Меню

Из 9 монет одна фальшивая она тяжелее настоящих как найти ее за два взвешивания



Из 9 монет одна фальшивая она тяжелее настоящих как найти ее за два взвешивания

а) Среди 9 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес меньше, чем у настоящих. Как при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить фальшивую монету?

б) Известно, что среди гирь достоинством 1 кг, 2 кг, 3 кг и 5 кг одна гиря отличается по весу от маркировки, указанной на ней. Можно ли при помощи двух взвешиваний на чашечных весах без гирь выделить «неправильную» гирю?

в) Среди 12 монет одинакового достоинства одна фальшивая — ее вес отличается от веса настоящих, но неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно выделить фальшивую монету и при этом установить, легче она или тяжелее настоящих?

а) Взвесим по три монеты. Если одна из троек перевесит, то фальшивая в другой тройке, если же на весах равновесие, то фальшивая среди трех, которые мы не брали. В любом случае остается три подозрительных монеты.

Взвесим две из них. По этому взвешиванию фальшивая найдется.

б) Проверим равенства Если нарушается только первое равенство, то неправильна гиря 1 кг, если только второе — 5 кг. Если в обоих равенствах перевешивает одна чашка, то 3 кг, если разные чашки — то 2 кг.

в) Пронумеруем монеты числами от 1 до 12. Взвесим монеты 1—4 с монетами 5—8.

1) Если весы в равновесии, то все монеты на них настоящие. Взвесим с

Если весы и сейчас в равновесии, то фальшивая — 12 и, взвешивая ее с 1, определим, легче она или тяжелее.

Если же равновесия нет, то фальшивая среди монет 9—11, и мы знаем ее тип (легче она или тяжелее). Из трех монет можно найти фальшивую за одно взвешивание (см. пункт а)

2) Если одна чашка перевесила. Пусть, например, это чашка 1—4. Тогда либо одна из них тяжелее настоящих, либо одна из 5—8 легче настоящих.

Если весы в равновесии, то взвесим 7 и 8 — фальшивая та из них, которая легче.

Если одна чашка перевесила, то пусть, например, это чашка 1, 2, 5. Это означает, что фальшивая либо 1 либо 2 (тяжелее настоящей), либо 6 (легче настоящей). Взвешивая 1 и 2, мы определим, какая ситуация реализовалась.

Докажем, что за 2 взвешивания сделать этого нельзя. Допустим, есть такой алгоритм. При его выполнении может произойти 9 вариантов (3 результата первого взвешивания и в каждом из них три результата второго взвешивания). По этим вариантам мы должны назвать фальшивую монету однозначно. Но поскольку монет 12, то какую-то из них наш алгоритм никогда не назовет фальшивой. Значит, если именно она фальшивая, алгоритм даст неправильный ответ.

Критерии оценивания выполнения задания Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. 4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. 3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. 2
Верно получен один из следующих результатов:

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

Источник статьи: http://ege.sdamgia.ru/problem?id=513210

Из 9 монет одна фальшивая она тяжелее настоящих как найти ее за два взвешивания

Задачи на взвешивания

Задача 1: Из 9 монет одна – фальшивая, она тяжелее настояших . Найти ее за два взвешивания.

Задача 2: Из 27 монет одна – фальшивая, она легче настоящих. Можно ли нйти ее за a ) 3 взвешивания b ) 2 взвешивания.

а) Да. Одним взвешиванием можно уменьшить количество «подозрительных монет втрое: нужно разделить монеты на три одинаковые группы и сравнить две из них. Если одна из групп легче, то фальшивая монета находится в ней, а если группы равны по весу, то фальшивая монета – в третьей группе. Таким образом, за три взвешивания группа «подозрительных» монет сужается до одной монеты, которая и является фальшивой.

б) Нет. Девять различных исходов двух взвешиваний не позволят однозначно определить все 27 возможных вариантов расположения фальшивой монеты.

Задача 3: Из 101 монеты 50 – фальшивые, которые на 1 грамм легче настоящих. За одно взвешивание на весах с делениями определить, является ли данная монета фальшивой.

Решение: Нужно разделить все монеты, кроме данной, на две группы по 50 штук и сравнить их. Если разность весов чётна, то данная монета – настоящая, иначе – фальшивая.

Задача 4: Есть 6 мешков с монетами. В некоторых из них монеты фальшивые (на 1 грамм легче настоящих). За одно взвешивание на весах с делениями определить, в каких мешках монеты фальшивые, если известно, что:

a ) Фальшивые монеты только в одном мешке.

b ) Фальшивые монеты не во всех мешках.

Решение: b ) Положим на левую чашку весов одну монету из первого мешка, 2 – из второго, 4 – из третьего, 8 – из четвёртого и 16 – из пятого. На правую чашу положим 31 монету из шестого мешка. «Фальшивые» мешки определяются по двоичной записи разности весов на чашках.

Задача 5: Из 103 монет две – фальшивые (фальшивые монеты одинаковы по весу). За три взвешивания определить, тяжелее они настоящих или легче.

Задача 6: Есть 6 монет, из которых две – фальшивые (легче настоящих). Найти их за 3 взвешивания.

Задача 7: Из 16 монет одна – фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 4 взвешивания.

Из 12 монет одна – фальшивая, причем неизвестно, легче она настоящих или тяжелее. Найти ее за 3 взвешивания.

Задача 9: Есть 5 монет, из которых две – фальшивые, причем одна тяжелее настоящих, а другая – легче. За 3 взвешивания найти обе фальшивые монеты.

Задача 10: В качестве вещественного доказательства суду были предъявлены 14 монет. Суд знает, что 7 из этих монет – настоящие , а 7 – фальшивые (легче настоящих). Адвокат обвиняемого знает, какие именно монеты фальшивые, и хочет убедить в этом суд. Как ему это сделать всего за три взвешивания на чашечных весах?

Источник статьи: http://lobanovaoe.narod.ru/posle_ur/vzvesh.htm

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *