет функция:

Фазовая траектория затухающего колебания, если

[>_

=-beta overlineleft(2.2right),]

представляет собой незамкнутую спираль, которая закручивается вокруг начала координат (рис.1). Если затухание колебаний малое, то есть за время жизни колебательная система совершает множество колебаний, количество витков спирали в фазовой плоскости будет таким же.

Источник статьи: http://www.webmath.ru/poleznoe/fizika_46_zatuhajushhie_kolebanija.php

1.2. Затухающие колебания

Затухающими колебаниями называются колебания, энергия которых уменьшается с течением времени вследствие действия на колебательную систему сил сопротивления (трения). Если принять, что сила трения пропорциональна скорости колеблющегося тела , гдеr– коэффициент сопротивления (трения), то дифференциальное уравнение затухающих колебаний системы имеет вид

, (1.10)

где коэффициент затухания, – частота свободных колебаний системы в отсутствие трения. Коэффициент затухания для данной колебательной системы и данной среды, в которой происходят затухания, является величиной постоянной.

Промежуток времени =1/, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается ве (2,72)раз, называетсявременем релаксации.

Если 0, то система совершает затухающие колебания:

, (1.11)

гдеA0иα0 – постоянные, называемые начальной амплитудой и начальной фазой соответственно,.

Величина А(t)=A0e t называется амплитудой затухающих колебаний и убывает по экспоненциальному закону (рис. 1.2).

Убывание амплитуды Aпринято характеризовать сравнением амплитуд, достигаемых через интервал времениt=T, гдеT=2/– период колебаний.

Пусть в момент времени tамплитуда колебаний равнаAt , а в момент времени(t+T)At+T. Отношение называетсядекрементом затухания, характеризующим быстроту убывания амплитуды, = 1.

Более удобен логарифмический декремент затухания =ln=Т,  = 1. Величина, обратная логарифмическому декременту затухания, есть число колебаний, в течение которых амплитуда затухающего колебания уменьшается вераз.

2. Экспериментальная часть

Изучение основных закономерностей колебательного движения с помощью физического маятника.

Метровая линейка или рулетка.

2.1. Определение момента инерции физического маятника

Физическим маятником называется твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной осиО, не проходящей через центр масс тела точку С (рис. 2.1).

Если маятник выведен из положения равновесия на некоторый угол , то составляющая силы тяжестиуравновешивается силой реакции осиО, а составляющая стремится возвратить маятник в положение равновесия. Все силы приложены к центру масс тела. При этом

. (2.1)

Знак минус означает, что угловое смещение и возвращающая сила имеют противоположные направления. При достаточно малых углах отклонения маятника из положения равновесия sin , поэтому F -mg. Поскольку маятник в процессе колебаний совершает вращательное движение относительно оси О, то оно может быть описано основным законом динамики вращательного движения

, (2.2)

где М – момент силы F относительно оси О, I – момент инерции маятника относительно оси О, – угловое ускорение маятника.

Момент силы в данном случае равен

где l – расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

С учетом (2.2) уравнение (2.3) можно записать

(2.4)

, (2.5)

где .

Решением дифференциального уравнения (2.5) является функция, позволяющая определить положение маятника в любой момент времени t,

Из выражения (2.6) следует, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с амплитудой колебаний 0, циклической частотой , начальной фазой 0 и периодом, определяемым по формуле

, (2.7)

где L=I/(mg) – приведенная длина физического маятника, т. е. длина такого математического маятника, период которого совпадает с периодом физического маятника. Формула (2.7) позволяет определить момент инерции твердого тела относительно любой оси, если измерен период колебаний этого тела относительно этой оси. Если физический маятник имеет правильную геометрическую форму и его масса равномерно распределена по всему объему, в формулу (2.7) можно подставить соответствующее выражение для момента инерции (Приложение 1).

В эксперименте исследуется физический маятник, называемый оборотным и представляющий собой тело, колеблющееся вокруг осей, расположенных на разном расстоянии от центра тяжести тела.

Оборотный маятник состоит из металлического стержня, на котором неподвижно укреплены опорные призмы О1иО2и две подвижные чечевицыАиB, которые могут закрепляться в определённом положении с помощью винтов (рис. 2.2).

Физический маятник совершает гармонические колебания при малых углах отклонения от положения равновесия . Период таких колебаний определяется соотношением (2.7)

,

где I– момент инерции маятника относительно оси вращения,m– масса маятника,d – расстояние от точки подвеса до центра масс, g– ускорение силы тяжести.

Применяемый в работе физический маятник имеет две опорные призмы О1иО2для подвешивания. Такой маятник называется оборотным.

Сначала маятник подвешивают на кронштейн опорной призмой О1 и определяют период колебанийТ1относительно этой оси:

(2.8)

Затем маятник подвешивают призмой О2и определяют Т2:

. (2.9)

Таким образом, моменты инерцииI1 и I2относительно осей, проходящих через опорные призмыО1иО2, будут соответственно равныи. Масса маятникаmи периоды колебанийТ1 иТ2 могут быть измерены с высокой степенью точности.

, (2.10)

, (2.11)

где I0– момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести. Таким образом, моментинерцииI0 можно определить, зная моментыинерцииI1 и I2.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Снимите маятник с кронштейна, поместите его на трёхгранную призму так, чтобы расстояния от опоры до призм О1иО2 не были равны между собой. Передвигая чечевицу вдоль стержня, установите маятник в положение равновесия, после чего закрепите чечевицу винтом.

Подвесив маятник опорной призмой О1, определите период колебаний, гдеN– число колебаний (не более50).

Аналогичным образом определите период колебаний Т2 относительно оси, проходящей через ребро призмыО2.

Подсчитайте моменты инерцииI1 и I2относительно осей, проходящих через опорные призмыО1иО2, по формулами, измерив массу маятникаmи периоды колебанийТ1 иТ2. Из формул (2.10) и (2.11) определите момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр тяжести (масс)I0. Из двух опытов найдите среднее .

Передвинув чечевицу Аи найдя новое положение центра тяжестиС, повторите опыт. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу (см. образец, табл.1).

Источник статьи: http://studfile.net/preview/1938042/page:2/

Лекция №8. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

5.6. Затухающие гармонические колебания.

Во всякой реальной колебательной системе имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, то колебания будут затухать. Затухающие колебания − это колебания, амплитуда которых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течением времени уменьшается. В простейшем, и вместе с тем наиболее часто встречающемся случае, сила сопротивления, вызывающая затухание, зависит от скорости колебательного движения, т. е. ее можно считать прямо пропорциональной скорости

где μ − постоянная, называемая коэффициентом сопротивления.

Знак «минус» обусловлен тем, что сила и скорость имеют противоположные направления. Тогда второй закон Ньютона для гармонических колебаний при наличии сил сопротивления имеет вид

Учитывая , что a= $$d^2xover dt^2$$ , а υ= $$dxover dt$$ и разделив на массу m , получим

Применив обозначения $$ = ω_0<^2>$$ , $$ <μover m>= 2β$$ и $$ = f_0$$ получим

дифференциальное уравнение затухающих колебаний . Отметим, что ω0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствие сопротивления среды. Эта частота называется собственной частотой .

Для решения уравнения (5.6.4) сделаем подстановку

Проведем замену переменных

Подставим (5.6.5 и 5.6.6) в выражение (5.6.4)

Преобразуем , сократив на e -βt

Рассмотрим случай, когда сопротивление среды настолько мало, что ω0 2 -β 2 >0 есть величина положи мы можем ввести тельная, и обозначение ω0 2 -β 2 =ω 2 , после чего уравнение (5.6.8) примает вид

В случае большого сопротивления среды ω0 2 -β 2 , движение становится непериодическим.

Решение уравнения (5.6.8) можно записать в виде

Окончательно, подставляя последнее уравнение в выражение (5.6.5), получаем общее решение дифференциального уравнения затухающих колебаний (5.6.4)

В соответствии с видом полученной функции движение можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой

и амплитудой, изменяющейся по закону

На рисунке показан график данной функции. Пунктирными линиями показаны пределы, в которых находится смещение колеблющейся точки. Верхняя из пунктирных кривых дает график функции A(t) , причем величина A0 представляет собой амплитуду в начальный момент времени. Начальное смещение зависит от A0 и также от начальной фазы φ , т.е. x0=A0cosφ .

5.7. Коэффициент затухания и логарифмический декремент затухания.

Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, равно

и называется декрементом затухания .

Для характеристики системы обычно используется колебательной логарифмический декремент затухания , т.е. логарифм декремента затухания

Скорость затухания колебаний определяется величиной называем коэффициентом затухания $$β=<μover 2m>$$ .

Найдем время, называемое временем релаксации τ , за которое амплитуда уменьшается в e раз

т. е. коэффициент затухания обратен по величине промежутку времени, за который амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

За время релаксации τ система успевает совершить $$N_e=<τover T>$$ колебаний

Следовательно, $$δ=<1over N_e>$$ логарифмический декремент затухания обратно пропорционален по величине числу колебаний, за которые амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

Для характеристики колебательной системы используется величина

которая называется добротностью колебательной системы.

Величина Q , пропорциональная числу колебаний, совершаемых системой за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз.

5.8. Вынужденные колебания.

До сих пор мы рассматривали свободные колебания, когда выведенная из положения равновесия система совершает колебания будучи предоставленной самой себе. Рассмотрим колебательную систему, которая подвергается действию внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону F=F0cosωt . Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы, называются вынужденными колебаниями . В этом случае уравнение второго закона Ньютона имеет вид

Учитывая , что a= $$d^2xover dt^2$$ , а υ= $$dxover dt$$ и разделив на массу m , получим

Применив обозначения $$ = ω_0<^2>$$ , $$ <μover m>= 2β$$ и $$ = f_0$$ получим

дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

Будем искать решение уравнения (5.8.3) в виде

предполагая, что результирующее колебание будет совершаться с частотой внешней вынуждающей силы.

Подставим (5.8.4) и (5.8.5) в уравнение (5.8.3)

Чтобы уравнение (69) обратилось в тождество необходимо, чтобы коэффициенты при cosωt и sinωt были равны нулю.

Возведем в квадрат уравнения (70) и сложим

Подставив полученные выражения (71) и (73) в выражение (64) получим уравнение вынужденных колебаний

5.9. Резонанс.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при некоторой частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения.

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к частоте, равной или близкой собственной частоте колебательной системы называется резонансом , а соответствующая частота − резонансной частотой.

Найдем резонансную частоту. Амплитуда вынужденных колебаний будет max, когда выражение $$(ω_0<^2>-ω^2)^2 + 4β^2ω^2$$ в уравнении $$A=-ω^2)^2 + 4β^2ω^2>>$$ (5.8.13) будет минимальным.

Продифференцируем это выражение по ω и приравняем к нулю

Полученное уравнение имеет три решения: ω=0 и ω=± $$sqrt <ω_0<^2>-2β^2>$$ . 2 . Первое решение соответствует максимуму знаменателя. Из остальных двух решений отрицательное не имеет физического смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, резонансная циклическая частота

Подставив это значение в выражение для амплитуды (5.8.13), получим выражение для амплитуды при резонансе

Из последнего уравнения (5.9.3) следует, что при отсутствии сопротивления среды амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность, а резонансная частота, согласно (5.9.2), при тех же условиях (при β=0 ), совпадала бы с собственной частотой колебаний системы ω0

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы показана графически на рис. 5.9.1. В соответствии с (5.9.2) и (5.9.3), чем меньше параметр β , тем выше и правее лежит максимум данной кривой. Изображенная на рис. 5.9.1 совокупность графиков функций (5.8.13), соответствующих различным значениям параметра β , называется резонансными кривыми .

При стремлении ω к нулю все кривые приходят к одному и тому же, отличному от нуля, предельному значению, равному f0ω0 2 . Это значение представляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F0

При стремлении ω к бесконечности все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

Наконец, отметим, что чем меньше β , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум. При малом затухании (т. е. β ) амплитуда при резонансе приближенно равна Apes≈f0/2βω0 . Разделим это выражение на смещение x0 из положения равновесия под действием постоянной силы F0 , равное x0=f0p 2 . В результате получим

где δ = βТ – логарифмический декремент затухания (5.7.2); Q – добротность колебательной системы (5.7.6).

Таким образом, добротность Q показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение системы из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда вынуждающей силы. Следует отметить, что это справедливо лишь при небольшом затухании.

Источник статьи: http://physics.belstu.by/mechanics_lk/mechanics_lk8.html

физика лекцыи / 1.21

1.21. 3АТУХАЮЩИЕ, ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний и его решение. Коэффициент затухания. Логарифмический декремент затухания. Добротность колебательной системы. Апериодический процесс. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Процесс установления колебаний. Случай резонанса. Автоколебания.

Затуханием колебаний называется постепенное уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой.

Собственные колебания без затухания – это идеализация. Причины затухания могут быть разные. В механической системе к затуханию колебаний приводит наличие трения. Когда израсходуется вся энергия, запасенная в колебательной системе, колебания прекратятся. Поэтому амплитуда затухающих колебаний уменьшается, пока не станет равной нулю.

Затухающие колебания, как и собственные, в системах, разных по своей природе, можно рассматривать с единой точки зрения – общих признаков. Однако, такие характеристики, как амплитуда и период, требуют переопределения, а другие – дополнения и уточнения по сравнению с такими же признаками для собственных незатухающих колебаний. Общие признаки и понятия затухающих колебаний следующие:

Дифференциальное уравнение должно быть получено с учетом убывания в процессе колебаний колебательной энергии.

Уравнение колебаний – решение дифференциального уравнения.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени.

Частота и период зависят от степени затухания колебаний.

Фаза и начальная фаза имеют тот же смысл, что и для незатухающих колебаний.

Механические затухающие колебания.

Механическая система: пружинный маятник с учетом сил трения.

Силы, действующие на маятник:

Упругая сила. , где k – коэффициент жесткости пружины, х – смещение маятника от положения равновесия.

Сила сопротивления. Рассмотрим силу сопротивления, пропорциональную скорости v движения (такая зависимость характерна для большого класса сил сопротивления): . Знак “минус” показывает, что направление силы сопротивления противоположно направлению скорости движения тела. Коэффициент сопротивления r численно равен силе сопротивления, возникающей при единичной скорости движения тела:

Закон движения пружинного маятника – это второй закон Ньютона:

Учитывая, что и , запишем второй закон Ньютона в виде:

. (21.1)

Разделив все члены уравнения на m, перенеся их все в правую часть, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний:

Обозначим , где β коэффициент затухания, , где ω0 – частота незатухающих свободных колебаний в отсутствии потерь энергии в колебательной системе.

В новых обозначениях дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид:

. (21.2)

Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Это линейное дифференциальное уравнение решается заменой переменных. Представим функцию х, зависящую от времени t, в виде:

.

Найдем первую и вторую производную этой функции от времени, учитывая, что функция z также является функцией времени:

, .

Подставим выражения в дифференциальное уравнение:

.

Приведем подобные члены в уравнении и сократим каждый член на , получим уравнение:

.

Обозначим величину .

Решением уравнения являются функции , .

Возвращаясь к переменной х, получим формулы уравнений затухающих колебаний:

.

Таким образом, уравнение затухающих колебаний есть решение дифференциального уравнения (21.2):

(21.3)

Частота затухающих колебаний:

(физический смысл имеет только вещественный корень, поэтому ).

Период затухающих колебаний:

(21.5)

Смысл, который вкладывался в понятие периода для незатухающих колебаний, не подходит для затухающих колебаний, так как колебательная система никогда не возвращается в исходное состояние из-за потерь колебательной энергии. При наличии трения колебания идут медленнее: .

Периодом затухающих колебаний называется минимальный промежуток времени, за который система проходит дважды положение равновесия в одном направлении.

Для механической системы пружинного маятника имеем:

, .

Амплитуда затухающих колебаний:

, для пружинного маятника .

Амплитуда затухающих колебаний – величина не постоянная, а изменяющаяся со временем тем быстрее, чем больше коэффициент β. Поэтому определение для амплитуды, данное ранее для незатухающих свободных колебаний, для затухающих колебаний надо изменить.

При небольших затуханиях амплитудой затухающих колебаний называется наибольшее отклонение от положения равновесия за период.

Графики зависимости смещения от времени и амплитуды от времени представлены на Рисунках 21.1 и 21.2.

Рисунок 21.1 – Зависимость смещения от времени для затухающих колебаний.

Рисунок 21.2 – Зависимости амплитуды от времени для затухающих колебаний

Характеристики затухающих колебаний.

Изменение амплитуды затухающих колебаний происходит по экспоненциальному закону:

.

Пусть за время τ амплитуда колебаний уменьшится в “e ” раз (“е” – основание натурального логарифма, е ≈ 2,718). Тогда, с одной стороны, , а с другой стороны, расписав амплитуды Азат.(t) и Азат.(t+τ), имеем . Из этих соотношений следует βτ = 1, отсюда .

Промежуток времени τ, за который амплитуда уменьшается в “е” раз, называется временем релаксации.

Коэффициент затухания β – величина, обратно пропорциональная времени релаксации.

2. Логарифмический декремент затухания δ — физическая величина, численно равная натуральному логарифму отношения двух последовательных амплитуд, отстоящих по времени на период .

Если затухание невелико, т.е. величина β мала, то амплитуда незначительно изменяется за период, и логарифмический декремент можно определить так:

,

где Азат.(t) и Азат.(t+NT) – амплитуды колебаний в момент времени е и через N периодов, т.е.в момент времени (t + NT).

3. Добротность Q колебательной системы – безразмерная физическая величина, равная произведению величины (2π) νа отношение энергии W(t) системы в произвольный момент времени к убыли энергии за один период затухающих колебаний:

.

Так как энергия пропорциональна квадрату амплитуды, то

.

При малых значениях логарифмического декремента δ добротность колебательной системы равна

,

где Ne – число колебаний, за которое амплитуда уменьшается в “е” раз.

Так, добротность пружинного маятника — .Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше затухание, тем дольше будет длиться периодический процесс в такой системе. Добротность колебательной системы — безразмерная величина, которая характеризует диссипацию энергии во времени.

4. При увеличении коэффициента β, частота затухающих колебаний уменьшается, а период увеличивается. При ω0 = β частота затухающих колебаний становится равной нулю ωзат. = 0, а Тзат. = ∞. При этом колебания теряют периодический характер и называются апериодическими.

При ω0 = β параметры системы, ответственные за убывание колебательной энергии, принимают значения, называемые критическими. Для пружинного маятника условие ω0 = β запишется так:, откуда найдем величину критического коэффициента сопротивления:

.

Рис. 21.3. Зависимсть амплитуды апериодических колебаний от времени

Все реальные колебания являются затухающими. Чтобы реальные колебания происходили достаточно долго нужно периодически пополнять энергию колебательной системы, действуя на нее внешней периодически изменяющейся силой

Рассмотрим явление колебаний, если внешняя (вынуждающая) сила изменяется в зависимости от времени по гармоническому закону. При этом в системах возникнут колебания, характер которых в той или иной мере повторит характер вынуждающей силы. Такие колебания называются вынужденными.

Общие признаки вынужденных механических колебаний.

1. Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника, на который действует внешняя (вынуждающая) периодическая сила . Силы, которые действуют на маятник, однажды выведенный из положения равновесия, развиваются в самой колебательной системе. Это сила упругости и сила сопротивления .

Закон движения (второй закон Ньютона) запишется следующим образом:

(21.6)

Разделим обе части уравнения на m, учтем, что , и получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний:

Обозначим (β коэффициент затухания), 0 – частота незатухающих свободных колебаний), сила, действующая на единицу массы. В этих обозначениях дифференциальное уравнение вынужденных колебаний примет вид:

(21.7)

Это дифференциальное уравнение второго порядка с правой частью, отличной от нуля. Решение такого уравнения есть сумма двух решений

.

– общее решение однородного дифференциального уравнения, т.е. дифференциального уравнения без правой части, когда она равна нулю. Такое решение нам известно – это уравнение затухающих колебаний, записанное с точностью до постоянной, значение которой определяется начальными условиями колебательной системы:

, где .

Мы обсуждали ранее, что решение может быть записано через функции синуса.

Если рассматривать процесс колебаний маятника через достаточно большой промежуток времени Δt после включения вынуждающей силы (Рисунок 21.2), то затухающие колебания в системе практически прекратятся. И тогда решением дифференциального уравнения с правой частью будет решение .

Решение — это частное решение неоднородного дифференциального уравнения, т.е. уравнения с правой частью. Из теории дифференциальных уравнений известно, что при правой части, изменяющейся по гармоническому закону, решение будет гармонической функцией (sin или cos) с частотой изменения, соответствующей частоте Ω изменения правой части:

, (21.8)

где Аампл. – амплитуда вынужденных колебаний, φ0сдвиг фаз, т.е. разность фаз между фазой вынуждающей силы и фазой вынужденных колебаний. И амплитуда Аампл., и сдвиг фаз φ0 зависят от параметров системы (β, ω0) и от частоты вынуждающей силы Ω.

Период вынужденных колебаний равен (21.9)

График вынужденных колебаний на Рисунке 4.1.

Рис.21.3. График вынужденных колебаний

Установившиеся вынужденные колебания являются так же гармоническими.

Зависимости амплитуды вынужденных колебаний и сдвига фаз от частоты внешнего воздействия. Резонанс.

1. Вернемся к механической системе пружинного маятника, на который действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону. Для такой системы дифференциальное уравнение и его решение соответственно имеют вид:

, .

Проанализируем зависимость амплитуды колебаний и сдвига фаз от частоты внешней вынуждающей силы, для этого найдем первую и вторую производную от х и подставим в дифференциальное уравнение.

,

,

Воспользуемся методом векторной диаграммы. Из уравнения видно, что сумма трех колебаний в левой части уравнения (Рисунок 4.1) должна быть равна колебанию в правой части. Векторная диаграмма выполнена для произвольного момента времени t. Из нее можно определить .

, (21.10)

. (21.11)

Учитывая значение , ,, получим формулы для φ0 и Аампл. механической системы:

,

.

2. Исследуем зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы и величины силы сопротивления в колеблющейся механической системе, по этим данным построим график . Результаты исследования отражены в Рисунке 21.5, по ним видно, что при некоторой частоте вынуждающей силы амплитуда колебаний резко возрастает. И это возрастание тем больше, чем меньше коэффициент затухания β. При амплитуда колебаний становится бесконечно большой .

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при частоте вынуждающей силы, равной , называется резонансом.

(21.12)

Кривые на Рисунке 21.5 отражают зависимость и называются амплитудными резонансными кривыми.

Рисунок 21.5 – Графики зависимости амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы.

Амплитуда резогансных колебаний примет вид:

Вынужденные колебания – это незатухающие колебания. Неизбежные потери энергии на трение компенсируются подводом энергии от внешнего источника периодически действующей силы. Существуют системы, в которых незатухающие колебания возникают не за счет периодического внешнего воздействия, а в результате имеющейся у таких систем способности самой регулировать поступление энергии от постоянного источника. Такие системы называются автоколебательными, а процесс незатухающих колебаний в таких системах – автоколебаниями.

В автоколебательной системе можно выделить три характерных элемента – колебательная система, источник энергии и устройство обратной связи между колебательной системой и источником. В качестве колебательной системы может быть использована любая механическая система, способная совершать собственные затухающие колебания (например, маятник настенных часов).

Источником энергии может служить энергия деформация пружины или потенциальная энергия груза в поле тяжести. Устройство обратной связи представляет собой некоторый механизм, с помощью которого автоколебательная система регулирует поступление энергии от источника. На рис. 21.6 изображена схема взаимодействия различных элементов автоколебательной системы.

3

Рисунок 21.6. Функциональная схема автоколебательной системы.

Примером механической автоколебательной системы может служить часовой механизм с анкерным ходом (рис. 21.7.). Ходовое колесо с косыми зубьями жестко скреплено с зубчатым барабаном, через который перекинута цепочка с гирей. На верхнем конце маятника закреплен анкер (якорек) с двумя пластинками из твердого материала, изогнутыми по дуге окружности с центром на оси маятника. В ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник – балансиром – маховичком, скрепленным со спиральной пружиной.

Рисунок 21.7. Часовой механизм с маятником.

Балансир совершает крутильные колебания вокруг своей оси. Колебательной системой в часах является маятник или балансир. Источником энергии – поднятая вверх гиря или заведенная пружина. Устройством, с помощью которого осуществляется обратная связь, является анкер, позволяющий ходовому колесу повернуться на один зубец за один полупериод.

Обратная связь осуществляется взаимодействием анкера с ходовым колесом. При каждом колебании маятника зубец ходового колеса толкает анкерную вилку в направлении движения маятника, передавая ему некоторую порцию энергии, которая компенсирует потери энергии на трение. Таким образом, потенциальная энергия гири (или закрученной пружины) постепенно, отдельными порциями передается маятнику.

Механические автоколебательные системы широко распространены в окружающей нас жизни и в технике. Автоколебания совершают паровые машины, двигатели внутреннего сгорания, электрические звонки, струны смычковых музыкальных инструментов, воздушные столбы в трубах духовых инструментов, голосовые связки при разговоре или пении и т. д.

Источник статьи: http://studfile.net/preview/4298676/

1.5. Затухающие колебания

При любых колебаниях энергия системы расходуется на работу против сил сопpотивления сpеды. Поэтому амплитуда колебаний со временем убывает, и колебания прекращаются.

Допустим, что сила сопротивления линейно зависит от скорости, т. е.

здесь r— коэффициент сопротивления среды. Знак минус указывает, что силаFси скорость имеют противоположные направления. С учётом всех сил второй закон Ньютона записывается в виде

или. (1.17)

называют коэффициентом затухания.

Выражение (1.17) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний.Его решением служит функция

Обpатим внимание на то, что

— циклическая частота затухающихколебаний, а ω0собственнаяциклическая частота, т. е. частота колебаний той же колебательной системы в отсутствие сил сопpотивления (r = 0).

Амплитуда затухающих колебаний (рис. 1.14) изменяется по экспоненциальному закону

Сравним периоды затухающих и незатухающих колебаний:

.

Видно, что для очень малого коэффициента затухания ( ω0период является мнимой величиной, а движение точки носитапериодический (непериодический) характер (рис. 1.15).

Степень затухания характеризуетлогарифмический декремент затухания — натуральный логарифм отношения двух соседних амплитуд, т.е. амплитуд, взятых через период колебаний (рис. 1.14):(1.21)

Коэффициент затухания  и логарифмический декремент затухания являются важнейшими хаpактеpистиками колебательного пpоцесса. Они показывают, как быстpо пpоисходит уменьшение во вpемени амплитуды колебаний и, следовательно, как быстpо pасходуется пеpвоначально запасенная энеpгия, пpопоpциональная квадpату амплитуды.

Рассмотpим физический смысл и. Пpедставим, что за вpемяе амплитуда колебаний уменьшилась в “е” pаз (e основание натурального логаpифма), пpичем за это вpемя пpоизошлоNeполных колебаний (по смыслуNe =е /T). Пользуясь фоpмулой (1.20), получим для отношения амплитуд

откуда коэффициент затухания= 1 /е, т.е. это величина,обpатная вpемени, в течение котоpого амплитуда уменьшается в e pаз. Тогда из фоpмулы (1.21) следует, что

Следовательно,логаpифмический декpемент затухания обpатно пpопоpционален числу полных колебаний, по истечении котоpых амплитуда уменьшается в “e” pаз.

В соответствии с физическим смыслом β и δ коэффициент затухания измеpяется в c -1 , а логаpифмический декpемент затухания является величиной безpазмеpной.

П р и м е р 8. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний имеет вид

.

Найти коэффициент затухания и циклическую частоту этих колебаний.

Р е ш е н и е. Приведем уравнение к виду (1.17):

Тогда циклическая частота затухающих колебаний

П р и м е р 9. После десяти полных колебаний материальной точки ее амплитуда уменьшается от 10 см до 6 см. Коэффициент затухания равен 0,2c -1 . Записать закон движения точки.

Р е ш е н и е. Для записи закона движения в уравнении (1.19) необходимо найти циклическую частоту затухающих колебаний.

Отношение амплитуд по истечении 10 колебаний

Промежуток времени между колебаниями (t2 t1) = 10T, так как прошло десять полных колебаний. Тогда

Найдем циклическую частоту затухающих колебаний

ω =2π/T= 2π∙10β/ln1,67 = 7,8π, с -1 .

Полагая начальную фазу равной нулю, запишем уравнение колебаний, выражающее закон движения точки:

Источник статьи: http://studfile.net/preview/5513052/page:4/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *