Меню

Dim ker a матрицы как найти

Ядро и образ линейного отображения

Ядром линейного отображения называется множество таких векторов , что , т.е. множество векторов из , которые отображаются в нулевой вектор пространства . Ядро отображения обозначается:

Образом линейного отображения называется множество образов всех векторов из . Образ отображения обозначается или

Заметим, что символ следует отличать от — мнимой части комплексного числа.

Примеры ядер и образов линейных отображений

1. Ядром нулевого отображения является все пространство , а образом служит один нулевой вектор, т.е.

2. Рассмотрим отображение , которое ставит в соответствие каждому вектору n-мерного линейного пространства его координатный столбец относительно заданного базиса . Ядром этого отображения является нулевой вектор пространства , поскольку только этот вектор имеет нулевой координатный столбец . Образ преобразования совпадает со всем пространством , так как это преобразование сюръективно (любой столбец из является координатным столбцом некоторого вектора пространства ).

3. Рассмотрим отображение , которое каждому вектору n-мерного евклидова пространства ставит в соответствие алгебраическое значение его проекции на направление, задаваемое единичным вектором . Ядром этого преобразования является ортогональное дополнение — множество векторов, ортогональных . Образом является все множество действительных чисел .

4. Рассмотрим отображение , которое каждому многочлену степени не выше ставит в соответствие его производную. Ядром этого отображения является множество многочленов нулевой степени, а образом — все пространство .

Свойства ядра и образа линейного отображения

1. Ядро любого линейного отображения является подпространством: .

В соответствии с определением требуется доказать, что множество является непустым и замкнутым относительно операций сложения векторов и умножения вектора на число. В самом деле, из однородности отображения следует, что

т.е. нулевой вектор отображается в нулевой вектор . Следовательно, ядро любого линейного отображения не является пустым и содержит, по крайней мере, нулевой элемент: . Покажем, что множество замкнуто по отношению к операциям сложения векторов и умножения вектора на число. Действительно:

Следовательно, множество является линейным подпространством пространства .

2. Образ любого линейного отображения является подпространством: .

В самом деле, докажем, например, замкнутость множества по отношению к операции умножения вектора на число. Если , то существует вектор такой, что . Тогда , то есть .

Поскольку ядро и образ линейного отображения являются линейными подпространствами (свойства 1 и 2), можно говорить об их размерностях.

Дефектом линейного отображения называется размерность его ядра: , а рангом линейного отображения — размерность его образа: .

3. Ранг линейного отображения равен рангу его матрицы (определенной относительно любых базисов).

В самом деле, если любой базис пространства , то . Поэтому максимальное число линейно независимых векторов системы (ранг системы векторов) равно максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы отображения, т.е. рангу матрицы: .

4. Линейное отображение инъективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда дефект отображения равен нулю: .

Действительно, образом нулевого вектора служит нулевой вектор . Поэтому, если отображение инъективно, то ядро содержит только нулевой вектор , иначе два разных вектора имели бы один и тот же образ . Обратно, при условии разные векторы не могут иметь одинаковые образы , так как в этом случае из равенств , следует, что ненулевой вектор (приходим к противоречию).

5. Линейное отображение сюръективно тогда и только тогда, когда , другими словами, когда ранг отображения равен размерности пространства образов: .

6. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда и одновременно.

Теорема (9.1) о размерностях ядра и образа. Сумма размерностей ядра и образа любого линейного отображения равна размерности пространства прообразов:

Действительно, пусть . Выберем в подпространстве базис и дополним его векторами до базиса всего пространства . Покажем, что векторы образуют базис подпространства .

Во-первых, , так как образ любого вектора линейно выражается через векторы

Во-вторых, образующие линейно независимы. Если их линейная комбинация равна нулевому вектору:

то вектор принадлежит ядру (его образ — нулевой вектор). Однако, по построению этот вектор принадлежит алгебраическому дополнению . Учитывая, что , заключаем: . Получили разложение нулевого вектора по линейно независимой системе векторов, значит, все коэффициенты . Поэтому равенство справедливо только для тривиальной линейной комбинации, т.е. система векторов линейно независимая.

Таким образом, векторы образуют базис подпространства , а его размерность определяется количеством базисных векторов, т.е. , что равносильно (9.3).

Следствие. Линейное отображение биективно (значит, обратимо) тогда и только тогда, когда обратима его матрица (определенная относительно любых базисов).

Действительно, для обратимости преобразования (см. свойство 6) его матрица (размеров ) должна удовлетворять условиям (см. свойства 3,4,5):

Тогда по теореме 9.1 заключаем, что , т.е. матрица — квадратная n-го порядка и невырожденная , что и требовалось доказать.

Обратимые линейные отображения называются также невырожденными (имея в виду невырожденность их матрицы).

Источник статьи: http://mathhelpplanet.com/static.php?p=yadro-i-obraz-linyeinogo-otobrazheniya

Unlock-Линейная алгебра Сикорская 1

10.10 Вопросы для самоконтроля

1 Сформулируйте определение евклидового пространства.

2 Перечислите аксиомы скалярного произведения (аксиомы евклидового пространства).

3 Приведите пример евклидового пространства.

4 Какие вектора называются ортогональными?

5 Сформулируйте и докажите теорему о линейной независимости ортогональной системы векторов.

6 Что означает процесс ортогонализации?

7 Как преобразовать произвольный базис в ортогональный?

8 Дайте определение нормы вектора евклидового пространства.

9 Выведите неравенство Коши-Буняковского.

10 Выведите неравенство треугольника.

11 Как найти угол между векторами евклидового пространства?

12 Какой базис называется ортонормированным?

13 Запишите формулу скалярного произведения через коэффициенты векторов ортонормированного базиса.

14 Какое пространство называется унитарным?

15 Что означает эрмитово произведение элементов?

16 Сформулируйте и докажите теорему о размерности изоморфных евклидовых пространств.

17 Какие матрицы называются унитарными?

18 Сформулируйте свойства унитарных матриц.

19 Какая матрица называется сопряженной по отношению к данной?

20 Перечислите характеристические свойства унитарных матриц.

Глава 11Линейные операторы

11.1 Линейный оператор. Основные определения

Пусть даны два линейных действительных (комплексных) пространства V

и W , размерности которых равны соответственно m и n .

задано отображение f пространства V в W или оператор,

W , если каждому x V поставлен в соответствие единственный y W .

Вектор y назовем образом вектора x , а x — прообразом вектора y .

Будем говорить, что оператор f переводит вектор x в

Из определения оператора следует, что каждый вектор имеет единственный образ, но не каждый вектор имеет прообраз, а если имеет, то этот прообраз, вообще говоря, может быть и не единственным.

Оператор называется взаимно однозначным ( биективным ), если каждый вектор имеет прообраз, и притом единственный.

Два оператора f : V → W и g : V → W называются равными , если f ( x ) = g( x ) , для любого x V .

Оператор называется линейным , если для любых векторов пространства и произвольного числа λ (действительного, если пространство действительное, и комплексного, если – комплексное), выполняются следующие условия:

1) f ( x 1 + x 2 ) = f ( x 1 ) + f ( x 2 ) ;

Из определения следует, что для линейного оператора справедливо

f ( α x 1 + β x 2 ) = α f ( x 1 ) + β f ( x 2 ) ,

где α , β — любые числа (действительные или комплексные).

Справедливо и обратное: если имеет место равенство (11.1), то оператор f

Отметим, что линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой, так как согласно условию 2) : f ( 0 ) = f ( 0 x ) = 0 f ( x ) = θ , где θ — нулевой вектор.

Простейшим примером линейного оператора является тождественное

преобразование, которое каждому вектору

линейного пространства ставит в соответствие тот же вектор.

f n -мерного пространства переводит базисные

векторы e 1 , e 2 , . e n соответственно в векторы e 1 ′ , e 2 ′ , . e n ′ , т.е.

e 2 ′ = f ( e 2 ) ,…, e n ′ = f ( e n ) .

Образ любого вектора x данного линейного пространства можно выразить через образы базисных векторов e 1 , e 2 , . e n , то есть через e 1 ′ , e 2 ′ , . e n ′ .

x = α 1 e 1 + α 2 e 2 + . + α n e n ,

f ( x ) = f ( α 1 e 1 + α 2 e 2 + . + α n e n ) = α 1 f ( e 1 ) + α 2 f ( e 2 ) + . + α n f ( e n ) =

= α 1 e 1 ′ + α 2 e 2 ′ + . + α n e n ′ ,

f ( x ) = α 1 e 1 ′ + α 2 e 2 ′ + . + α n e n ′ .

Следовательно, линейный оператор будет вполне определен, если заданы образы базисных векторов рассматриваемого пространства .

линейный оператор n -мерного линейного пространства,

переводящий базисные векторы e 1 , e 2 , . e n в векторы

e 1 ′ , e 2 ′ , . e n ′ . Каждый из

последних векторов разложим по базису e 1 , e 2 , . e n :

e 1 ′ = a 11 e 1 + a 21 e 2 + . + a n 1 e n ,

e 2 ′ = a 12 e 1 + a 22 e 2 + . + a n 2 e n ,

e n ′ = a 1 n e 1 + a 2 n e 2 + . + a nn e n .

Источник статьи: http://studfile.net/preview/2874564/page:27/

16 Образ и ядро ЛО

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

В этой лекции мы завершаем изучение линейных операторов. С каждым линейным оператором в векторном пространстве V связыны два важных множества векторов образ и ядро оператора. После определения этих понятий мы проверим, что образ и ядро любого оператора являются подпространствами в V , докажем теорему о связи между их размерностями и приведем алгоритмы нахождения базисов образа и ядра, в том числе алгоритм Чуркина их одновременного нахождения.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Определения образа и ядра

Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V . Образом оператора A называется множество всех векторов y 2 V таких, что A(x) = y для некоторого x 2 V . Ядром оператора A называется множество всех векторов x 2 V таких, что A(x) = 0. Образ оператора A обозначается через Im A, а его ядро через Ker A.

Отметим, что каждое из множеств Im A и Ker A непусто. Для первого из них это очевидно, а для второго вытекает из замечания 1 в лекции 14.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Образ и ядро подпространства

Образ и ядро линейного оператора, действующего в пространстве V , являются подпространствами в V .

Доказательство. Пусть y 1 ; y 2 2 Im A, а t произвольное число. Тогда существуют векторы x 1 ; x 2 2 V такие, что A(x 1 ) = y 1 и A(x 2 ) = y 2 . Следовательно,

y 1 + y 2 = A(x 1 ) + A(x 2 ) = A(x 1 + x 2 ) и ty 1 = tA(x 1 ) = A(tx 1 ):

Это означает, что x 1 + x 2 ; tx 1 2 Im A, и потому Im A подпространство в

Далее, пусть x 1 ; x 2 2 Ker A, а t вновь произвольное число. Тогда

A(x 1 + x 2 ) = A(x 1 ) + A(x 2 ) = 0 + 0 = 0 и A(tx 1 ) = tA(x 1 ) = t 0 = 0:

Это означает, что x 1 + x 2 ; tx 1 2 Ker A, и потому Ker A подпространство в V .

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Связь между размерностями образа и ядра (1)

Замечание 1 позволяет говорить о размерности и базисе образа и ядра оператора A. В следующей теореме указана связь между размерностями этих подпространств, а из ее доказательства легко извлекается способ нахождения их базисов.

Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V . Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора A равна размерности V .

Доказательство. Положим dim V = n и зафиксируем произвольный базис f 1 ; f 2 ; : : : ; f n пространства V . Обозначим матрицу оператора A в этом базисе через A, а ее ранг через r. Пусть x 2 V , а (t 1 ; t 2 ; : : : ; t n ) координаты вектора x в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n . Тогда

A(x) = A(t 1 f 1 + t 2 f 2 + + t n f n ) = t 1 A(f 1 ) + t 2 A(f 2 ) + + t n A(f n ):

Поскольку пространство Im A состоит из векторов вида A(x), мы получаем, что набор векторов A(f 1 ); A(f 2 ); : : : ; A(f n ) является системой образующих этого пространства. Следовательно, размерность Im A равна размерности подпростанства, порожденного указанным набором векторов. Учитывая, что столбцы матрицы A суть в точности столбцы координат векторов A(f 1 ); A(f 2 ); : : : ; A(f n ) в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n , мы получаем, что размерность Im A равна рангу A по столбцам, т. е. dim Im A = r.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Связь между размерностями образа и ядра (2)

Далее, пусть x 2 V , а X столбец координат вектора x в базисе

f 1 ; f 2 ; : : : ; f n . Ясно, что x 2 Ker A тогда и только тогда, когда AX = O, где O нулевой столбец. Иными словами, пространство Ker A совпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений

AX = O. В силу теоремы 2 из лекции 13 dim Ker A = n r. Следовательно, dim Im A + dim Ker A = r + (n r) = n.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Алгоритмы нахождения базисов образа и ядра

Пусть A матрица оператора A в некотором базисе. Как видно из доказательства теоремы 1, пространство Im A совпадает с пространством, порожденным векторами-столбцами матрицы A или, что то же самое, с пространством, порожденным векторами-строками матрицы A > . Учитывая алгоритм нахождения базиса подпространства, изложенный в лекции 9, мы получаем следующий

Алгоритм нахождения базиса и размерности образа линейного оператора

Пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Im A, надо привести к ступенчатому виду матрицу A > . Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом пространства Im A, а число этих строк его размерностью.

Из доказательства теоремы 1 непосредственно вытекает также следующий

Алгоритм нахождения базиса и размерности ядра линейного оператора

Пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Ker A, надо найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений, основная матрица которой есть A. Она и будет базисом пространства Ker A, а число векторов в ней его размерностью.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

В заключение лекции приведем еще один алгоритм нахождения базисов и размерностей образа и ядра оператора A. Его преимуществом является то, что он позволяет найти базисы образа и ядра одновременно. Алгоритм это был придуман совсем недавно в 1991 г. Его автором является новосибирский математик В. А. Чуркин.

Алгоритм одновременного нахождения базисов и размерностей образа и ядра линейного оператора (алгоритм Чуркина)

Пусть оператор A имеет в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n матрицу A. Составим матрицу B порядка n 2n следующим образом. В левой половине (т. е. в первых n столбцах) этой матрицы запишем матрицу A > , а в ее правой половине (в последних n столбцах) единичную матрицу. Элементарными преобразованиями всей матрицы B приведем ее левую половину к ступенчатому виду. Полученную матрицу обозначим через C,

ее левую половину через C 1 , а ее правую половину через C 2 . Тогда:

(i) ненулевые строки матрицы C 1 образуют базис образа оператора A;

(ii) строки матрицы C 2 , которые являются продолжениями нулевых строк матрицы C 1 , образуют базис ядра оператора A.

Утверждение (i) немедленно вытекает из описанного ранее алгоритма нахождения базиса образа и того факта, что в процессе преобразований левая и правая части матрицы не ¾перемешиваются¿.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Обоснуем утверждение (ii) . Заметим, что вектор f i имеет в базисе

f 1 ; f 2 ; : : : ; f n координаты (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0), где 1 стоит на i-м месте. Поэтому можно считать, что единичная матрица, стоящая в правой части матрицы B, есть матрица, в которой по строкам записаны координаты векторов f 1 ; f 2 ; : : : ; f n в базисе, составленном из этих векторов. Вспоминая определение матрицы оператора, получаем, что в левой половине i-й строки матрицы B стоят координаты вектора A(f i ) в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n . Итак, матрица B обладает следующим свойством: если в правой части какой-то строки этой матрицы стоят координаты некоторого вектора x в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n , то в левой части этой строки стоят координаты вектора A(x) в том же базисе. Нетрудно проверить, что это свойство сохраняется при элементарных преобразованиях матрицы. Поскольку матрица C получена из B элементарными преобразованиями, она также обладает указанным свойством. Обозначим через x 1 ; x 2 ; : : : ; x k строки матрицы C 2 , являющиеся продолжениями нулевых строк матрицы C 1 . В силу сказанного выше A(x i ) = 0, т. е. x i 2 Ker A для всякого i = 1; 2; : : : ; k. Далее, можно проверить, что векторы x 1 ; x 2 ; : : : ; x k линейно независимы. Из утверждения (i) вытекает, что k + dim Im A = n. По теореме 1

k = dim Ker A. Итак, x 1 ; x 2 ; : : : ; x k линейно независимый набор векторов из Ker A, число векторов в котором равно размерности этого подпространства. В силу замечания 8 из лекции 8 эти векторы образуют базис Ker A.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Источник статьи: http://studfile.net/preview/1869096/

16 Образ и ядро ЛО

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

В этой лекции мы завершаем изучение линейных операторов. С каждым линейным оператором в векторном пространстве V связыны два важных множества векторов образ и ядро оператора. После определения этих понятий мы проверим, что образ и ядро любого оператора являются подпространствами в V , докажем теорему о связи между их размерностями и приведем алгоритмы нахождения базисов образа и ядра, в том числе алгоритм Чуркина их одновременного нахождения.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Определения образа и ядра

Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V . Образом оператора A называется множество всех векторов y 2 V таких, что A(x) = y для некоторого x 2 V . Ядром оператора A называется множество всех векторов x 2 V таких, что A(x) = 0. Образ оператора A обозначается через Im A, а его ядро через Ker A.

Отметим, что каждое из множеств Im A и Ker A непусто. Для первого из них это очевидно, а для второго вытекает из замечания 1 в лекции 14.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Образ и ядро подпространства

Образ и ядро линейного оператора, действующего в пространстве V , являются подпространствами в V .

Доказательство. Пусть y 1 ; y 2 2 Im A, а t произвольное число. Тогда существуют векторы x 1 ; x 2 2 V такие, что A(x 1 ) = y 1 и A(x 2 ) = y 2 . Следовательно,

y 1 + y 2 = A(x 1 ) + A(x 2 ) = A(x 1 + x 2 ) и ty 1 = tA(x 1 ) = A(tx 1 ):

Это означает, что x 1 + x 2 ; tx 1 2 Im A, и потому Im A подпространство в

Далее, пусть x 1 ; x 2 2 Ker A, а t вновь произвольное число. Тогда

A(x 1 + x 2 ) = A(x 1 ) + A(x 2 ) = 0 + 0 = 0 и A(tx 1 ) = tA(x 1 ) = t 0 = 0:

Это означает, что x 1 + x 2 ; tx 1 2 Ker A, и потому Ker A подпространство в V .

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Связь между размерностями образа и ядра (1)

Замечание 1 позволяет говорить о размерности и базисе образа и ядра оператора A. В следующей теореме указана связь между размерностями этих подпространств, а из ее доказательства легко извлекается способ нахождения их базисов.

Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V . Тогда сумма размерностей образа и ядра оператора A равна размерности V .

Доказательство. Положим dim V = n и зафиксируем произвольный базис f 1 ; f 2 ; : : : ; f n пространства V . Обозначим матрицу оператора A в этом базисе через A, а ее ранг через r. Пусть x 2 V , а (t 1 ; t 2 ; : : : ; t n ) координаты вектора x в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n . Тогда

A(x) = A(t 1 f 1 + t 2 f 2 + + t n f n ) = t 1 A(f 1 ) + t 2 A(f 2 ) + + t n A(f n ):

Поскольку пространство Im A состоит из векторов вида A(x), мы получаем, что набор векторов A(f 1 ); A(f 2 ); : : : ; A(f n ) является системой образующих этого пространства. Следовательно, размерность Im A равна размерности подпростанства, порожденного указанным набором векторов. Учитывая, что столбцы матрицы A суть в точности столбцы координат векторов A(f 1 ); A(f 2 ); : : : ; A(f n ) в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n , мы получаем, что размерность Im A равна рангу A по столбцам, т. е. dim Im A = r.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Связь между размерностями образа и ядра (2)

Далее, пусть x 2 V , а X столбец координат вектора x в базисе

f 1 ; f 2 ; : : : ; f n . Ясно, что x 2 Ker A тогда и только тогда, когда AX = O, где O нулевой столбец. Иными словами, пространство Ker A совпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений

AX = O. В силу теоремы 2 из лекции 13 dim Ker A = n r. Следовательно, dim Im A + dim Ker A = r + (n r) = n.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Алгоритмы нахождения базисов образа и ядра

Пусть A матрица оператора A в некотором базисе. Как видно из доказательства теоремы 1, пространство Im A совпадает с пространством, порожденным векторами-столбцами матрицы A или, что то же самое, с пространством, порожденным векторами-строками матрицы A > . Учитывая алгоритм нахождения базиса подпространства, изложенный в лекции 9, мы получаем следующий

Алгоритм нахождения базиса и размерности образа линейного оператора

Пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Im A, надо привести к ступенчатому виду матрицу A > . Ненулевые строки полученной матрицы будут базисом пространства Im A, а число этих строк его размерностью.

Из доказательства теоремы 1 непосредственно вытекает также следующий

Алгоритм нахождения базиса и размерности ядра линейного оператора

Пусть линейный оператор A задан в некотором базисе матрицей A. Чтобы найти базис подпространства Ker A, надо найти фундаментальную систему решений однородной системы линейных уравнений, основная матрица которой есть A. Она и будет базисом пространства Ker A, а число векторов в ней его размерностью.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

В заключение лекции приведем еще один алгоритм нахождения базисов и размерностей образа и ядра оператора A. Его преимуществом является то, что он позволяет найти базисы образа и ядра одновременно. Алгоритм это был придуман совсем недавно в 1991 г. Его автором является новосибирский математик В. А. Чуркин.

Алгоритм одновременного нахождения базисов и размерностей образа и ядра линейного оператора (алгоритм Чуркина)

Пусть оператор A имеет в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n матрицу A. Составим матрицу B порядка n 2n следующим образом. В левой половине (т. е. в первых n столбцах) этой матрицы запишем матрицу A > , а в ее правой половине (в последних n столбцах) единичную матрицу. Элементарными преобразованиями всей матрицы B приведем ее левую половину к ступенчатому виду. Полученную матрицу обозначим через C,

ее левую половину через C 1 , а ее правую половину через C 2 . Тогда:

(i) ненулевые строки матрицы C 1 образуют базис образа оператора A;

(ii) строки матрицы C 2 , которые являются продолжениями нулевых строк матрицы C 1 , образуют базис ядра оператора A.

Утверждение (i) немедленно вытекает из описанного ранее алгоритма нахождения базиса образа и того факта, что в процессе преобразований левая и правая части матрицы не ¾перемешиваются¿.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Обоснуем утверждение (ii) . Заметим, что вектор f i имеет в базисе

f 1 ; f 2 ; : : : ; f n координаты (0; : : : ; 0; 1; 0; : : : ; 0), где 1 стоит на i-м месте. Поэтому можно считать, что единичная матрица, стоящая в правой части матрицы B, есть матрица, в которой по строкам записаны координаты векторов f 1 ; f 2 ; : : : ; f n в базисе, составленном из этих векторов. Вспоминая определение матрицы оператора, получаем, что в левой половине i-й строки матрицы B стоят координаты вектора A(f i ) в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n . Итак, матрица B обладает следующим свойством: если в правой части какой-то строки этой матрицы стоят координаты некоторого вектора x в базисе f 1 ; f 2 ; : : : ; f n , то в левой части этой строки стоят координаты вектора A(x) в том же базисе. Нетрудно проверить, что это свойство сохраняется при элементарных преобразованиях матрицы. Поскольку матрица C получена из B элементарными преобразованиями, она также обладает указанным свойством. Обозначим через x 1 ; x 2 ; : : : ; x k строки матрицы C 2 , являющиеся продолжениями нулевых строк матрицы C 1 . В силу сказанного выше A(x i ) = 0, т. е. x i 2 Ker A для всякого i = 1; 2; : : : ; k. Далее, можно проверить, что векторы x 1 ; x 2 ; : : : ; x k линейно независимы. Из утверждения (i) вытекает, что k + dim Im A = n. По теореме 1

k = dim Ker A. Итак, x 1 ; x 2 ; : : : ; x k линейно независимый набор векторов из Ker A, число векторов в котором равно размерности этого подпространства. В силу замечания 8 из лекции 8 эти векторы образуют базис Ker A.

Лекция 16: Образ и ядро линейного оператора

Источник статьи: http://studfile.net/preview/1869096/

2.5. Линейные отображения

Остыловский А.Н. Лекция 2.5. Линейные отображения.

Определение. Примеры. Композиция отображений. Обратное отображение. Ядро. Образ. Задание линейного отображения образом базиса. Размерность ядра и образа. Отношение эквивалентности. Изоморфизм линейных пространств.

Пусть L и M линейные пространства размерностей n и m над одним и тем же полем P.

Определение 1. Отображение A : L ! M называется линейным, если

Из этого определения легко следует, что для любых x 1 ; x 2 ; : : : ; x n 2 L и любых 1 ; 2 ; : : : ; n 2 P

A( 1 x 1 + 2 x 2 + + n x n ) = 1 A(x 1 ) + 2 A(x 2 ) + + n A(x n ): (1)

Из этого факта нетрудно получить

Лемма 1. Если вектора x 1 , : : :, x k линейно зависимы, то и вектора A(x 1 ), : : :, A(x k ) линейно зависимы.

Если A(x) = y, то говорят, что вектор y есть образ вектора x, а вектор x есть прообраз вектора y.

Рассмотрим важнейшие примеры линейных отображений. Пример 1. Пусть L n-мерное линейное пространство над по-

лем R и M = R n . Зафиксируем в L какой-либо базис e = (e 1 ; : : : ; e n ). Для произвольного x = 1 e 1 + + n e n 2 L положим

т.е. поставим в соответствие каждому вектору x его координатный столбец в выбранном базисе. Получим линейное отображение

Пример 2. Пусть L = R n и M = R m пространства вещественных столбцов и A (m n)-матрица. Полагая A(x) = Ax, получим линейное отображение A : R n ! R m .

Пусть A 1 : L 1 ! L 2 и A 2 : L 2 ! L 3 линейные отображения. Определим их композицию A 2 A 1 : L 1 ! L 3 :

Нетрудно проверить (проверьте!) линейность отображения A 2 A 1 . Пример 3. Линейное рекуррентное соотношение

x n+2 = a n+2 x n+1 + b n+2 x n + c n+2 ; n = 0; 1; : : :

можно представить в матричной форме

Такое представление имеет некоторые полезные приложения. Ввиду ассоциативности матричного умножения имеем:

X n+2 = A n+2 X n+1 = A n+2 (A n+1 X n ) = = (A n+2 A n+1 A 2 )X 1 :

Теперь можно выразить x n+2 через x 1 и x 0 , не вычисляя x 2 , x 3 . x n+1 . Кроме того, произведение A n+2 A n+1 A 2 легко распараллеливается методом сдваивания, например,

A 9 A 8 A 7 A 6 A 5 A 4 A 3 A 2 = ((A 9 A 8 )(A 7 A 6 ))((A 5 A 4 )(A 3 A 2 )):

При наличии достаточно мощного многопроцессорного компьютера произведение N матриц таким способом находится примерно в N= log 2 N раз быстрее, чем при последовательном счете.

Если A n = A постоянная матрица, то X n+2 = A n+1 X 1 и матрицу A n+1 можно найти в явном виде, используя, например жорданову форму. Это позволяет проследить асимптотическое поведение последовательности x n .

Предположим, что отображение A : L ! M взаимно однозначно. Определим обратное отображение A 1 : M ! L. Если A(x) = y, то положим A 1 (y) = x.

Отображение A 1 линейно. Действительно, пусть A(x) = u и

A(y) = v. Тогда A(x + y) = u + v. Отсюда A 1 (u + v) = x + y =

A 1 (u) + A 1 (v). Ещё легче проверяется, что A 1 ( u) = A 1 (u).

Пусть A : L ! M линейное отображение. Его ядром называется множество

Для подпространства U пространства L определим образ Im U:

Упражнение. Докажите, что Ker A есть подпространство в L, а Im U, в частности, Im L подпространства в M.

Упражнение. Докажите, что обратное к отображению A : L ! M отображение существует тогда и только тогда, когда Ker A = 0 и dim L = dim M.

5. Задание линейного отображения образом базиса

Пусть A : L ! M линейное отображение и e = (e 1 ; : : : ; e n )какой-либо базис в L. Для произвольного x = 1 e 1 + + n e n ввиду (1) имеем

A(x) = A( 1 e 1 + + n e n ) = 1 A(e 1 ) + + n A(e n ): (2)

Таким образом, для того, чтобы знать действие линейного отображения на всем пространстве L достаточно знать его действие на векторах какого-либо базиса. Обратно, произвольным образом задавая A(e 1 ),

: : :, A(e n ) для какого-либо базиса в L, по формуле (2) можно продолжить отображение A на всё пространство L.

6. Размерность ядра и образа

Теорема 1. Пусть A : L ! M линейное отображение и e = (e 1 ; : : : ; e n ) такой базис в L, что первые его k векторов

e 1 , : : :, e k образуют базис ядра Ker A. Тогда система векторов f = (A(e k+1 ); : : : ; A(e n )) является базисом образа Im A.

Доказательство. Пусть y 2 Im A, т.е. y = A(x) для некоторого x 2 L. Разложим x по базису e:

= 1 A(e 1 ) + + k A(e k ) + k+1 A(e k+1 ) + + n A(e n ) =

т.е. система f является системой образующих для Im A. Осталось показать, что система f линейно независима. Пусть

Тогда вектор k+1 e k+1 + + n e n можно разложить по базису Ker A

k+1 e k+1 + + n e n = 1 e 1 + + k e k :

1 e 1 + + k e k k+1 e k+1 n e n = 0:

Так как (e 1 ; : : : ; e n ) базис, то в последнем равенстве все коэффициенты равны нулю, в частности, k+1 = = n = 0. 2

Из этой теоремы немедленно получается следствие, которое ввиду его важности сформулируем в виде

Теорема 2. Пусть A : L ! M линейное отображение. Тогда

dim Ker A + dim Im A = dim L:

7. Отношение эквивалентности

Пусть A, B множества. Их прямым произведением называется множество A B всех упорядоченных пар ha; bi таких, что a 2 A, b 2 B. Иными словами

A B = fha; bi j a 2 A; b 2 Bg:

Бинарным (или двухместным) отношением на множестве M называется произвольное подмножество множества M M. При этом вместо hx; yi 2 пишут x y.

Примерами бинарных отношений на множестве действительных чисел служат отношения «x 2 + 1» и т.д.

Бинарное отношение на множестве M называют рефлексивным, если для любого x 2 M выполнено x x.

Бинарное отношение на множестве M называют симметричным, если для любых x; y 2 M из x y следует y x.

Бинарное отношение на множестве M называют транзитивным, если для для любых x; y; z 2 M из x y и y z следует x z.

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве M называется отношением эквивалентности на множестве M. Отношение эквивалентности обычно обозначают символом » т.е. вместо x y пишут x y.

1. Отношение подобия на множестве треугольников есть отношение эквивалентности.

2. Отношение «m делится на k»на множестве натуральных чисел транзитивно, рефлексивно, но не симметрично.

4. Отношение принадлежности студентов к одной и той же студенческой группе на множестве студентов данного вуза есть отношение эквивалентности.

Пусть на множестве M задано отношение эквивалентности. Класс эквивалентности, порожденный элементом x 2 M, есть по определению

Предложение 1. Если x y, то [x] = [y].

Доказательство. Пусть z 2 [x]. Тогда z x. Отсюда и из x y следует z y. Тогда z 2 [y], т.е. [x] [y]. Аналогично доказывается включение [y] [x]. 2

Предложение 2. Если классы эквивалентности на множестве M пересекаются, то они совпадают.

Доказательство. Пусть [x] \ [y] 3 z. Тогда x z и z y. Отсюда x y. Теперь ввиду предыдущего предложения [x] = [y]. 2

Следствие 1. Если [x] 6= [y], то [x] \ [y] = ?.

Таким образом, отношение эквивалентности на множестве M разбивает M на непересекающиеся классы эквивалентности.

8. Изоморфизм линейных пространств

Пусть L и M линейные пространства над одним и тем же полем P. Если существует взаимно однозначное линейное отображение A : L ! M, то оно называется изоморфизмом, а пространства L и M изоморфными. При этом пишут L ‘ M. Изоморфизм L ! M вовсе не обязательно единственный. На множестве всех линейных пространств отношение изоморфизма есть бинарное отношение.

Так как A 1 есть снова линейное отображение, то из L ‘ M следует M ‘ L, т.е. отношение изоморфизма симметрично.

Пусть A : L ! M и B : M ! G суть изоморфизмы. Тогда B A : L ! G есть снова взаимно однозначное линейное отображение, т.е. изоморфизм. Значит отношение изоморфизма транзитивно.

Так как тождественное отображение E : L ! L является изоморфизмом, то отношение изоморфизма рефлексивно.

Таким образом, отношение изоморфизма на множестве всех линейных пространств есть отношение эквивалентности.

Теорема 3. Два конечномерных линейных пространства над одним и тем же полем изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности одинаковы.

Доказательство. Пусть L n-мерное линейное пространство над полем P. Зафиксируем в L какой-либо базис e 1 ; : : : ; e n . Координатный столбец произвольного вектора x = 1 e 1 + + n e n определен однозначно. Поэтому отображение A : L ! P n

Источник статьи: http://studfile.net/preview/4574705/

9.5. Ядро и образ линейного оператора

В векторном пространстве V над произвольным полем P задан линейный оператор .

Определение9.8. Ядром линейного оператора  называется множество векторов пространства V , образом которых является нулевой вектор. Принятое обозначение для этого множества: Ker, т. е.

Теорема 9.7. Ядро линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.9. Размерность ядра линейного оператора называется дефектом линейного оператора. dim Ker = d.

Определение 9.10. Образом линейного оператора  называется множество образов векторов пространства V . Обозначение для этого множества Im, т. е. Im = <(х) | хV>.

Теорема 9.8. Образ линейного оператора является подпространством пространства V.

Определение 9.11. Размерность образа линейного оператора называется рангом линейного оператора. dim Im = r.

Теорема 9.9. Пространство V является прямой суммой ядра и образа заданного в нем линейного оператора. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства V.

Пример 9.3. 1) В пространстве R[x](3) найти ранг и дефект оператора дифференцирования. Найдем те многочлены, производная которых равна нулю. Это многочлены нулевой степени, следовательно, Ker = <f | f = c> и d = 1. Производные многочленов, степень которых не превосходит трех, образуют множество многочленов, степень которых не превосходит двух, следовательно, Im = R[x](2) и r = 3.

2) Если линейный оператор задан матрицей M(), то для нахождения его ядра надо решить уравнение (х) = о, которое в матричной форме выглядит так: M()[x] = [о]. Из этого следует, что базисом ядра линейного оператора является фундаментальный набор решений однородной системы линейных уравнений с основной матрицей M(). Систему образующих образа линейного оператора составляют векторы (e1), (e2), …, (en). Базис этой системы векторов дает базис образа линейного оператора.

9.6. Обратимые линейные операторы

Определение 9.12. Линейный оператор  называется обратимым, если существует линейный оператор ψ такой что выполняется равенство ψ = ψ = , где  – тождественный оператор.

Теорема 9.10. Если линейный оператор  обратим, то оператор ψ определяется единственным образом и называется обратным для оператора .

В этом случае оператор, обратный для оператора , обозначается  –1 .

Теорема 9.11. Линейный оператор  обратим тогда и только тогда, когда обратима его матрица M(), при этом M( –1 ) = (M()) –1 .

Из этой теоремы следует, что ранг обратимого линейного оператора равен размерности пространства, а дефект равен нулю.

Решение. Составим матрицу этого линейного оператора: M() = . Так как = 0 то матрица M() необратима, а значит, необратим и линейный оператор .

Решение. Матрица этого линейного оператора, равная M() = , обратима, так как |M()| ≠ 0. (M()) –1 = , поэтому  –1 = (2х1х2, –3х1 + 2х2).

Источник статьи: http://studfile.net/preview/1719982/page:34/

VMath

Инструменты сайта

Основное

Навигация

Информация

Действия

Содержание

Линейное отображение

Линейным отображением линейного векторного пространства $ \mathbb V_<> $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ +_<> $, в линейное векторное пространство $ \mathbb W_<> $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ \boxplus_<> $, называется функция (соответствие) $$ \mathcal A:\ \mathbb V \longmapsto \mathbb W $$ (т.е. определенная на $ \mathbb V_<> $, имеющая значения в $ \mathbb W_<> $), обладающая свойством линейности, которое описывается одним из двух эквивалентных представлений: $$ \mathcal A (X_1 +X_2)= \mathcal A(X_1) \boxplus \mathcal A(X_2),\quad \mathcal A (\alpha_1 X_1)= \alpha_1 \mathcal A (X_1), $$ или $$ \mathcal A(\alpha_1 X_1 + \alpha_2 X_2)= \alpha_1 \mathcal A(X_1) \boxplus \alpha_2 \mathcal A(X_2) $$ указанные свойства должны быть выполнены для любых векторов $ X_1,X_2 $ пространства $ \mathbb V_<> $ и любых скаляров $ \alpha_1,\alpha_ 2 $ (вещественных если оба пространства вещественны, и комплексных если хотя бы одно из пространств комплексное). Если $ Y=\mathcal A(X) $, то говорят, что $ Y_<> $ — образ вектора $ X_<> $, а $ X_<> $ — прообраз вектора $ Y_<> $ при отображении $ \mathcal A_<> $. Пространство $ \mathbb V_<> $ называется областью определения отображения $ \mathcal A_<> $.

Примеры линейных отображений

Пример 1. Рассмотрим линейное пространство полиномов степени не выше $ n_<> $:

$$ \mathbb P_n=\ \, ; $$ в это же множество включаем и тождественно нулевой полином (для которого степень не определяется). Операция нахождения частного и операция нахождения остатка от деления полинома $ p(x)_<> $ на заданный фиксированный полином $ g(x) \in \mathbb R[x], g(x) \not\equiv 0 $ являются линейными отображениями пространства $ \mathbb P_ $: если

$$ p_1(x)\equiv q_1(x)g(x)+r_1(x),\ p_2(x)\equiv q_2(x)g(x)+r_2(x) $$ при $ \deg r_j(x) ☟ AФФИННОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ.

Пример 6. Предыдущим примерам можно дать и геометрическую интерпретацию. Так, линейное отображение $ \mathbb R^3 \longmapsto \mathbb R^3 $:

$$\left(\begin x \\ y \\ z \end \right) \longmapsto \left(\begin x \\ y \\ 0 \end \right) $$ задает ортогональную проекцию вектора $ X=(x,y,z) $ на плоcкость $ z=0 $. Можно рассматривать его и как отображение $ \mathbb R^ <3>\longmapsto \mathbb R^2 $. Проецирование же на произвольное подпространство может быть задано с помощью матрицы. Так, например, отображение $$\left(\begin x \\ y \\ z \end \right) \longmapsto \frac<1> <3>\left(\begin 2 & -1 & -1 \\ -1& 2 & -1 \\ -1 & -1 & 2 \end \right) \left(\begin x \\ y \\ z \end \right) $$ задает ортогональную проекцию вектора $ X_<> $ на многообразие $ x+y+z=0 $.

Пример 7. В линейном пространстве $ \mathbb R^ $ матриц порядка $ m\times n_<> $ с вещественными элементами определим два отображения:

$$ X \mapsto A\cdot X \quad u \quad X \mapsto X \cdot B $$ умножения слева на фиксированную матрицу $ A_ <\ell\times m>$ и умножения справа на также фиксированную матрицу $ B_ $. Оба отображения являются линейными. Линейным также будет и отображение $$ X \mapsto A\cdot X \cdot B \ . $$ При дополнительных условиях $ m=n,\ell=k $ линейным будет и отображение $$ X \mapsto A\cdot X + X \cdot B \ . $$ Оно отображает множество квадратных матриц порядка $ n_<> $ во множество квадратных матриц порядка $ k_<> $.

Пример 8. В пространстве полиномов с вещественными коэффициентами от $ m_<> $ переменных $ x_1,x_2,\dots,x_ $ степени не выше $ n_<> $ рассмотрим отображение

$$ f(x_1,x_2,\dots,x_m) \mapsto \operatorname (f)= \left(\frac<\partial f><\partial x_1>, \frac<\partial f><\partial x_2>, \dots, \frac<\partial f> <\partial x_m>\right) \ . $$ Здесь вектор $ \operatorname (f) $ называется градиентом функции $ f_<> $. Это отображение будет линейным. Для его записи используют следующий формализм. Вводят в рассмотрение специальный вектор, называемый набла 2) $$ \nabla = \left(\frac<\partial ><\partial x_1>, \frac<\partial ><\partial x_2>, \dots, \frac<\partial > <\partial x_m>\right) \ . $$ Умножение этого вектора на функцию $ f_<> $ имеет результатом именно градиент: $$ \nabla \cdot f = \operatorname (f) \ . $$ Умножение же этого вектора по правилу скалярного произведения на вектор $ F= (f_1,f_2,\dots,f_m) $, состоящий из $ m_<> $ полиномов, порождает отображение этого вектора в полином: $$ \operatorname

(F) = \langle \nabla, F \rangle =\frac<\partial f_1 ><\partial x_1>+ \frac<\partial f_2 ><\partial x_2>+ \dots+ \frac<\partial f_m > <\partial x_m>\ ; $$ он называется дивергенцией вектора $ F_<> $. Это отображение $$ F \mapsto \operatorname

(F) $$ также будет линейным.

$$ f_j=a_x_1+\dots+a_x_m \quad npu \quad j\in\ <1,\dots,m\>$$ получим связь $ \operatorname

(F) $ с одним объектом матричного анализа. Каким именно?

Является ли линейным отображение

$$ X \longmapsto \operatorname (X) \ , $$ определенное в пространстве квадратных матриц порядка $ n_<> $? Здесь $ \operatorname (X) $ — след матрицы $ X_<> $.

Про линейное отображение $ \mathcal A $ пространства $ \mathbb R^<3>_<> $ в пространство $ \mathbb P_3^<> $ известно, что

$$ \mathcal A(1,0,1)=1+3\,x+x^3,\ \mathcal A(1,-1,0)=-1+x-x^2 \ . $$ Найти $ \mathcal A(-1,2,1) $.

Свойства линейных отображений

В настоящем пункте $ \mathbb O_<> $ означает нулевой вектор пространства $ \mathbb V_<> $, а $ \mathbb O’ $ — нулевой вектор пространства $ \mathbb W_<> $.

Два линейных отображения $ \mathcal A $ и $ \mathcal B $ из $ \mathbb V_<> $ в $ \mathbb W_<> $ называются равными если $ \mathcal A(X)=\mathcal B(X) $ для любого $ X\in \mathbb V $. Нулевое отображение определяется условием $$<\mathcal O>(X)=\mathbb O’ \quad npu \quad \forall \ X\in \mathbb V \ .$$

Теорема 1. Для любого линейного отображения $ \mathcal A(X) $:

а) $ \mathcal A(\mathbb O)=\mathbb O’ $;

в) если система $ \ < \mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_k) \>$ линейно независима, то и система $ \ $ линейно независима.

Теорема 2. Линейное отображение отображает произвольное линейное многообразие пространства $ \mathbb V_<> $ в линейное же многообразие пространства $ \mathbb W_<> $.

Доказательство. Если $$ \mathbb M = X_0+\mathcal L(X_1,\dots,X_k) $$ $$ =\ , $$ то свойство линейности отображения $ \mathcal A_<> $ дает: $$ \mathcal A( \mathbb M) =\ <\mathcal A(X_0)\boxplus \alpha_1\mathcal A(X_1) \boxplus \dots \boxplus \alpha_k\mathcal A(X_k) \mid (\alpha_1,\dots,\alpha_k)\in \mathbb R^k \>= $$ $$ =\mathcal A(X_0) \boxplus \mathcal L(\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_k)) \ . $$ Заметим, что в соответствии с теоремой 1, можно утверждать, что линейное отображение не увеличивает размерности отображаемого многообразия: $ \dim \mathcal A( \mathbb M) \le \dim \mathbb M $. ♦

Линейное отображение отображает произвольную прямую пространства $ \mathbb V_<> $ в прямую или точку пространства $ \mathbb W $.

Доказать, что линейное отображение отображает параллельные многообразия пространства $ \mathbb V_<> $ в параллельные же многообразия пространства $ \mathbb W_<> $.

Теорема 3. Пусть $ \ $ — произвольный базис $ \mathbb V_<> $, а $ Y_1,\dots,Y_n $ — произвольные векторы из $ \mathbb W_<> $. Существует единственное линейное отображение $ \mathcal A: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ такое, что$$ \mathcal A(X_1)=Y_1,\dots,\mathcal A(X_n)=Y_n \ .$$

Доказательство. Поскольку векторы $ X_1,\dots,X_ $ — базисные, то существует и единственно разложение любого $ X\in \mathbb V_<> $: $ X=x_1X_1+\cdots+x_nX_n $. Зададим отображение $ \mathcal A: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ формулой $$\mathcal A(X) = x_1Y_1\boxplus \dots \boxplus x_nY_n \ . $$ Легко проверить свойство его линейности. Кроме того: $$\mathcal A(X_j)=\mathcal A(0\cdot X_1+\dots+1\cdot X_j+\dots+0\cdot X_n)= $$ $$ =0\cdot Y_1 \boxplus \dots \boxplus 1\cdot Y_j \boxplus \dots \boxplus 0\cdot Y_n=Y_j,$$ т.е. оно удовлетворяет условиям теоремы.

Предположим теперь, что существует еще одно отображение $ \mathcal B(X) $, удовлетворяющее этим условиям: $ \mathcal B(X_j)=Y_j $. Тогда $$\mathcal A(X)=x_1Y_1 \boxplus \cdots \boxplus x_nY_n= $$ $$ =x_1\mathcal B(X_1) \boxplus \cdots \boxplus x_n\mathcal B(X_n)=\mathcal B(X),$$ и, на основании определения, $ \mathcal A(X)=\mathcal B(X) $. ♦

Отображение $ <\mathcal S>: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ называется суммой линейных отображений $ \mathcal A $ и $ \mathcal B $ если $ \mathcal S(X)=\mathcal A(X) \boxplus \mathcal B(X) $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $. Отображение $ \mathcal F:\mathbb V \longmapsto \mathbb W $ называется произведением линейного отображения $ \mathcal A_<> $ на число (скаляр) $ \lambda_<> \in \mathbb R $ если $ <\mathcal F>(X)=\lambda \cdot \mathcal A(X) $ для $ \forall X\in \mathbb V_<> $.

Пример. В пространстве полиномов $ \mathbb P_n $ операцию нахождения второй производной

$$ \frac:p(x) \longmapsto p»(x)$$ тоже можно рассматривать как линейное отображение $ \mathbb P_n \longmapsto \mathbb P_ $. Линейным также будет и отображение $$ \frac\times \Box + 2 \frac\times \Box: \ p(x) \ \longmapsto \ p»(x)+2 p'(x) \ .$$

Теорема 5. Множество $ <\mathcal H>om(\mathbb V,\mathbb W) $ всех линейных отображений из $ \mathbb V_<> $ в $ \mathbb W_<> $ образует линейное пространство и$$\dim <\mathcal H>om(\mathbb V,\mathbb W) = \dim \mathbb V \cdot \dim \mathbb W \ .$$

Ядро и образ линейного отображения

Для линейного отображения $ \mathcal A $ его ядром 3) называется множество векторов из $ \mathbb V_<> $, отображающихся в $ \mathbb O’ \in \mathbb W $: $$\mathcaler (\mathcal A)= \left\ \ ; $$ а его образом называется множество всех векторов из $ \mathbb W_<> $, для каждого из которых существует прообраз из $ \mathbb V_<> $: $$\mathcalm (\mathcal A)= \left\ \ .$$

Теорема 1. $ \mathcaler (\mathcal A) $ и $ \mathcalm(\mathcal A) $ являются линейными подпространствами соответствующих пространств.

Для линейного отображения $ \mathcal A_<> $ его дефектом называется размерность ядра, а его рангом — размерность образа: $$ \operatorname(\mathcal A )=\dim (\mathcaler (\mathcal A )) , \ \operatorname(\mathcal A )= \dim (\mathcalm (\mathcal A )) \ . $$ Отображение называется невырожденным если $ \operatorname(\mathcal A )=0 $.

Теорема 2. Линейное отображение $ \mathcal A $ невырождено тогда и только тогда, когда у каждого образа существует единственный прообраз.

Доказательство. Необходимость. Если $ \mathcal A $ невырождено, то $ \mathcaler (\mathcal A )=\ <\mathbb O\>$, т.е. единственным вектором из $ \mathbb V_<> $, отображающимся в $ \mathbb O’ \in \mathbb W $ должен быть $ \mathbb O_<> $. Если предположить неединственность прообраза для какого-то $ Y\in \mathbb W $: $ Y=\mathcal A (X_1)=\mathcal A (X_2) $ при $ X_1\ne X_2 $, то $$\mathbb O’=\mathcal A (X_1)-\mathcal A (X_2)=\mathcal A (X_1-X_2)$$ и получаем противоречие с единственностью прообраза у $ \mathbb O’ $.

Достаточность. Пусть $ \mathcal A (X_1)\ne \mathcal A (X_2) $ для любых $ X_1\ne X_2 $. Если бы $ \mathcaler (\mathcal A ) $ имело ненулевую размерность, то существовал бы $ X\ne \mathbb O $ такой, что $ \mathcal A (X)=\mathbb O’ $, что противоречило бы предыдущей фразе: $ \mathcal A (X)= \mathcal A (\mathbb O) $. ♦

Теорема 3. Если $ \\> $ — произвольный базис $ \mathbb V_<> $, то $ \mathcalm (\mathcal A) $ совпадает с линейной оболочкой образов этих векторов$$ \mathcalm (\mathcal A) =<\mathcal L>\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) \right) \ .$$

Доказательство. Действительно, любой вектор $ Y \in \mathcalm (\mathcal A) $ является образом какого-то вектора $ X=x_1X_1+\cdots+x_nX_n $, тогда на основании линейности отображения: $$ Y=\mathcal A (X)=x_1\mathcal A (X_1) \boxplus \cdots \boxplus x_n \mathcal A (X_n) \in <\mathcal L>\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A(X_n) \right) \ .$$ Таким образом $$\mathcalm (\mathcal A) \subset <\mathcal L>\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) \right) \ .$$ Обратно, поскольку векторы $ \mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) $ принадлежат $ \mathcalm (\mathcal A) $, то по теореме 1 и любая линейная комбинация этих векторов должна принадлежать $ \mathcalm (\mathcal A) $: $$<\mathcal L>\left(\mathcal A (X_1),\dots, \mathcal A (X_n) \right) \subset \mathcalm (\mathcal A) \ .$$ Из двух взаимных включений множеств следует их равенство. ♦

Пример. Найти ядро и образ отображения $ \mathbb R^3 \longmapsto \mathbb R^4 $

$$ \mathcal A \left(\begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right)= \left(\begin x_3 \\ 0 \\x_1+x_2+x_3 \\ x_1+x_2-x_3 \end \right) \ . $$

Решение. Для определения $ \mathcaler (\mathcal A) $ найдем фундаментальную систему решений системы уравнений $$\left\< \begin x_3 &=&0 \\ 0 &=&0 \\ x_1+x_2+x_3 &=&0 \\ x_1+x_2-x_3 &=&0 \end \right. \quad \Longrightarrow X_1= \left(\begin -1 \\ 1 \\0 \end \right) $$ Имеем $ \operatorname(\mathcal A )=1 $ и $ \mathcaler (\mathcal A)= \mathcal L (X_1) $.

Теперь для нахождения $ \mathcalm (\mathcal A) $ воспользуемся теоремой 3: базис следует искать среди векторов $$Y_1=\mathcal A \left(\begin 1 \\ 0 \\0 \end \right)= \left(\begin 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end \right), \ Y_2=\mathcal A \left(\begin 0 \\ 1 \\0 \end \right)= \left(\begin 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end \right), $$ $$ Y_3=\mathcal A \left(\begin 0 \\ 0 \\1 \end \right)= \left(\begin 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end \right) \ . $$ Имеем: $ \operatorname(\mathcal A )=2 $ и $ \mathcalm (\mathcal A) = \mathcal L (Y_1,Y_3) $. ♦

Пример. Найти ядро и образ отображения пространства полиномов $ \mathbb P_3 $ в $ \mathbb P_2 $, задаваемого формулой:

Решение. Для начала проверим, что это отображение именно $ \mathbb P_3 \mapsto \mathbb P_2 $, т.е. при таком отображении происходит понижение степени полинома, по крайней мере на $ 1_<> $. И действительно, если $ p(x)=a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3 $, то $$ x^2 p^ <\prime \prime>(x) + p^ <\prime>(x) — 6 p(x) \equiv $$ $$ \equiv (-4\,a_1+3\,a_0)x^2+(2\,a_1-6\,a_2)x+(a_2-6\,a_3) \ . $$ Теперь понятно, что $ \mathcalm (\mathcal A) \subset \mathbb P_2 $, а, на самом деле, это включение может быть заменено на равенство. Действительно, в соответствии с теоремой 2, имеем: $$ \mathcalm (\mathcal A)= <\mathcal L>\left(\mathcal A (1),\mathcal A (x),\mathcal A (x^2),\mathcal A (x^3) \right)= $$ $$ = <\mathcal L>\left(-6,\,-6\,x+1 ,\, -4\,x^2+2\,x ,\, 3\,x^2 \right) = \mathbb P_2 $$ поскольку три из четырех получившихся полиномов линейно независимы.

Теперь найдем $ \mathcaler (\mathcal A) $, или, в альтернативной формулировке, подмножество решений дифференциального уравнения $$ x^2 p^ <\prime \prime>(x) + p^ <\prime>(x) — 6 p(x)=0 $$ во множестве $ \mathbb P_3 $ (полиномов степени не выше третьей). Воспользуемся уже выведенной выше формулой для образа произвольного полинома $ p(x) \in \mathbb P_3 $. Этот образ будет тождественно равным нулю полиномом при выполнении условий $$ -4\,a_1+3\,a_0=0,\ 2\,a_1-6\,a_2=0,\ a_2-6\,a_3=0 \ . $$ Решаем эту систему: $$ a_0=\frac<4> <3>a_1,\ a_2=\frac<1> <3>a_1,\ a_3=\frac<1> <18>a_1 \ . $$ Таким образом, $$ \mathcaler (\mathcal A) = \left\ < \lambda (24\,x^3+18\,x^2+6\,x+1) \mid \lambda \in \mathbb R \right\>\ . $$ ♦

Теорема 5. Имеет место равенство:

$$ \dim \mathbb V=\dim \left( \mathcaler (\mathcal A) \right) + \dim \left( \mathcalm (\mathcal A) \right) = \operatorname(\mathcal A )+ \operatorname(\mathcal A ) \ .$$

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема 6. Пусть $ \mathbb V_1 $ — линейное подпространство $ \mathbb V_<> $, а $ \mathbb W_1 $ — линейное подпространство $ \mathbb W $, причем

$$ \dim \mathbb V_1 + \dim \mathbb W_1 =\dim \mathbb V \ . $$ Тогда существует линейное отображение $ \mathcal A : \mathbb V \longmapsto \mathbb W $ такое, что $$ \mathcaler (\mathcal A ) =\mathbb V_1 , \quad \mathcalm (\mathcal A )=\mathbb W_1 \ . $$

Определенные в настоящем пункте множества $ \mathcaler (\mathcal A) $ и $ \mathcalm(\mathcal A) $ позволяют полностью решить и следующую задачу:

Задача. Установить множество всех прообразов вектора $ Y \ne \mathbb O^ <\prime>$ при линейном отображении $ \mathcal A_<> $ .

Теорема 7. Если $ Y \not\in \mathcalm(\mathcal A) $, то у вектора $ Y \in \mathbb W $ не существует прообраза в $ \mathbb V_<> $. Если $ X_ <0>\in \mathbb V $ — какой-то из прообразов вектора $ Y_<> $, то все множество прообразов этого вектора является линейным многообразием в $ \mathbb V_<> $, а именно: $$ X_0 + \mathcaler (\mathcal A) \ . $$

Матрица линейного отображения

Рассмотрим линейное отображение $ \mathcal A: \mathbb V \longmapsto \mathbb W $, и пусть $ \ $ — базис $ \mathbb V_<> $, а $ \ $ — базис $ \mathbb W_<> $. Найдем координаты векторов $ \mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_n) $ в базисе $ \ $: $$ \left\< \begin \mathcal A(X_1)&=& <\color\alpha >_<11>Y_1 \boxplus <\color\alpha >_<21>Y_2 \boxplus \dots \boxplus <\color\alpha >_Y_m, \\ \mathcal A(X_2)&=& <\color\alpha >_<12>Y_1 \boxplus <\color\alpha >_<22>Y_2 \boxplus \dots \boxplus <\color\alpha >_Y_m, \\ \dots & & \dots, \\ \mathcal A(X_n)&=&\alpha_<1n>Y_1 \boxplus \alpha_<2n>Y_2 \boxplus \dots \boxplus \alpha_Y_m. \end \right. $$ Матрица $$ <\mathbf A>= \left(\begin <\color\alpha > _ <11>& <\color\alpha >_<12>& \dots & \alpha_ <1n>\\ <\color\alpha > _ <21>& <\color\alpha >_<22>& \dots & \alpha_ <2n>\\ \vdots & & & \vdots \\ <\color\alpha > _ & <\color\alpha >_& \dots & \alpha_ \end \right)_, $$ по столбцам которой стоят координаты образов базисных векторов, называется матрицей линейного отображения $ \mathcal A_<> $ в выбранных базисах.

Теорема 1. Координаты произвольного вектора

$ X=x_1X_1+\dots+x_nX_n $ и его образа $ \mathcal A (X)=y_1Y_1 \boxplus \dots \boxplus y_mY_m $ связаны формулой: $$ \left(\begin y_1 \\ \vdots \\ y_m \end \right) = <\mathbf A>\left(\begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right) \ . $$

Доказательство. С помощью приведенных выше формул для $ \mathcal A (X_1), \dots, \mathcal A (X_n) $ получаем: $$ \begin \mathcal A (X)&=&\mathcal A (x_1X_1+\dots+x_nX_n)=x_1\mathcal A (X_1) \boxplus \dots \boxplus x_n\mathcal A (X_n)= \\ &=&x_1 (\alpha_<11>Y_1 \boxplus \dots \boxplus \alpha_Y_m) \boxplus \dots \boxplus x_n(\alpha_<1n>Y_1 \boxplus \dots \boxplus \alpha_Y_m)= \\ &=&\underbrace <(x_1\alpha_<11>+\dots+x_n\alpha_<1n>)>_Y_1 \boxplus \dots \boxplus \underbrace<(x_1\alpha_+\dots+x_n\alpha_)>_Y_m, \end $$ откуда и следует утверждение теоремы. ♦

Пример. Найти матрицу линейного отображения

Решение. $$ \mathcal A(\mathfrak e_1)= \left[ \begin 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end \right]=0\cdot \mathfrak E_<_1>+0\cdot \mathfrak E_<_2>+1\cdot \mathfrak E_<_3>+1\cdot \mathfrak E_ <_4>;\quad \mathcal A(\mathfrak e_2)= \left[ \begin 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end \right]=0\cdot \mathfrak E_<_1>+0\cdot \mathfrak E_<_2>+1\cdot \mathfrak E_<_3>+1\cdot \mathfrak E_ <_4>; $$ $$ \mathcal A(\mathfrak e_3)= \left[ \begin 1 \\ 0 \\ 1 \\ -1 \end \right]=1\cdot \mathfrak E_<_1>+0\cdot \mathfrak E_<_2>+1\cdot \mathfrak E_<_3>-1\cdot \mathfrak E_ <_4>. $$ Матрица отображения $ \mathcal A_<> $ в выбранных базисах: $$ \mathbf A= \left(\begin 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1& 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end \right) $$ совпадает с матрицей коэффициентов при переменных $ x_1,x_2,x_3 $ в выражениях координат вектора $ \mathcal A(X) $. ♦

Пример. Найти матрицу линейного отображения пространства полиномов $ \mathbb P_3 $ в $ \mathbb P_2 $, задаваемого формулой:

$$ \mathcal A \left(p(x)\right) = x^2 p^ <\prime \prime>(x) + p^ <\prime>(x) — 6 p(x) \ . $$ Базисом пространства $ \mathbb P_3 $ выбран $ \ <1,x,x^2,x^3\>$, а базис пространства $ \mathbb P_2 $ состоит из полиномов Лежандра $$ \<2>(3\,x^2-1) \> \ .$$

Решение. В предыдущем ПУНКТЕ уже были получены выражения: $$ \mathcal A(1)=-6,\ \mathcal A(x)=-6\,x+1,\ \mathcal A(x^2)=-4\,x^2+2\,x ,\ \mathcal A(x^3)=3\,x^2 \ .$$ Если бы базис пространства $ \mathbb P_2 $ составляли полиномы, входящие в базис исходного пространства, т.е. $ \ <1,x,x^2\>$, то матрица линейного отображения построилась бы достаточно просто: $$ \mathbf B= \left( \begin -6 & 1 & 0 & 0 \\ 0 &-6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -4 & 3 \\ \end \right) \ . $$ Однако базис пространства $ \mathbb P_2 $ отличается от $ \ <1,x,x^2\>$ в последнем полиноме: $ P_2(x) \not\equiv x^2 $. Координаты $ \mathcal A(1) $ и $ \mathcal A(x) $ остаются прежними, а вот $ \mathcal A(x^2) $ и $ \mathcal A(x^3) $ приходится переписывать под базис из полиномов Лежандра: $$ -4\,x^2+2\,x \equiv a_<13>\cdot 1 + a_<23>\cdot x + a_ <33>\cdot \left( \frac<1><2>(3\,x^2-1) \right) \ . $$ Откуда получаем: $ a_<13>=-4/3,\ a_<23>=2,\ a_<33>=-8/3 $. Аналогично $$ 3\,x^2\equiv P_0(x)+2\,P_2(x) $$ и, следовательно, матрица линейного отображения: $$ \mathbf A= \left( \begin -6 & 1 & -4/3 & 1 \\ 0 &-6 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -8/3 & 2 \\ \end \right) \ . $$ ♦

Теорема 2. Существует изоморфизм между линейным пространством $ <\mathcal H>om(\mathbb V,\mathbb W) $ (линейных отображений из $ \mathbb V_<> $ в $ \mathbb W_<> $) и линейным пространством матриц $ \mathbb R^ $.

Теорема 3. Если $ A_<> $ — матрица линейного отображения $ \mathcal A_<> $ в каких-то выбранных базисах пространств $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $, то

$$\operatorname (\mathcal A)=\operatorname( A ),\ \operatorname (\mathcal A)=n-\operatorname( A ) \ .$$

Ядро линейного отображения $$ Y=AX \quad \mbox < при >\quad X\in \mathbb R^n, Y\in \mathbb R^m, \quad A \in \mathbb R^ $$ часто называется ядром матрицы $ A_<> $ или нуль-пространством матрицы $ A_<> $ и также обозначается $ <\mathcal K>er (A) $. Наряду с определением ядра матрицы через свойства отображения $ AX $, можно дать ему и другую интерпретацию:

Теорема 4. Если в пространстве $ \mathbb R_<>^ $, рассматриваемом как пространство $ n_<> $-строк, ввести скалярное произведение формулой

$$ \langle X,Y \rangle=x_1y_1+x_2y_2+\dots+x_ny_n \quad npu \quad X=[x_1,x_2,\dots,x_n],\ Y=[y_1,y_2,\dots,y_n] , $$ то $ <\mathcal K>er (A) $ образует ортогональное дополнение линейной оболочки строк этой матрицы в пространстве $ \mathbb R_<>^ $: $$ <\mathcal K>er (A) \bot \mathcal L ( A^<[1]>, A^<[2]>,\dots, A^ <[m]>),\ <\mathcal K>er (A) \oplus \mathcal L ( A^<[1]>, A^<[2]>,\dots, A^ <[m]>) = \mathbb R_<>^ \ . $$

Дефектом матрицы 4) $ A_<> $ будем называть размерность ядра этой матрицы, или, что то же, число элементов фундаментальной системы решений системы линейных однородных уравнений $ AX=\mathbb O $. В соответствии с результатами, приведенными ☞ ЗДЕСЬ: $$ \operatorname(A) = n — \mathfrak r \ npu \ \mathfrak r = \operatorname(A) . $$

Вернемся теперь к общему случаю линейного пространства.

Задача. Как изменяется матрица линейного отображения $ \mathcal A_<> $ при изменении базисов?

Теорема 5. Пусть $ \<<\mathfrak X>_1,\dots,<\mathfrak X>_n \> $ — новый базис пространства $ \mathbb V_<> $, $ \< <\mathfrak Y>_1,\dots,<\mathfrak Y>_m \> $— новый базис $ \mathbb W_<> $, и в этих базисах линейное отображение $ \mathcal A $ имеет матрицу $ <\mathbf B>$. Если $ C_<> $ — матрица перехода от старого базиса к новому в пространстве $ \mathbb V_<> $, а $ D_<> $ — матрица перехода от старого базиса к новому в пространстве $ \mathbb W_<> $, то

Доказательство. Действительно, координаты произвольного вектора $$ X=x_1X_1+\dots+x_nX_n = <\mathfrak x>_1 <\mathfrak X>_1+\dots+ <\mathfrak x>_n <\mathfrak X>_n \ ,$$ и его образа $$ Y =\mathcal A(X)=y_1Y_1 \boxplus \dots \boxplus y_mY_m= <\mathfrak y>_1<\mathfrak Y>_1 \boxplus \dots \boxplus <\mathfrak y>_m<\mathfrak Y>_m $$ связаны следующими соотношениями: с одной стороны, на основании теоремы 1, $$ \left(\begin y_1 \\ \vdots \\ y_m \end \right) = <\mathbf A>\left(\begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right), \qquad \left(\begin <\mathfrak y>_1 \\ \vdots \\ <\mathfrak y>_m \end \right) = <\mathbf B>\left(\begin <\mathfrak x>_1 \\ <\mathfrak x>_2 \\ \vdots \\ <\mathfrak x>_n \end \right) \ . $$ с другой стороны, на основании результатов пункта ☞ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ ПРИ ЗАМЕНЕ БАЗИСА, $$ \left(\begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right)=C \left(\begin <\mathfrak x>_1 \\ <\mathfrak x>_2 \\ \vdots \\ <\mathfrak x>_n \end \right), \qquad \left(\begin y_1 \\ \vdots \\ y_m \end \right)=D \left(\begin <\mathfrak y>_1 \\ \vdots \\ <\mathfrak y>_m \end \right). $$ Получаем цепочку равенств: $$ <\mathbf B>\left(\begin <\mathfrak x>_1 \\ <\mathfrak x>_2 \\ \vdots \\ <\mathfrak x>_n \end \right)= \left(\begin <\mathfrak y>_1 \\ \vdots \\ <\mathfrak y>_m \end \right) =D^<-1>\left(\begin y_1 \\ \vdots \\ y_m \end \right)=D^ <-1><\mathbf A>\left(\begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right)=D^ <-1> <\mathbf A>C \left(\begin <\mathfrak x>_1 \\ <\mathfrak x>_2 \\ \vdots \\ <\mathfrak x>_n \end \right). $$ Поскольку равенство справедливо для любого столбца координат, то оно справедливо и для столбцов $$ \left(\begin 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end \right) \ , \ \left(\begin 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end \right) \ ,\dots, \ \left(\begin 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end \right) \ . $$ Объединяя полученные $ n_<> $ равенств в одно матричное, получаем $ <\mathbf B>E = D^ <-1> <\mathbf A>C E $, где $ E_<> $ — единичная матрица порядка $ n_<> $. Отсюда и следует утверждение теоремы. ♦

Канонический вид матрицы линейного отображения

Задача. Подобрать базисы пространств $ \mathbb V_<> $ и $ \mathbb W_<> $ так, чтобы матрица заданного линейного отображения $ \mathcal A $ имела наиболее простой вид.

Найдем относительный базис $ \mathbb V_<> $ над $ \mathcaler (\mathcal A) $, т.е. базис $ \mathcaler (\mathcal A) $ дополним до базиса $ \mathbb V_<> $: $$ \>\> \gets \ \mbox < относительный базис >\ \mathbb V \ \mbox < над >\ \mathcaler (\mathcal A) $$ $$ \+1>,\dots,X_ \> \gets \ \mbox < базис >\ \mathcaler (\mathcal A) $$ Было доказано (см. ☞ теорему 4 ), что $ \<\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_<<\mathfrak r>>) \> \subset \mathbb W $ является базисом $ \mathcalm (\mathcal A) $. Составим базис $ \mathbb W_<> $ ее дополнением: $$ \<\mathcal A(X_1),\dots,\mathcal A(X_<<\mathfrak r>>)\> \gets \ \mbox < базис >\ \mathcalm (\mathcal A) $$ $$ \< Y_<<\mathfrak r>+1>,\dots,Y_\> \gets \ \mbox < относительный базис >\ \mathbb W \ \mbox < над >\ \mathcalm (\mathcal A) $$

Теорема. В выбранных базисах матрица линейного отображения $ \mathcal A $ имеет следующий канонический вид:

Доказательство. Разложим образы базисных векторов $ \ $ по базису пространства $ \mathbb W $: $$ \begin \mathcal A(X_1) & = 1\cdot \mathcal A(X_1) & \boxplus 0 \cdot \mathcal A(X_2) & \boxplus \dots & \boxplus 0\cdot \mathcal A(X_<\mathfrak r>)& \boxplus 0\cdot Y_<<\mathfrak r>+1>&\boxplus\dots &\boxplus 0\cdot Y_m, \\ \mathcal A(X_2) & = 0\cdot \mathcal A(X_1) & \boxplus 1 \cdot \mathcal A(X_2) & \boxplus \dots & \boxplus 0\cdot \mathcal A(X_<\mathfrak r>)& \boxplus 0\cdot Y_<<\mathfrak r>+1>&\boxplus \dots & \boxplus 0\cdot Y_m, \\ \dots & & & \dots \\ \mathcal A(X_<\mathfrak r>) & = 0\cdot \mathcal A(X_1) & \boxplus 0 \cdot \mathcal A(X_2) & \boxplus \dots & \boxplus 1\cdot \mathcal A(X_<\mathfrak r>)& \boxplus 0\cdot Y_<<\mathfrak r>+1>&\boxplus \dots & \boxplus 0\cdot Y_m, \end $$ а $ \mathcal A(X_<<\mathfrak r>+1>)=\mathbb O^<\prime>,\dots, \mathcal A(X_)=\mathbb O^ <\prime>$ по определению $ \mathcaler (\mathcal A) $. ♦

Матричный формализм

Настоящий пункт может быть пропущен при первоначальном чтении.

В частном случае отображения $ \mathbb R^ $ в $ \mathbb R^ $, задаваемого матрицей в стандартных базисах пространств, результат последнего пункта можно переформулировать в следующем виде.

Теорема. Любую матрицу $ A_ $ ранга $ \mathfrak r > 0 $ можно представить в виде произведения

$$ A=D\cdot A_d \cdot \tilde C $$ при $$ A_d =\left( \begin 1 & & & & \\ &1 & & &\mathbb O\\ & &\ddots& & \\ & & & 1 & \\ & & & & \\ &\mathbb O & & & \mathbb O \end \right) \begin \left. \begin \\ \\ \\ \\ \end \right\> \\ \\ \\ \end \begin \\ \\ <\mathfrak r>\\ \\ \\ \\ \\ \end = \left( \begin E_<<\mathfrak r>\times <\mathfrak r>> & \mathbb O_<<\mathfrak r>\times (n-<\mathfrak r>)> \\ \mathbb O_<(m-<\mathfrak r>)\times <\mathfrak r>> & \mathbb O_<(m-<\mathfrak r>)\times (n-<\mathfrak r>)> \end \right) $$ и при невырожденных матрицах $ D_ $ и $ \tilde C_ $.

Здесь матрица $ \tilde C $ соответствует матрице $ C^ <-1>$ из теоремы предыдущего пункта.

Пример. Представить матрицу

$$ A = \left( \begin 2 & — 1 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 4/3 \\ 2 & — 1 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 4/3 \end \right) $$ в виде произведения из теоремы.

Решение. Здесь $ \operatorname (A) =2 $, так что $$ A_d= \left(\begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end \right) \, . $$ Для нахождения матрицы $ C $ из теоремы предыдущего пункта ищем базис ядра отображения $ AX $, т.е. попросту говоря, фундаментальную систему решений системы уравнений $ AX=\mathbb O $. Можно взять $ X=[1,2,-2]^ <\top>$. Этот столбец будет третьим столбцом матрицы $ C $. Первые два — любые линейно независимые с этим столбцом. Например $$ C= \left(\begin 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -2 \end \right) \, . $$ Теперь умножаем столбцы $ C_ <[1]>$ и $ C_ <[2]>$ на матрицу $ A $ (слева). Полученные столбцы $$ D_<[1]>=\left[2,-2/3,2,-2/3\right]^<\top>, \ D_<[2]>=\left[-1,5/3,-1,5/3\right]^ <\top>$$ будут первыми столбцами искомой матрицы $ D $. Оставшиеся два выбираем произвольными линейно независимыми с уже найденными. $$ D= \left( \begin 2 & — 1 & 1 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ -2/3 & 5/3 & 0 & 0 \end \right), \quad \tilde C= C^ <-1>= \left( \begin — 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1/2 \end \right) \, . $$ ♦

Линейный оператор

Линейное отображение векторного пространства $ \mathbb V_<> $ в себя $$ \mathcal A : \mathbb V \longmapsto \mathbb V $$ называется линейным преобразованием $ \mathbb V_<> $ или линейным оператором на $ \mathbb V_<> $. Подробнее ☞ ЗДЕСЬ.

Аффинное отображение

Линейные отображения пространства $ \mathbb V_<> $ в пространство $ \mathbb W_<> $ составляют подмножество более широкого класса отображений.

Рассмотрим пример $ 5_<> $ ☞ ЗДЕСЬ. Отображение пространства $ \mathbb R^_<> $ в пространство $ \mathbb R^ $, задаваемое соотношением $$ \begin \tilde <\mathcal A>\left(\begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right) &= \left(\begin a_<11>x_1+a_<12>x_2 + \cdots + a_<1n>x_n +b_1 \\ \dots \\ a_x_1+a_x_2 + \cdots + a_x_n + b_m \end \right)= \\ &=\left(\begin a_ <11>& a_<12>& \dots & a_ <1n>\\ \dots & & & \dots \\ a_ & a_& \dots & a_ \end \right) \cdot \left(\begin x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end \right)+ \left(\begin b_1 \\ \vdots \\ b_m \end \right) \end $$ будет линейным отображением при условии, что $ b_1=0,\dots, b_m=0 $ и не будет линейным отображением при хотя бы одном из чисел $ b_1,\dots,b_ $ отличном от нуля. Тем не менее, по своему внешнему виду отображение из $ \mathbb R^_<> $ в $ \mathbb R^ $, задаваемое в матричном виде как $ A\, X + \mathcal B $ напоминает линейную функцию $ a\, x+b $, действующую в $ \mathbb R $. Кажется очень несправедливым лишать подобные отображения эпитета линейный, однако же именно это и произошло в линейной алгебре и геометрии.

Аффинным 5) отображением линейного векторного пространства $ \mathbb V_<> $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ +_<> $, в линейное векторное пространство $ \mathbb W_<> $ с операцией сложения векторов, обозначаемой $ \boxplus_<> $, называется функция вида $$ \mathcal A(X) \boxplus_<> \mathcal B \ npu \ X \in \mathbb V \ . $$ Здесь $ \mathcal A $ — линейное отображение $ \mathbb V_<> $ в $ \mathbb W_<> $, а $ \mathcal B $ — некоторый вектор пространства $ \mathbb W_<> $.

Основное геометрическое свойство аффинного отображения проявилось в ☞ ПУНКТЕ для отображения линейного.

Теорема. Аффинное отображение отображает произвольное линейное многообразие пространства $ \mathbb V_<> $ в линейное же многообразие пространства $ \mathbb W_<> $. Аффинное отображение отображает параллельные многообразия пространства $ \mathbb V_<> $ в параллельные же многообразия пространства $ \mathbb W_<> $.

Аффинное отображение отображает произвольную прямую пространства $ \mathbb V_<> $ в прямую или точку пространства $ \mathbb W $.

Почему рассматриваются только линейные отображения?

Почему во всех вузовских курсах алгебры не рассматриваются более сложные отображения, задаваемые, например, нелинейными полиномами: $$ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right) \mapsto \left( \begin x_1^4-\sqrt <2>x_1^2x_3 + 17\, x_2^5+2\, x_1 — 3\,x_3-14 \\ x_2^<18>— x_2^7+x_1x_2^4x_3^6-x_1-5\,x_2+2 \\ x_2x_3^3+x_3-6 \\ x_1-2\,x_2+6\,x_3-33 \end \right) \ ? $$ — Да потому что про них мало что понятно. Попытки обобщения на нелинейный случай практически любого понятия, введенного для линейного отображения, приводят к нерешенной задаче. Так, для обобщения понятия ядра придется решить не решенную на настоящий момент 16-ю проблему Гильберта; еще одна нерешенная проблема — проблема якобиана — связана с существованием обратного к полиномиальному отображению.

В одном частном случае нелинейные отображения сравнительно хорошо изучены — это отображения $ \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^2 $, заданные условиями: $$ \left( \begin x \\ y \end \right) \mapsto \left( \begin u(x,y) \\ v(x,y) \end \right) \quad npu \quad \frac<\partial u><\partial x>=\frac<\partial v><\partial y>, \ \frac<\partial u><\partial y>=-\frac<\partial v> <\partial x>\ ; $$ (функции $ u_<> $ и $ v_<> $ — не обязательно полиномы). Последние два условия называются условиями Коши-Римана (Даламбера-Эйлера); из них следует, что каждая из функций $ u_<> $ и $ v_<> $ является гармонической функцией, т.е. удовлетворяет тождествам: $$ \frac<\partial^2 u><\partial x^2>+\frac<\partial^2 u><\partial y^2>\equiv 0,\quad \frac<\partial^2 v><\partial x^2>+\frac<\partial^2 v> <\partial y^2>\equiv 0 \ . $$ Подобные отображения рассматриваются в разделе математики, известном как КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ или теория функций комплексной переменной (ТФКП).

Как же исследовать нелинейные отображения в общем случае? — Ну, по крайней мере, можно попытаться свести их исследование к линейному случаю. Рассмотрим пример отображения из начала пункта $$ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right) \mapsto \left( \begin x_1^4-\sqrt <2>x_1^2x_3 + 17\, x_2^5+2\, x_1 — 3\,x_3-14 \\ x_2^<18>— x_2^7+x_1x_2^4x_3^6-x_1-5\,x_2+2 \\ x_2x_3^3+x_3-6 \\ x_1-2\,x_2+6\,x_3-33 \end \right) = $$ $$ =\left( \begin -14 \\ 2 \\ -6 \\ -33 \end \right) + \left( \begin 2\, x_1 — 3\,x_3 \\ -x_1-5\,x_2 \\ x_3 \\ x_1-2\,x_2+6\,x_3 \end \right) + \dots $$ В разложении каждого элемента вектора отбросим все члены степени выше первой. В результате мы получили отображение, которое можно представить в матричном виде $$ \left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right) \mapsto \underbrace<\left( \begin -14 \\ 2 \\ -6 \\ -33 \end \right)>_<=\mathcal B>+ \underbrace<\left( \begin 2 & 0 & — 3 \\ -1 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 6 \end \right)>_ <=A>\left( \begin x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end \right) \ . $$ Это новое отображение является аффинным отображением пространства $ \mathbb R^ <3>$ в пространство $ \mathbb R^ <4>$. Таким образом, исходное, существенно нелинейное, отображение $ \mathcal F(X) $ фактически заменили аффинным $ \tilde<\mathcal A>(X)=AX+\mathcal B $. Насколько такая замена оправдана? — Ну, по крайней мере, в одной точке эти отображения совпадают: $ \mathcal F(\mathbb O) = \tilde <\mathcal A>(\mathbb O) $. Трудно ожидать, что они будут совпадать еще где-нибудь. Однако же, в малой окрестности точки $ \mathbb O $ значения этих двух функций оказываются близкими! $$ \begin \mathcal F \left( \begin 0.01 \\ -0.02\\ 0.07 \end \right)= \left( \begin -14.19000994 \\ 2.090000000 \\ -5.930006860 \\ -32.53000000 \end \right); & \mathcal F \left( \begin 0.05 \\ 0.12\\ -0.14 \end \right)= \left( \begin -13.47907577 \\ 1.349999642 \\ -6.140329280 \\ -34.03000000 \end \right); & \mathcal F \left( \begin -0.30 \\ 0.25\\ -0.24 \end \right)= \left( \begin -13.82475143 \\ 1.049938741 \\ -6.243456000 \\ -35.24000000 \end \right) ; \dots \\ \tilde <\mathcal A>\left( \begin 0.01 \\ -0.02\\ 0.07 \end \right)= \left( \begin -14.19000000 \\ 2.090000000 \\ -5.930000000 \\ -32.53000000 \end \right) ; & \tilde <\mathcal A>\left( \begin 0.05 \\ 0.12\\ -0.14 \end \right)= \left( \begin -13.48000000 \\ 1.350000000\\ -6.140000000 \\ -34.03000000 \end \right) & \tilde <\mathcal A>\left( \begin -0.30 \\ 0.25\\ -0.24 \end \right)= \left( \begin -13.88000000 \\ 1.050000000 \\ -6.240000000 \\ -35.24000000 \end \right); \dots \end $$ Иными словами, в некоторой достаточно малой окрестности 6) точки $ X_0=\mathbb O_<> $ нелинейное отображение аппроксимируется аффинным. А чем аппроксимировать за пределами этой окрестности, скажем, в окрестности вектора $ X_0=[1,-1,1]^\top $? — Для этого придется привлекать аппарат разложения нелинейных функций нескольких переменных в ряды Тейлора. К счастью, функции нашего примера являются полиномиальными, поэтому этот ряд не будет содержать бесконечного числа членов. Воспользовавшись материалом пункта ☞ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА, получим: $$ \mathcal F \left( \begin x_1 \\ x_2\\ x_3 \end \right) = \left( \begin -31-\sqrt <2>\\ 9 \\ -6 \\ -24 \end \right)+ \left( \begin (6-2\,\sqrt<2>)(x_1-1) &+ 85\, (x_2+1) & +(-\sqrt<2>-3)(x_3-1)\\ &-34\,(x_2+1) & +6\,(x_3-1) \\ &(x_2+1) & -2\,(x_3-1)\\ (x_1-1) &- 2\,(x_2+1) & +6\,(x_3-1) \end \right)+ \dots $$ Перепишем второе слагаемое в матричном виде: $$ = \left( \begin -31-\sqrt <2>\\ 9 \\ -6 \\ -24 \end \right)+ \left( \begin 6-2\,\sqrt <2>&85& -\sqrt<2>-3\\ 0 &-34 & 6 \\ 0&1& -2\\ 1 &- 2 & 6 \end \right)\left( \begin x_1-1 \\ x_2+1 \\ x_3-1 \end \right) + \dots $$ В общем же случае, если $$ \mathcal \left( \begin x_1 \\ x_2\\ \vdots \\ x_n \end \right)= \left( \begin f_1(x_1,\dots,x_n) \\ \vdots \\ f_m(x_1,\dots,x_n) \end \right), $$ то, в окрестности вектора $ X_0= (x_<01>,x_<02>,\dots,x_<0n>)^ <\top>$ его можно аппроксимировать аффинным отображением $$ \tilde <\mathcal A>\left( \begin y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end \right)= \underbrace<\left( \begin f_1(x_<01>,\dots,x_<0n>) \\ \vdots \\ f_m(x_<01>,\dots,x_<0n>) \end \right)>_<=\mathcal F(X_0)>+ \underbrace<\left( \begin <\partial f_1>/ <\partial x_1>& <\partial f_1>/ <\partial x_2>& \dots & <\partial f_1>/ <\partial x_n>\\ <\partial f_2>/ <\partial x_1>& <\partial f_2>/ <\partial x_2>& \dots & <\partial f_2>/ <\partial x_n>\\ \dots & && \dots \\ <\partial f_m>/ <\partial x_1>& <\partial f_m>/ <\partial x_2>& \dots & <\partial f_m>/ <\partial x_n>\end \right)>_<\mathbf J>\left( \begin y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end \right) \ , $$ которое рассматривается в окрестности $ Y_0=\mathbb O_<> $. Здесь все частные производные в матрице $ \mathbf J $ вычисляются в точке $ X_ <0>$. Матрица $$ \mathbf J = \left[ \frac<\partial f_j> <\partial x_k>\right]_ $$ называется матрицей Якоби системы из $ m_<> $ функций $ \,\dots,x_n)\> $ по переменным $ x_1,\dots,x_ $. Линейное отображение $$ \mathbf J \left( \begin y_1 \\ y_2\\ \vdots \\ y_n \end \right) $$ известно как дифференциал (первого порядка) функции $ \mathcal F(X) $ в точке $ X_0 $.

Подводя итог, можно сказать, что линейные (аффинные) отображения служат основой анализа отображений нелинейных — но этот анализ носит локальный характер: линеаризация адекватно приближает исходное нелинейное отображение лишь в малых областях значений аргументов.

Источник статьи: http://vmath.ru/vf4/mapping

30. Образ и ядро линейного оператора

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

Уральский федеральный университет,

Институт математики и компьютерных наук, кафедра алгебры и дискретной математики

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

Определенияобразаиядра

Пусть A линейный оператор в векторном пространстве V . Образом оператора A называется множество всех векторов Y V таких, что A( X ) = Y для некоторого X V . Ядром оператора A называется множество всех векторов X V таких, что A( X ) = 0. Образ оператора A обозначается через Im A, а его ядро через Ker A.

Образ линейного оператора это аналог известного из школьного курса понятия области изменения функции.

Каждое из множеств Im A и Ker A непусто. Для первого из них это очевидно, а для второго вытекает из того, что A(0) = 0 (см. § 29).

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

Образиядроподпространства

Замечание об образе и ядре

Пусть V векторное пространство над полем F , а A линейный оператор в V . Образ и ядро оператора A являются подпространствами в V . Если P = < P 1 , P 2 , . . . , P n >базис пространства V , то подпространство Im A порождается векторами A( P 1 ), A( P 2 ), . . . , A( P n ).

Доказательство. Пусть Y 1 , Y 2 Im A, а t F . Тогда существуют векторы X 1 , X 2 V такие, что A( X 1 ) = Y 1 и A( X 2 ) = Y 2 . Следовательно,

Y 1 + Y 2 = A( X 1 ) + A( X 2 ) = A( X 1 + X 2 ) и t Y 1 = tA( X 1 ) = A(t X 1 ).

Это означает, что X 1 + X 2 , t X 1 Im A, и потому Im A подпространство в V . Далее, пусть X 1 , X 2 Ker A, а t вновь произвольный скаляр. Тогда

A( X 1 + X 2 ) = A( X 1 ) + A( X 2 ) = 0 + 0 = 0 и A(t X 1 ) = tA( X 1 ) = t · 0 = 0.

Это означает, что X 1 + X 2 , t X 1 Ker A, и потому Ker A подпространство в V . Если X V и (x 1 , x 2 , . . . , x n ) координаты вектора X в базисе P, то

A( X ) = A(x 1 P 1 + x 2 P 2 + · · · x n P n ) = x 1 A( P 1 ) + x 2 A( P 2 ) + · · · + x n A n ( P n ).

Следовательно, Im A hA( P 1 ), A( P 2 ), . . . , A( P n )i. Обратное включение очевидно, поскольку A( P i ) Im A для всякого i = 1, 2, . . . , n. Следовательно, Im A = hA( P 1 ), A( P 2 ), . . . , A( P n )i.

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

Рангидефектлинейногооператора(1)

Замечание об образе и ядре позволяет говорить о размерности и базисе образа и ядра оператора A.

Размерность образа линейного оператора A называется рангом A и обозначается через r(A), а размерность ядра оператора A называется дефектом A и обозначается через d(A).

Замечание о ранге линейного оператора

Пусть V векторное пространство, A линейный оператор в V , а P базис пространства V . Тогда ранг оператора A равен рангу матрицы A P .

Доказательство. Из замечания об образе и ядре и определения матрицы линейного оператора в базисе вытекает, что пространство Im A порождается векторами-столбцами матрицы A P . Следовательно, ранг оператора равен рангу этой матрицы по столбцам.

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

Рангидефектлинейногооператора(2)

Теорема о ранге и дефекте

Пусть V векторное пространство, а A линейный оператор в V . Тогда сумма ранга и дефекта оператора A равна размерности пространства V .

Доказательство. Пусть X V . Ясно, что X Ker A тогда и только тогда, когда A P [ X ] P = [A( X )] P = O, где O нулевой столбец. Иными словами, пространство Ker A совпадает с пространством решений однородной системы линейных уравнений A P [ X ] P = O. Положим r = r(A P ). В силу теоремы о размерности пространства решений однородной системы (см. § 28) d(A) = dim Ker A = n − r. Учитывая замечание о ранге линейного оператор, получаем, что r(A) + d(A) = r + (n − r) = n.

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

Алгоритмнахождениябазисаиразмерностиобраза

Пусть A линейный оператор в пространстве V , а A матрица этого оператора в некотором базисе. Из замечания об образе и ядре и определения матрицы линейного оператора в базисе вытекает, что пространство Im A совпадает с пространством, порожденным векторами-столбцами матрицы A или, что то же самое, с пространством, порожденным векторами-строками матрицы A . Учитывая алгоритм нахождения базиса подпространства, изложенный в § 23, мы получаем следующий

Алгоритм нахождения базиса и размерности образа линейного оператора

Пусть V векторное пространство над полем F , P =

базис пространства V , а A матрица оператора A в базисе P. Чтобы

найти базис подпространства Im A, надо привести к ступенчатому виду

матрицу A . В ненулевых строках полученной матрицы будут записаны

координаты базисных векторов пространства Im A в базисе P, а число

этих строк равно размерности пространства Im A.

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

Онахождениибазисаиразмерностиядра

Из доказательства теоремы о ранге и дефекте вытекает, что базис ядра линейного оператора A это фундаментальная система решений однородной системы линейных уравнений, основная матрица которой есть матрица этого оператора в некотором базисе. Алгоритм нахождения фундаментальной системы решений однородной системы линейных уравнений указан в § 28. Поэтому нет необходимости в том, чтобы специально формулировать алгоритм нахождения базиса и размерности ядра линейного оператора.

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

АлгоритмЧуркина

Приведем еще один алгоритм нахождения базисов и размерностей образа и ядра оператора A. Его преимуществом является то, что он позволяет найти базисы образа и ядра одновременно. Кроме того, этот алгоритм будет существенно использоваться в дальнейшем при решении более сложных задач. Алгоритм найден сравнительно недавно (в 1991 г.), его автором является новосибирский математик В. А. Чуркин.

Пусть V векторное пространство над полем F , P = < P 1 , P 2 , . . . , P n >базис пространства V , а A матрица оператора A в базисе P. Запишем матрицу (E | A ) размера n × 2n. Элементарными преобразованиями всей этой матрицы (без использования перестановки столбцов) приведем ее правую часть к ступенчатому виду. Полученную матрицу обозначим через C = (C 1 | C 2 ), где C 2 ступенчатая матрица, полученная на месте матрицы A . Тогда:

(i) ненулевые строки матрицы C 2 содержат координаты базисных векторов пространства Im A в базисе P;

(ii) строки матрицы C 1 , продолжениями которых в матрице C 2 являются нулевые строки, содержат координаты базисных векторов пространства Ker A в базисе P.

§ 30. Образ и ядро линейного оператора

ОбоснованиеалгоритмаЧуркина(1)

Утверждение (i) немедленно вытекает из описанного ранее алгоритма нахождения базиса образа и того факта, что в процессе преобразований левая и правая части матрицы не ¾перемешиваются¿. Обоснуем утверждение (ii) . Для всякого i = 1, 2, . . . , m вектор P i имеет в базисе P координаты (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), где 1 стоит на i-м месте. Поэтому можно считать, что единичная матрица, стоящая в левой части матрицы B, есть матрица, в которой по строкам записаны координаты векторов

P 1 , P 2 , . . . , P n в базисе P. Вспоминая определение матрицы линейного оператора, получаем, что в правой части i-й строки матрицы B стоят координаты вектора A( P i ) в базисе P. Итак, i-ю строку матрицы B можно

записать в виде [ P i ] P A( P i ) P , т. е. в виде

где V = Pi . При элементарных преобразованиях матрицы мы будем получать строки вида

Источник статьи: http://studfile.net/preview/1869136/

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *