Меню

Как найти большую высоту параллелограмма через синус



Как найти высоту параллелограмма

В задачах по геометрии, точнее по планиметрии и тригонометрии, иногда требуется найти высоту параллелограмма, исходя из заданных значений сторон, углов, диагоналей и т.п.

Чтобы найти высоту параллелограмма, зная его площадь и длину основания, необходимо воспользоваться правилом определения площади параллелограмма. Площадь параллелограмма, как известно, равняется произведению высоты на длину основания:

S — площадь параллелограмма,

а — длина основания параллелограмма,

h — длина опущенной на сторону а высоты, (или на ее продолжение).

Отсюда получаем, что высота параллелограмма будет равняться площади, разделенной на длину основания:

дано: площадь параллелограмма равняется 50 кв.см., основание — 10 см.;

найти: высоту параллелограмма.

Так как высота параллелограмма, часть основания и прилежащая к основанию сторона образуют прямоугольный треугольник, то для нахождения высоты параллелограмма можно использовать некоторые соотношения сторон и углов прямоугольных треугольников.

Если известны прилежащая к высоте h (DE) сторона параллелограмма d (AD) и противоположный высоте угол A (BAD), то расчета высоты параллелограмма нужно умножить длину прилежащей стороны на синус противоположного угла:

например, если d=10 см, а угол А=30 градусов, то

Если в условиях задачи заданы длина прилежащей к высоте h (DE) стороне параллелограмма d (AD) и длина отсекаемой высотой части основания (АЕ), то высоту параллелограмма можно найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|AE|^2+|ED|^2=|AD|^2, откуда определяем:

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей стороны и отсекаемой высотой части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 3 см, то длина высоты будет:

Если известны длина прилежащей к высоте диагональ (DВ) параллелограмма и длина отсекаемой высотой части основания (ВЕ), то высоту параллелограмма можно также найти воспользовавшись теоремой Пифагора:

|ВE|^2+|ED|^2=|ВD|^2, откуда определяем:

т.е. высота параллелограмма равняется корню квадратному из разности квадратов длины прилежащей диагонали и отсекаемой высотой (и диагональю) части основания.

Например, если длина прилегающей стороны равняется 5 см., а длина отсекаемой части основания равна 4 см, то длина высоты будет:

Источник статьи: http://www.kakprosto.ru/kak-3715-kak-nayti-vysotu-parallelogramma

По какой формуле вычисляется высота параллелограмма? Геометрия

Содержание:

К параллелограммам относят четырёхугольники с попарно параллельными сторонами. Частными случаями таких геометрических фигур являются квадраты, ромбы и прямоугольники. В публикации рассмотрим, что такое высота параллелограмма, как её провести и вычислить через стороны, диагонали и углы. Рассмотрим признаки и свойства фигуры.

Особенности геометрической фигуры

Определение высоты параллелограмма

Высота параллелограмма – это перпендикуляр – линия, опущенная из одной стороны на другую, противоположную или параллельную ей. Обозначится двумя буквами, например, DE, либо одной – h.

Перпендикуляр проводится не из каждой точки геометрической фигуры, ведь иногда находится за её пределами. Тогда высоту (BE) опускают на продолжение стороны (CE).

Как провести высоту в параллелограмме

Для построения высоты одна сторона угольника ставится на основание, перпендикулярная ей пересекает противоположную в месте, где будет проводиться перпендикуляр. Точки, принадлежащие параллелограмму, соединяются.

В итоге получается высота FG.

Также она может проводиться с одной боковой стороны на вторую.

Все формулы высоты параллелограмма

Как найти высоту параллелограмма, зная его стороны

Высота – отношение площади геометрической фигуры к длине стороны, из которой опущен перпендикуляр:

  • S = площадь фигуры;
  • a – размер основания, на который опущен перпендикуляр.

Вторая формула вычисления высоты параллелограмма: через стороны и угол. Равняется произведению стороны на угол, который она образовывает с основанием, куда опущена высота.

Узнать высоту параллелограмма можно, зная один из катетов и гипотенузу треугольника, который она образовывает, по теореме Пифагора. Равняется квадратному корню разности квадратов боковой стороны и отрезка, отсекающего высотой от основания – катета прямоугольного треугольника:

Она же применяется, когда даны или можно вычислить диагональ правильного четырёхугольника – гипотенузу треугольника, который образуется благодаря высоте, и его катет. Равняется корню квадратному из разности возведённых в квадрат диагонали и отрезка между основанием высоты и диагональю.

Существует более сложная формула, позволяющая найти одну высоту параллелограмма через другую и стороны. Обратно пропорциональное отношение одной высоты ко второй равно соотношению длин оснований:

Задача

Дан параллелограмм с высотой BE, проведённой из тупого угла 4-угольника. Она делит основание на равные отрезки. Острый угол между ней и стороной равен 30°, а диагональ, проведённая между вершинами тупых углов – 10 см. Вычислить h геометрической фигуры и градусную меру ∠ABD.

Начнём из рассмотрения получившихся треугольников: ABE, BED – в соответствии с первым признаком их равенства, эти 3-угольники равны между собой: имеют равные катеты AE = ED и углы BEA = BED = 90°. Отсюда следует, что AB = BD. Получим равнобедренный треугольник BDA с равными 30° углами при основании: BAD = BDA.

Расположенный накрест угол при параллельных отрезках DA с CB тоже равняется 30°.

Присмотримся к треугольнику ABE. Сумма углов равна 180°. Если один угол прямой, второй – 30°, значит третий – ABE – находится по формуле: ABE = 80 – 90 – 30 = 60°. Он такой, как DBE = 60°.

∠ABD = ∠ABE + ∠DBE = 60 = 60 = 120°.

∠CDB = ∠ABD = 120° ведь он внутренний накрест лежащий.

Для нахождения высоты параллелограмма подойдёт формула:

EB / DB = cos (EBD), градусная мера EBD = 60°.

DB из условий задачи равняется 10 см. Подставим в формулу.

Источник статьи: http://bingoschool.ru/manual/po-kakoj-formule-vyichislyaetsya-vyisota-parallelogramma-geometriya/

Формулы (тождества) синус, косинус, тангенс, котангенс тройного угла

Высота — перпендикуляр исходящий из вершины угла на противоположенную сторону

a , b — стороны параллелограмма

H b — высота на сторону b

H a — высота на сторону a

α , β — углы параллелограмма

Формулы длины высоты параллелограмма, через сторону и угол, ( H b , H a ):

Острый угол пересечения высот, равен острому углу параллелограмма.

Тупой угол пересечения высот, равен тупому углу параллелограмма.

Свойства биссектрисы параллелограмма

Биссектриса по определению делит угол пополам

Биссектриса отсекает равнобедренный треугольник (в данном случае треугольники ABF и DKC )

Биссектрисы смежных углов, пересекаются под прямым углом (90°)

Биссектрисы противоположных углов, равны и параллельны

AF — биссектриса из острого угла

DK — биссектриса из тупого угла

α — острый угол

β — тупой угол

a — меньшая сторона

b — большая сторона

Так как треугольники ABF и DKC, равнобедренные, следовательно справедливы тождества:

Длина биссектрисы параллелограмма

L — биссектриса параллелограмма

a , b — стороны

α , β — углы

Формулы длины биссектрисы через сторону и углы, ( L ):

Свойства углов между диагоналями параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

β — тупой угол между диагоналями

Формулы косинуса острого и тупого углов между диагоналями, через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и диагонали:

Формулы соотношения острого и тупого углов между диагоналями:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos и arcsin

Свойства углов параллелограмма:

1. Противоположные углы равны

2. Косинус тупого угла, всегда имеет отрицательное значение: cos β

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол

β — тупой угол

Формулы косинуса острого и тупого углов через стороны и диагонали (по теореме косинусов):

Формула синуса острого и тупого углов через площадь (S) и стороны:

Формулы соотношения острого и тупого углов:

Для определения величины угла в градусах или радианах, используем функции arccos или arcsin

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Длина диагонали параллелограмма через стороны, известную диагональ и угол.

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы параллелограмма

Формулы диагонали через стороны и углы параллелограмма (по теореме косинусов), ( D , d ):

Формулы диагонали через стороны и известную диагональ (по формуле- сумма квадратов диагоналей), ( D , d ):

2. Длина диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол.

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

S — площадь параллелограмма

Формулы диагонали через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями, ( D , d ):

Формулы суммы квадратов диагоналей и разности квадратов сторон параллелограмма:

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

Формула суммы квадратов диагоналей:

Формула разности квадратов сторон:

Свойства параллелограмма:

1. Противоположные стороны равны и параллельны

2. Противоположные углы равны

3. Точка пересечения диагоналей, делит их пополам

1. Формулы длины сторон через диагонали и угол между ними.

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α , β — углы между диагоналями

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними (по теореме косинусов), ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма через диагонали и сторону, ( a , b ):

Формулы сторон параллелограмма , ( a , b ):

2. Формулы длины сторон параллелограмма через высоту.

a , b — стороны параллелограмма

H b — высота на сторону b

H a — высота на сторону a

α , β — углы параллелограмма

Формулы сторон параллелограмма через высоту, ( a , b ):

3. Дополнительные, интересные формулы параллелограмма:

a , b — стороны параллелограмма

D — большая диагональ

d — меньшая диагональ

α — острый угол между диагоналями

Источник статьи: http://www-formula.ru/2011-09-21-23-43-54/52-elementgeom/parallelogram

Как найти высоту параллелограмма, онлайн-калькулятор

Четырёхугольник, у которого стороны, находящиеся напротив друг друга параллельны и равны друг другу, называется параллелограммом. Отрезок перпендикулярной прямой, проходящей от любой точки прямой, на которой лежит одна из сторон параллелограмма через прямую, на которой расположена противоположная сторона данной фигуры, является высотой параллелограмма. Высот параллелограмма можно провести бесконечное множество через разные точки, но они неизменно будут перпендикулярны двум сторонам фигуры.

Через площадь и основание

Высота параллелограмма равна отношению площади к основанию.

где h – длина высоты параллелограмма, S – площадь, a – длина основания.

Пример. На рисунке представлены пара абсолютно одинаковых параллелограммов. На левом обозначена длина стороны (основания) в 6 единиц и проходящие через нее в разных точках высоты в 4 единицы.На правом обозначена длина стороны (основания) в 5 единиц и проходящие через нее в разных точках высоты в 4,8 единиц. Площадь параллелограмма можно вычислить умножением длины высоты на длину той стороны (основания), которой эта высота перпендикулярна. Результат умножения будет одинаков для любой 2 двух пар высота-основание. В рассматриваемом случае: 4 × 6 = 24; 4,8 × 5 = 24 . Можно визуально убедиться в этом, если разрезать фигуру и переставив части так, как показано на рисунке.

Исходя из полученного, путем обратного подсчета можно вывести правило для определения высоты из заданной площади и основания. В приведенном примере расчет будет выглядеть следующим образом: 24 / 6 = 4; 24 / 5 = 4,8.

Через длину отрезка, образованного на основании и диагональ

Вычисление высоты параллелограмма при известных длине отрезка образованного на основании и диагонали производится также с использованием теоремы Пифагора. Высота в этом случае будет равна квадратному корню из разницы диагонали и отрезка на основании.

где d — диагональ, A2 — отрезок образованный на основании.

Пример. Пусть боковая сторона равна 47 см, отрезок образованный на основании равен 34 см, тогда получим h = √(b² — A1²) = √(47² — 34²) = 32,4 см.

Через боковую сторону и острый угол при основании

Если от тупого угла параллелограмма провести к основанию высоту, то образуется прямоугольный треугольник, как показано на рисунке ниже. Если нам известна величина острого угла и длина боковой стороны, то можно вычислить высоту через формулу синуса, который определяется как отношение катета к гипотенузе. Роль катета здесь играет высота, а боковая сторона является гипотенузой. Соответственно высота здесь будет равна произведению длины боковой стороны на синус острого угла.

где b — боковая сторона, sin α — острый угол при основании.

Если известна величина тупого угла параллелограмма, то величину острого можно получить, отняв величину тупого угла от 180 градусов.

Пример. Пусть боковая сторона b равна 115 см, острый угол при основании α равен 65º, тогда получим h = b * sinα = 115 * sin 65 = 104 см.

Через длину отрезка, образованного на основании и боковую сторону

Вычисление высоты параллелограмма при известных длине отрезка образованного на основании и боковой стороне производится с использованием теоремы Пифагора. Высота будет равна квадратному корню из разницы квадратов боковой стороны и диагонали.

где b — боковая сторона, A1 — отрезок образованный на основании.

Пример. Пусть боковая сторона равна 39 см, отрезок образованный на основании равен 16 см, тогда получим h = √(b² — A1²) = √(39² — 16²) = 35,6 см.

Пирамида определяется как трехмерная структура – многогранник, в основе которой лежит многоугольник. В основании пирамиды находится многоугольник. Углы многоугольника соединены линиями – боковыми ребрами с одной точкой, которая в пирамиде именуется как вершина. Треугольники, образованные парами соседних боковых ребер и стороной основания называются боковыми гранями.

В основании правильной пирамиды лежит правильный многоугольник (тот у которого все стороны равны между собой). У правильной пирамиды длина боковых ребер одинаковая. Соответственно правильная пирамида образована боковыми гранями, являющимися равными равнобедренными треугольниками, соединенными с основанием.

Апофемами в пирамиде называют отрезки прямых, проведенных от вершины перпендикулярно к основаниям. Также, одновременно апофемы являются высотами треугольников – боковых граней.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему грани.

Установлено, что умение вычислять длину апофемы, было востребовано с древнейших времен для строительства сооружений. Предположительно, перед возведением подобных сооружений предварительные размеры могли быть отрегулированы древними инженерами с помощью натянутых шнуров. Расшифровка древнеегипетских иероглифов дает перевод значения понятия землемера как «натяжителя веревок».

Умение вычислять высоту параллелограммов, было востребовано с древнейших времен для проверки правильности измерений земельных участков. Множество древних народов тысячи лет назад воздвигали пирамиды и курганы для различных целей. Современные измерения позволяют утверждать, что некоторые их них точно ориентированы – как по сторонам света, так и в трехмерном измерении по созвездиям. Вероятно, часть из этих сооружений использовалась для определения орбиты Земли относительно звезд. Эти сведения использовались для определения времени начала различных сельскохозяйственных работ. От этого зависела урожайность, а значит вопрос выживания народов. Таким образом, вычисление апофемы позволяло точно ориентировать пирамиду в пространстве и спасало жизни людей.

Источник статьи: http://tamali.net/calculator/2d/parallelogram/height/

Портал для школьника. Самоподготовка

Синус угла в параллелограмме формула. Параллелограмм в задачах

Вывод формулы площади параллелограмма сводится к построению прямоугольника, равного данному параллелограмму по площади. Примем одну сторону параллелограмма за основание, а перпендикуляр, проведенный из любой точки противолежащей стороны на прямую, содержащую основание будем называть высотой параллелограмма. Тогда площадь параллелограмма будет равна произведению его основания на высоту.

Теорема. Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Доказательство . Рассмотрим параллелограмм с площадью. Примем сторонуза основание и проведем высотыи(рисунок 2.3.1). Требуется доказать, что.

Докажем сначала, что площадь прямоугольника также равна. Трапециясоставлена из параллелограммаи треугольника. С другой стороны, она составлена из прямоугольника НВСК и треугольника. Но прямоугольные треугольникии равны по гипотенузе и острому углу (их гипотенузыиравны как противоположные стороны параллелограмма, а углы 1 и 2 равны как соответственные углы при пересечении параллельных прямыхисекущей), поэтому их площади равны. Следовательно, площади параллелограммаи прямоугольникатакже равны, то есть площадь прямоугольникаравна. По теореме о площади прямоугольника, но так как, то.

В ромб со стороной и острым углом вписана окружность. Определить площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания окружности со сторонами ромба.

Радиус вписанной в ромб окружности (рисунок 2.3.2), поскольку Четырёхугольникявляется прямоугольником, так как его углы опираются на диаметр окружности. Его площадь, где(катет, лежащий против угла),.

Итак,

Дан ромб , диагонали которого равны 3 см и 4 см. Из вершины тупого угла проведены высотыиВычислить площадь четырёхугольника

Площадь ромба (рисунок 2.3.3).

Итак,

Площадь четырёхугольника равна Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника.

Так как и(рисунок 2.3.4), то– параллелограмм и, значит,.

Аналогично получаем откуда следует, что.

2.4 Площадь треугольника

Существует несколько формул для вычисления площади треугольника. Рассмотрим те, что изучаются в школе.

Первая формула вытекает из формулы площади параллелограмма и предлагается учащимся в виде теоремы.

Теорема. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту .

Доказательство. Пусть – площадь треугольника. Примем сторонуза основание треугольника и проведем высоту. Докажем что:

Достроим треугольник до параллелограмматак, как показано на рисунке. Треугольникииравны по трем сторонам (– их общая сторона,икак противоположные стороны параллелограма), поэтому их площади равны. Следовательно, площадь S треугольника АВС равна половине площади параллелограмма, т.е.

Важно обратить внимание учащихся на два следствия, вытекающих из данной теоремы. А именно:

площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Эти два следствия играют важную роль в решении разного рода задач. С опорой на данную доказывается еще одна теорема, имеющая широкое применение при решении задач.

Теорема. Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то их площади относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.

Доказательство . Пусть и– площади треугольникови, у которых углыиравны.

Докажем, что: .

Наложим треугольник . на треугольниктак, чтобы вершинасовместилась с вершиной, а стороныиналожились соответственно на лучии.

Треугольники иимеют общую высоту, поэтому,. Треугольникиитакже имеют общую высоту –, поэтому,. Перемножая полученные равенства, получим.

Вторая формула. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Существует несколько способов доказательства этой формулы, и я воспользуюсь одним из них.

Доказательство. Из геометрии известна теорема о том, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, опущенную на это основание:

В случае остроугольного треугольника . В случае тупого угла. Ho, а поэтому. Итак, в обоих случаях. Подставив вместов геометрической формуле площади треугольника, получим тригонометрическую формулу площади треугольника:

Третья формула для площади треугольника – формула Герона , названа так в честь древнегреческого ученого Герона Александрийского, жившего в первом веке нашей эры. Эта формула позволяет находить площадь треугольника, зная его стороны. Она удобна тем, что позволяет не делать никаких дополнительных построений и не измерять углов. Ее вывод основывается на второй из рассмотренных нами формул площади треугольника и теореме косинусов: и .

Прежде чем перейти к реализации этого плана, заметим, что

Теперь выразим косинус через и:

Так как любой угол в треугольнике больше и меньше, то. Значит,.

Теперь отдельно преобразуем каждый из сомножителей в подкоренном выражении. Имеем:

Подставляя это выражение в формулу для площади, получаем:

Тема «Площадь треугольника» имеет большое значение в школьном курсе математики. Треугольник – простейшая из геометрических фигур. Он является «структурным элементом» школьной геометрии. Подавляющее большинство геометрических задач сводятся к решению треугольников. Не исключение и задача о нахождении площади правильного и произвольного n-угольника.

Чему равна площадь равнобедренного треугольника, если его основание , а боковая сторона?

Проведём по свойству равнобедренного треугольника – медиана и высота. Тогда

Находим площадь треугольника:

Ответ:

В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 и 5 см. Определить площадь треугольника.

Пусть (рисунок 2.4.5). Тогдаи(посколькуBD – биссектриса). Отсюда имеем , то есть. Значит,

Ответ:

Найти площадь равнобедренного треугольника, если его основание равно , а длина высоты, проведённой к основанию, равна длине отрезка, соединяющего середины основания и боковой стороны.

По условию, – средняя линия (рисунок 2.4.6). Так какВимеем:

или , откудаСледовательно,

Что такое параллелограмм? Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

1. Площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

где:
a – сторона параллелограмма,
h a – высота, проведенная к этой стороне.

2. Если известны длины двух смежных сторон параллелограмма и угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

[ LARGE S = a cdot b cdot sin(alpha) ]

3. Если заданы диагонали параллелограмма и известен угол между ними, то площадь параллелограмма вычисляется по формуле:

[ LARGE S = frac cdot d_ cdot d_ cdot sin(alpha) ]

Свойства параллелограмма

В параллелограмме противоположные стороны равны: (AB = CD ) , (BC = AD )

В параллелограмме противоположные углы равны: (angle A = angle C ) , (angle B = angle D )

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам (AO = OC ) , (BO = OD )

Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180 o:

(angle A + angle B = 180^ ), (angle B + angle C = 180^)

(angle C + angle D = 180^ ), (angle D + angle A = 180^)

Диагонали и стороны параллелограмма связаны следующим соотношением:

В параллелограмме угол между высотами равен его острому углу: (angle K B H =angle A ) .

Биссектрисы углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, взаимно перпендикулярны.

Биссектрисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник будет параллелограммом, если:

(angle A = angle C ) и (angle B = angle D )

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Формула для площади параллелограмма

Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, опущенную на эту сторону.

Если параллелограмм — прямоугольник, то равенство выполнено по теореме о площади прямоугольника. Далее считаем, что углы параллелограмма не прямые.

Пусть в параллелограмме $ABCD$ угол $angle BAD$ острый и $AD > AB$. Иначе переименуем вершины. Тогда высота $BH$ из вершины $B$ на прямую $AD$ падает на сторону $AD$, так как катет $AH$ короче гипотенузы $AB$, а $AB

Источник статьи: http://ik-ptz.ru/physics/sinus-ugla-v-parallelogramme-formula-parallelogramm-v.html

Углы параллелограмма

Углы параллелограмма. Здравствуйте! В этой публикации представлена группа заданий с параллелограммами. Требуется вычислить синус (косинус) заданного угла, сторону или высоту. Всё решение сводится к работе с прямоугольным треугольником . То есть вполне достаточно помнить определения тригонометрических функций и уметь применять их на практике. Задачи решаются в одно действие, многие ученики после построения эскиза, наверняка, смогут решить их устно.

Что ещё стоит отметить? Один факт (свойство синуса), который очень пригодится. Это то, что синусы смежных углов равны, подробнее об этом было написано в этой статье . Если озвучить кратко и простыми словами, то синусы углов сумма которых равна 180 0 равны. Это видно и по формуле приведения:

*а также по тригонометрической окружности (при построении таких углов).

Как это применяется в задачах ниже? Как известно, сумма соседних углов параллелограмма равна 180 0 . И если будет дан синус любого из углов, то это означает, что синусы соседних с ним углов имеют такое же значение.

27433.В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB равна 4, AD=8. Найдите синус угла B.

Синус угла В равен синусу угла А, так как известно, что синусы смежных углов равны (указанные углы в сумме равны 180 градусам).

В прямоугольном треугольнике ADE:

27434. В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB, равна 4, sinA=2/3. Найдите AD.

Построим указанную высоту:

В прямоугольном треугольнике ADE:

27435. В параллелограмме ABCD sinС=3/7. AD=21. Найдите высоту, опущенную на сторону AB.

Угол С равен углу А. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE:

27436. В параллелограмме ABCD AB=3, AD=21, sinA=6/7. Найдите большую высоту параллелограмма.

Построим параллелограмм соблюдая соотношения сторон (АВ

Большей будет высота, которая проведена к меньшей стороне. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADE:

27438. В параллелограмме ABCD cosA=(√51)/10. Найдите sinB.

Как уже сказано, синусы смежных углов равны. Для того, чтобы найти sinB, достаточно вычислить sinА. Из основного тригонометрического тождества следует, что:

27437. В параллелограмме ABCD sinA=(√21)/5. Найдите cosB.

*Посмотрите решение внимательно, есть важные нюансы.

Этом всё. Есть ещё много задач с параллелограммами, их тоже рассмотрим, не пропустите. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких.

Материалы принесли вам пользу? Расскажите о сайте в социальных сетях!

Источник статьи: http://matematikalegko.ru/chetyirehugolniki/ugly-v-parallelogramme-recshenie-zadach.html

Параллелограмм

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Если у параллелограмма все углы прямые, то такой параллелограмм называется прямоугольником, а прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.

Все параллелограммы обладают следующими свойствами:

    противоположные стороны равны:

противолежащие углы равны:

сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°:

в точке пересечения диагонали делятся пополам:

каждая диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника:

точка пересечения диагоналей — это центр симметрии параллелограмма:

Точка O — это центр симметрии.

Высота

Нижняя сторона параллелограмма называется его основанием, а перпендикуляр, опущенный на основание из любой точки противоположной стороны, — высотой.

AD — это основание параллелограмма, h — высота.

Высота выражает расстояние между противоположными сторонами, поэтому определение высоты можно сформулировать ещё так: высота параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из любой точки одной стороны на противоположную ей сторону.

Площадь

Для измерения площади параллелограмма можно представить его в виде прямоугольника. Рассмотрим параллелограмм ABCD:

Построенные высоты BE и CF образуют прямоугольник EBCF и два треугольника: ΔABE и ΔDCF. Параллелограмм ABCD состоит из четырёхугольника EBCD и треугольника ABE, прямоугольник EBCF состоит из того же четырёхугольника и треугольника DCF. Треугольники ABE и DCF равны (по четвёртому признаку равенства прямоугольных треугольников), значит и площади прямоугольника с параллелограммом равны, так как они составлены из равных частей.

Итак, параллелограмм можно представить в виде прямоугольника, имеющего такое же основание и высоту. А так как для нахождения площади прямоугольника перемножаются длины основания и высоты, значит и для нахождения площади параллелограмма нужно поступить также:

Из данного примера можно сделать вывод, что площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту.

Общая формула площади параллелограмма:

где S — это площадь параллелограмма, a — основание, h — высота.

Источник статьи: http://izamorfix.ru/matematika/planimetriya/parallelogramm.html

Параллелограмм. Свойства и признаки параллелограмма

Определение параллелограмма

С этой фигурой знакомы все, освоившие курс школьной программы. Впервые с понятием «параллелограмм» встречаются в 8 классе на уроках геометрии.

Параллелограмм — геометрическая фигура, являющаяся разновидностью четырехугольника. Противоположные стороны параллельны.

Стоит отметить, что всем известные фигуры, такие как квадрат, ромб, прямоугольник, являются параллелограммами. Исходя из этого, им можно дать следующие определения:

  • Квадрат — параллелограмм с равными сторонами, пересекающимися под углом 90 градусов.
  • Ромб — параллелограмм с равными между собой сторонами, не пересекающимися под углом 90 градусов.
  • Прямоугольник — параллелограмм с неравными между собой сторонами, но пересекающимися под прямым углом.

Видео

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

a = √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 b 2
2
b = √ 2 d 1 2 + 2 d 2 2 — 4 a 2
2

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a = h b
sin α
b = h a
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту: a = Sha b = Shb

Как вписать окружность впараллелограмм?

В окружность можно вписать параллелограмм при условии равнозначных сумм противолежащих сторон. Из трех вариантов параллелограмма сумма противоположных сторон одинакова только у ромба. Следовательно, если в параллелограмм вписана окружность, то этот параллелограмм является ромбом.

  1. Начертить ромб можно, зная длину минимум одной стороны и одного угла.
  2. Провести горизонтальную линию, равную длине стороны.
  3. Транспортиром отмерить известный угол и провести луч.
  4. На луче отмерить тот же самый размер стороны.
  5. Оставшиеся две стороны нарисовать параллельно имеющимся.
  6. Согласно свойству ромба и вписанной окружности, проводим две биссектрисы из смежных углов (они же диагонали в ромбе).
  7. Пересечение биссектрис отметить точкой О.
  8. Точка О будет центром окружности.
  9. Вписанная окружность должна касаться всех сторон параллелограмма. Следовательно, стороны ромба будут касательными к окружности.
  10. Касательные перпендикулярны радиусу, который проходит к точке касания. Таким образом, из центра окружности (точки О) надо опустить перпендикуляр к любой стороне ромба.
  11. Иголку циркуля поставить в точку О, а ножку — на точку касания перпендикуляра со стороной ромба.
  12. Начертить окружность.
  13. Правильно начерченная фигура будет соприкасаться со всеми сторонами ромба.

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1. Противоположные стороны попарно равны:

2. Противоположные углы попарно равны:

3. Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам

4. Противоположные стороны равны и параллельны:

5.

Небольшой видеоролик о свойствах параллелограмма (в том числе ромба, прямоугольника, квадрата) и о том, как эти свойства применяются в задачах:

Формулы площади параллелограмма смотрите здесь.

Хорошую подборку задач на нахождение углов и длин в параллелограмме смотрите здесь.

Источник статьи: http://2cheloveka.ru/blog/parallelogramm-svoystva-i-priznaki-parallelogramma/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *