Как найти 4 вершину параллелограмма если даны 3 вектора
Точки A(2, 4), B(-3, 7) и C(-6, 6) — три вершины параллелограмма, причем A и C — противоположные вершины. Найти четвертую вершину.
Требование задачи «найти четвертую вершину» означает, что следует найти ее координаты. Решение задачи облегчит рисунок
Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Поэтому координаты точки E — пересечения диагоналей — найдем как координаты середины отрезка AC. Обозначая их через xE и yE, получим, что
Зная координаты точки E — середины диагонали BD и координаты одного из его концов B(-3, 7), по формулам
(1)
легко определим искомые координаты вершины D параллелограмма. В формулах (1) надо положить x = -2; y = 5; x1 = -3; y1 = 7. Искомыми будут xD и yD — координаты точки D. Получаем такие уравнения:
Источник статьи: http://www.pm298.ru/reshenie/fha0880.php
Даны три вершины параллелограмма ABCD: A(−3;3;1) , B(−1;3;−1) , C(−2;7;−2). Определить: a) координаты четвертой вершины D; б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB; в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.
Даны три вершины параллелограмма ABCD: A ( − 3 ; 3 ; 1 ) A(−3;3;1) , B ( − 1 ; 3 ; − 1 ) B(−1;3;−1) , C ( − 2 ; 7 ; − 2 ) C(−2;7;−2) .
a) координаты четвертой вершины D;
б) длину высоты, опущенной из вершины D на сторону AB;
в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD.
Лучший ответ по мнению автора
Владимир
a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).
б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD = 
Площадь параллелограмма=|ABxAD|=
=12
Высота=Площадь параллелограмма / основание
Основание |AB|=
Высота = 
в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD 
Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10
Найдем модули векторов 
Найдем угол между векторами: 
Другие ответы
Владимир
a) Найдем координаты вектора AB (из координат конца вектора вычли координаты начала).
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2)
Пусть D(x;y;z), тогда координаты вектора DC=(-2 — x; 7 — y; -2 — z).
Тогда
-2-x = 2
7-y = 0
-2-z = -2
Следовательно, x = -4, y = 7, z = 0, координаты точки D (-4, 7, 0).
б) Длина высоты, опущенной из вершины D на сторону AB:
AB = (-1 — (-3); 3 — 3; -1 — 1) = (2; 0; -2) (находили в первом пункте).
AD = (-4 — (-3); 7 — 3; 0 — 1) = (-1; 4; -1)
Векторное произведение ABxAD = 
Площадь параллелограмма=|ABxAD|=
=12
Высота=Площадь параллелограмма / основание
Основание |AB|=
Высота = 
в) косинус острого угла между диагоналями AC и BD 
Найдем скалярное произведение векторов AC и BD
AC * BD = 1*(-3) + 4*4 + (-3)*1= -3 + 16 -3 = 10
Найдем модули векторов 
Найдем угол между векторами: 
