Меню

Даны три стороны треугольника как найти его углы



Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Источник статьи: http://matworld.ru/geometry/reshenie-treugolnikov.php

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Будем обозначать стороны треугольника через $a, b, c$, a противолежащие им углы через $alpha, beta, gamma$.

Решение треугольников

Решение треугольников состоит в нахождении неизвестных сторон и углов треугольника по известным его углам и сторонам.

Пример 1. В треугольнике даны сторона $alpha = 5$ и два угла $beta = 30°,; gamma = 45°$ . Найти третий угол и остальные две стороны.

Решение. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то третий угол $alpha$ находим: $$ alpha = 180° — beta — gamma = 180° — 30° — 45° = 105° $$ Зная сторону и все три угла, по теореме синусов находим две остальные стороны: $$ b = a bullet frac = 5 bullet frac>> approx 5 bullet frac<0,500> <0,966>approx 2,59 \ c = a bullet frac = 5 bullet frac>> approx 5 bullet frac<0,707> <0,966>approx 3,66 $$

Пример 2. В треугольнике даны две стороны а = 12, b = 8 и угол между ними $gamma = 60°$. Найти остальные два угла и третью сторону.

Решение. Третью сторону находим по теореме косинусов $$ c = sqrt = sqrt <144 + 64 - 2 bullet 12 bullet 8 bullet 0,500 >= sqrt <112>approx 10,6 $$ Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов находим косинус одного из неизвестных углов, например $cos alpha$ и сам угол $alpha$ и, значит, угол $beta$ : $$ cos alpha = frac <2bc>approx 0,189 \ text <откуда >alpha approx 79°,; \ beta = 180° — alpha — gamma approx 180° — 79° — 60° = 41° $$

Пример 3. В треугольнике даны две стороны a = 6, b = 8 и угол $alpha = 30°$. Найти остальные два угла и третью сторону.

Этому значению синуса соответствуют два угла: $beta _1 approx 42°text< и >beta _2 approx 138°$ .

Рассмотрим сначала угол $beta _1 = 42°$ . По нему находим третий угол $ gamma _1 = 180° — alpha — beta approx 108°$ и по теореме синусов третью сторону: $$ c = frac approx 6 bullet frac>> approx 6 bullet frac<0,951> <0,500>approx 11,4 $$ Аналогично по углу $ beta _2 approx 138°$ находим $gamma _2 approx 12°text< и >c_2 approx 2,49$ .

Примечание. Видим, что эта задача в отличие от предыдущих имеет два решения. При других числовых данных, например при $alpha geqslant 90°$ , задача может иметь лишь одно решение или вовсе не иметь.

Пример 4. Даны три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы.

Решение. Углы находятся по теореме косинусов: $$ cos alpha = frac <2bc>= frac<7> <8>= 0,875 $$ , откуда $alpha approx 29°$ .

Аналогично находится $cos beta = 0,688$ , откуда $beta approx 47°text< и >gamma approx 180° — 47° — 29° = 104°$ .

Источник статьи: http://wiki.eduvdom.com/subjects/geometry/%D1%80%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA%D0%BE%D0%B2

Как вычислить угол треугольника онлайн

Треугольник – это форма многоугольника, которая имеет три угла, образованных тремя сторонами. Каждая из трех точек, в которых пересекаются стороны треугольника, называется его вершиной и образует определенный угол. Стороны треугольника иногда еще называют линейными длинами, а углы – угловыми. Сторону, противоположную определенному углу, обозначают той же буквой, что характеризует угол как прилегающий. Стороны обозначаются латинскими буквами a, b, c, а углы – греческими α, β, γ. Зная определенные параметры треугольника, можно найти его стороны и углы. При этом можно использовать как линейные формулы, так и обращаться к различным теоремам, например, теореме синусов и косинусов.

Угол треугольника через три стороны

Для того, чтобы найти угол по трем сторонам, нужно вычислить косинус определенного угла. Согласно теореме косинусов, «квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов двух других длин его сторон, минус удвоенное произведение этих длин сторон на косинус угла между ними». Если взять за предмет вычисления угол β, соответственно, получаем формулу: a² = b² + c² — 2 · b · c · cos (β) . Из полученного равенства можно вычислить

где a, b, c — стороны треугольника.

Пример. Пусть a = 3, b = 7, c = 6. Cos (β) = (7² + 6² — 3²) : (2 · 7 · 6) = 19/21 . Зная косинус, нужно воспользоваться таблицей Брадиса и по ней найти угол. По таблице Брадиса, если Cos (β) = 19/21, то β = 58,4°.

Угол прямоугольного треугольника через две стороны

Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то можно сделать это через вычисление тангенса.

где a, b — катеты, c — гипотенуза.

Пример. В прямоугольном треугольнике есть два катета a = 12, b = 9 и гипотенуза c = 15. Если известны катеты и нужно найти один из острых углов, то можно сделать это через вычисление тангенса: tg(α) = a / b, то есть tg(α) = 12 / 9 . По таблице Брадиса, угол α = 53, 13°. Если известен катет и гипотенуза, угол вычисляется через синус sin(α) = a / c = 12 / 15 = 0,8 . В этом случае по таблице Брадиса для синусов и косинусов, значение угла – 36, 87°.

Острый угол прямоугольного треугольника через катет и площадь

Для того, чтобы вычислить размер острого угла, нужно образовать обратную формулу от площади прямоугольного треугольника, которая вычисляется через катет и острый угол. Выглядит она следующим образом: S = (a² * tg β) / 2. Из этих показателей известный площадь S и катет a. Отсюда формула для нахождения угла будет следующая:

где a — катет, S — площадь прямоугольного треугольника.

Пример. Пусть S = 34, a = 8. Получается следующее уравнение: tg(α) = a² / 2S = 8² + 2 * 34 = 132 . Таким образом выходит, что по таблице Брадиса, угол с таким тангенсом равен 43°.

Угол треугольника через высоту и катет

В некоторых прямоугольных треугольниках, в основании которых один острый угол, а второй 90°, один из катетов (вертикальная прямая, образующая прямой угол) называется также высотой и обозначается как h. Второй катет a остается со своим обычным названием.

Пример. Если высота h = 8, а катет a = 10, то угол α находится по формуле sin α = h / a = 8 / 10 = 0.8 то по таблице Брадиса составляет 53°

Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и основание

Равнобедренный треугольник ABC с основанием AC имеет биссектрису L (она же CK, делящая основание AC на два отрезка AK и KB). Также биссектриса L делит угол BCA (он же γ) пополам (каждый из этих половинок угла γ обозначается как x). То есть γ = 2х. Угол BAC (он же α) = BCA (он же γ), то есть α = γ. При этом биссектриса L (она же CK) образовала в равнобедренном треугольнике ABC новый равнобедренный треугольник AKC, в котором AK – это основание, а углы KAC и AKC равны между собой и равны значению угла γ. Учитывая то, что угол γ равен 2х (то есть двум половинкам угла), то для треугольника AKC, чтобы вычислить углы при основании, формула будет следующая:

где L — биссектриса, a — основание.

Пример. Пусть биссектриса L равна 15, основание а равно 45, подставив в формулу получим tg α = L / (a/2) = 15 / (45/2) = 33.69º

Угол при основании равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону

Допустим, что у равнобедренного треугольника ABC углы при основании A (α) и C (γ) равны. Также AB = BC. Биссектриса L берет начало из вершины А и пересекается с основанием АС, образуя точку пересечения K, поэтому биссектрису L также можно называть АK. L разделила угол А пополам и основание поделила на два отрезка: BK и KC. Образовался угол AKC = α (внешний угол для треугольника ABK). Согласно свойствам внешнего угла:

где L — биссектриса, b — боковая сторона.

Пример. Пусть биссектриса L равна 15, боковая сторона b равна 30, подставив в формулу получим sin α = L / b = 15/30 = 30º.

Угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через биссектрису и боковую сторону

В равнобедренном треугольнике угол ABC (он же β) – это вершина треугольника. Стороны AB и BC равны, и углы у основания BAC (α) и BCA (γ) тоже равны между собой. Биссектриса L берет начало из вершины B и пересекается с основанием AC в точке K. Биссектриса BK разделила угол β пополам. Кроме того, биссектриса разделила треугольник ABC на два прямоугольных треугольника ABK и CBK, так как углы BKA и BKC – прямые и оба по 90°. Так как треугольники ABK и CBK зеркально одинаковые, для определения угла β можно взять любой из них. В свою очередь биссектриса BK разделила угол β пополам, например, на два равных угла х. Оба треугольника, образовавшихся внутри равнобедренного из-за биссектрисы, прямоугольные, поэтому, чтобы вычислить угол β (он же 2х), нужно взять за правило вычисление угла через высоту (она в данном случая является также биссектрисой) и катет (это отрезок AK или KC, которые также равны между собой, так как биссектриса и основание равнобедренного треугольника также поделила пополам).

где L — биссектриса, b — боковая сторона.

Пример. В треугольнике BKC известна биссектриса L = 47 см и боковая сторона b = 64 см. Подставив значения в формулу получим: 2cos(β) = L / b = 47 / 64 = 85.49º

Острый угол между боковыми сторонами равнобедренного треугольника через площадь и боковую сторону

Формула площади равнобедренного треугольника S = 1/2 * bh , где b – это основание треугольника, а h – это медиана, которая разделила равнобедренный треугольника на два прямоугольных. Формула для нахождения угла между боковыми сторонами через площадь и боковую сторону будет следующая:

где b — боковая сторона равнобедренного треугольника, S — площадь.

Пример. Если площадь равна 48, а сторона 10, то угол между боковыми сторонами можно вычислить следующим образом: sin(α) = 2S / b² = 2 * 48 / 10² = 73.7º

Вне зависимости от условия задачи, известно, что сумма всех углов треугольника составляет 180°. Поэтому, элементарно вычислить один из углов можно, когда известны два других. Но для вычисления углов могут быть использованы и другие показатели. Например, для того, чтобы находить стороны и углы треугольников, в них можно проводить дополнительные меридианы, биссектрисы, чертить окружности и использовать эти фигуры как дополнительные вводные, через которые по формулам находятся неизвестные.

Углы очень удобно вычислять через синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы, после чего сопоставлять данные с таблицей Брадиса, в которой эти величины можно сконвертировать в градусы.

Источник статьи: http://tamali.net/calculator/2d/triangle/angle/

Решение треугольников

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

С нами работают 108 689 преподавателей из 185 областей знаний. Мы публикуем только качественные материалы

Предварительные сведения

Любой треугольник имеет 6 элементов: три стороны и три угла. Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$. Обозначим $AB=c, BC=a, AC=b$ (рис. 1).

Решить треугольник — значит найти все его шесть элементов по трем данным элементам, определяющим треугольник.

Примеры задач на решение треугольников

Из определения мы видим, что если в треугольнике даны три каких-либо элемента треугольника, то его можно разрешить, то есть найти остальные три элемента этого треугольника. Будем рассматривать решение треугольника на примерах задач.

Пусть нам даны две стороны $a и b$ и угол $C$. Найти сторону $c$ и углы $A и B$.

Найдем сначала третью сторону по теореме косинусов:

Используя вновь теорему косинусов, имеем:

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

[angle A+angle B+angle C=<180>^0] [angle B=<180>^0-angle A-angle C]

[angle A=arc cosleft(frac<2bc>right),angle B=<180>^0-angle A-angle C.]

Пусть нам дана одна сторона $a$ и два угла: $B$ и $C$. Найти стороны $b$ и $c$ и угол $A$.

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

[angle A+angle B+angle C=<180>^0] [angle A=<180>^0-angle B-angle C]

Ответ: $angle A=<180>^0-angle B-angle C$,

Пусть нам даны три стороны треугольника $a, b, c$. Найдем все углы треугольника.

Найдем сначала один из углов по теореме косинусов:

Используя вновь теорему косинусов, имеем:

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

[angle A+angle B+angle C=<180>^0] [angle B=<180>^0-angle A-angle C]

Ответ: $angle C=arccosleft(frac<2ab>right)$,

[angle A=arc cosleft(frac<2bc>right),angle B=<180>^0-angle A-angle C.]

Пусть нам даны два угла треугольника $A, B$ и сторона $b$. Найдем стороны этого треугольника $a, c$ и угол $C$.

По теореме о сумме углов треугольника, получаем:

[angle A+angle B+angle C=<180>^0] [angle C=<180>^0-angle B-angle A]

По теореме косинусов, имеем:

Ирина Алексеевна Антоненко

Эксперт по предмету «Математика»

С нами работают 108 689 преподавателей из 185 областей знаний. Мы публикуем только качественные материалы

Эксперты на Автор24 помогут сделать любую учебную работу!

Эксперты на Автор24 помогут сделать любую учебную работу!

Источник статьи: http://spravochnick.ru/matematika/sootnosheniya_mezhdu_storonami_i_uglami_treugolnika/reshenie_treugolnikov/

Решение треугольников

Решение треугольника – это процесс нахождения всех его шести элементов по неким трём из них, являющимся компонентами данного треугольника. Элементы треугольника – это три его стороны и три угла.

Решение треугольника возможно при помощи задач. Рассмотрим три из них. Будут использоваться следующие обозначения для сторон треугольника АВС: АВ = с, ВС = а, СА = b.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть даны следующие исходные данные: a, b, ∠C. Найти: с, ∠A, ∠B.

  1. При помощи теоремы косинусов находим с:

  1. Применяя теорему косинусов, получаем:

Нахождение угла А производится при помощи микрокалькулятора или с применением таблицы.

Решение треугольника по стороне и прилежащим к ней углам

  1. ∠A = 180° — ∠B — ∠C.
  2. Применяя теорему синусов, производим вычисление b и с:

Решение треугольника по трём сторонам

Дано: а, b и с. Найти: ∠A, ∠B и ∠C.

  1. По теореме косинусов получаем:

Угол А находим с помощью микрокалькулятора или по таблице.

  1. Аналогично находим угол В.
  2. ∠C = 180° — ∠A — ∠B.

Футбольный мяч установлен в точке А футбольного поля на расстояниях 23 м и 24 м от оснований В и С стоек ворот. Футболист наносит удар и мяч направляется в ворота. Необходимо найти угол α попадания мяча в ворота, принимая во внимание, что размер ширины ворот составляет 7 м.

Возьмём условный треугольник АВС с вершинами в точке А расположения мяча и точке В и С в основаниях стоек ворот. Согласно заданным параметрам с = АВ = 23 м, b = АС = 24 м и а = ВС= 7 м. При помощи этих данных можно решить треугольник АВС и вычислить угол α, равный углу А (см. задачу 3). Посредством теоремы косинусов вычисляем cos А:

Угол α определяем в соответствии с таблицей: α ≈ 16°57′.

Источник статьи: http://dzodzo.ru/geometrysub/reshenie-treugolnikov/

Калькулятор сторон и углов треугольника

Треугольник ΔABC,
a = BC, b = AC, c = AB — стороны треугольника,

A = CAB, B = ABC, C = BCA − углы, противолежащие сторонам a, b, c соответственно.

Как пользоваться онлайн-калькулятором. В форме укажите три значения: одну сторону и 2 дополнительных параметра (например, угол и сторону, два угла или две стороны). Заполните поле «Текст». Нажмите «Решить».

Решить треугольник

Калькулятор треугольника нужен, если требуется найти решение треугольников – длины сторон и величину углов треугольника.

Решить треугольник − найти все углы и стороны треугольника. Данный калькулятор предназначен для нахождения элементов треугольника.

Как решить треугольник

Здесь размещен онлайн-калькулятор, с помощью которого можно решить треугольник по трем, двум сторонам и углам, по теореме синусов и косинусов, то есть показывается, как находить углы в треугольнике.

Решение треугольников можно находить с помощью таблицы Брадиса. Здесь ответ вычисляется автоматически компьютерной программой онлайн, быстро и удобно.

Если нужны формулы и решения задач на теоремы косинусов и синусов с ответами, то можно найти подробное и точное решение, если использовать бесплатный калькулятор треугольника.

В решении подробно показывается, как найти третью сторону по двум сторонам и углу между ними или как определить неизвестные стороны треугольника, если известна одна сторона.

Примеры решений практических задач

1) решить треугольник по двум сторонам и противолежащему углу, т.е. углу между ними. Даны стороны а = 12 см, b = 8 см, угол=60°. Для того, чтобы решить задачу, требуется указать в онлайн-форме на данной странице условия задачи. В поле для стороны «a» указывается 12, в поле для стороны «b» ставится 8, в поле для углов «A» указывается 60. Нажать «Решить».

В ходе решения задачи получаем ответ:
сторона c = 13,8 см;
угол B = 35,2644° = 35°15’52» = 35°16′ = 0,1959π = 0,6155 rad;
угол C = 84,7356° = 84°44’8» = 84°44′ = 0,4708π = 1,4789 rad;
Периметр = 33,8 см;
Полупериметр = 16,9 см;
Площадь = 47,7984 см 2 ;
Высота ha = 7,9664 см;
Высота hb = 11,9496 см;
Высота hc = 6,9273 см;
Медиана ma = 9,5513 см;
Медиана mb = 12,2958 см;
Медиана mc = 7,5107 см;
Радиус окружности R, описанной около треугольника = 6,9291 см;
Радиус окружности r, вписанной в треугольник = 2,8283 см.
Таким образом, был найден угол треугольника по двум сторонам и углу.

2) как найти угол треугольника, зная его стороны или решите треугольник по трем сторонам. Даны три стороны a = 2 см, b = 3 см, c = 4 см. В поле онлайн-формы «a» ставим 2, в поле «b» указываем 3, в поле «c» ставим 4. Далее следует нажать «Решить».

Используя теорему косинусов, получаем
угол A = 28,955° = 28°57’18» = 28°57′ = 0,1609π = 0,5054 rad;
угол B = 46,5675° = 46°34’3» = 46°34′ = 0,2587π = 0,8128 rad;
угол C = 104,4775° = 104°28’39» = 104°29′ = 0,5804π = 1,8235 rad;
Периметр = 9 см;
Полупериметр = 4,5 см;
Площадь = 2,9046 см 2 ;
Высота ha = 2,9046 см;
Высота hb = 1,9364 см;
Высота hc = 1,4523 см;
Медиана ma = 3,3912 см;
Медиана mb = 2,7839 см;
Медиана mc = 1,5811 см;
Радиус окружности R, описанной около треугольника = 2,0657 см;
Радиус окружности r, вписанной в треугольник = 0,6455 см.

Таким образом, были найдены все углы треугольника.

3) решить треугольник по двум углам и стороне. В треугольнике ABC сторона a = 5 см, два угла B = 30°, C = 45°.
Ответ:
сторона b = 2,59 см;
сторона c = 3,66 см;
угол A = 105° = 0,5833π = 1,8326 rad;
Периметр = 11,25 см;
Полупериметр = 5,625 см;
Площадь = 4,5785 см 2 ;
Высота ha = 1,8314 см;
Высота hb = 3,5355 см;
Высота hc = 2,5019 см;
Медиана ma = 1,9488 см;
Медиана mb = 4,1857 см;
Медиана mc = 3,537 см;
Радиус окружности R, описанной около треугольника = 2,588 см;
Радиус окружности r, вписанной в треугольник = 0,814 см.

Треугольники

Треугольники бывают разными. Название треугольников зависит от длины его сторон и величины его углов.

Стороны треугольника

Равносторонний или правильный треугольник состоит из трех равных сторон и трех равных углов. Все три угла в равностороннем треугольнике равны 60 градусам.

Если в треугольнике две стороны имеют одинаковую длину, то это равнобедренный треугольник.
В равнобедренном треугольнике две равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона называется основанием треугольника.

Теоремы равнобедренных треугольников:
1) углы при основании равны,
2) если в треугольнике два угла равны, то это равнобедренный треугольник,
3) медиана, которая проведена к основанию, является биссектрисой и высотой.

Равные стороны в треугольниках обозначают одним, двумя или тремя штрихами или черточками, равные углы – одной, двумя или тремя дуговыми линиями.

Углы треугольника

Треугольники бывают остроугольными, тупоугольными и прямоугольными.

Треугольник является прямоугольным, если один из трех углов треугольника равен 90 градусам. Сторона, которая расположена напротив угла в 90 градусов, называется гипотенузой. Гипотенуза – самая большая сторона в прямоугольном треугольнике. Две другие стороны называются катетами.

Тупоугольный треугольник – треугольник, в котором один из углов больше 90 градусов.

Остроугольный треугольник – треугольник, в котором все три угла меньше 90 градусов.

Свойства треугольников

В треугольнике только один угол может быть больше 90 градусов.

В треугольнике сумма углов равна 180 градусам.

Внешний угол треугольника – смежный угол при этой вершине.
Варианты, как найти внешний угол при вершине:
а) суммировать два внутренних угла, не смежных с ним,
б) вычислить разность между 180 и внутренним углом этой вершины.

Если сложить любые две стороны треугольника, то сумма длин этих сторон всегда больше длины третьей стороны.

Радиус вписанной окружности

Окружность, вписанная в треугольник, – это круг, расположенный внутри треугольника.

Радиус этого круга (r) – отрезок, проведенный из центра вписанной окружности перпендикулярно к одной из сторон треугольника.

Центр вписанной окружности – точка пересечения двух биссектрис и равноудален от каждой стороны треугольника.

Для вычисления радиуса вписанной окружности используются площадь и периметр треугольника

Радиус описанной окружности

Окружность, описанная около треугольника, проходит через 3 вершины треугольника.

Для вычисления радиуса описанной окружности (R) используются площадь и длины всех сторон треугольника.

Источник статьи: http://www.petrovskov.ru/resheniya/treugolnik.html

Найти углы треугольника, если даны 3 стороны

Всем доброго вечера, надо написать программу которая будет находить все углы треугольника если даны 3 стороны.
Знаю что есть формулы за теоремой косинусов , только как это реализовать , буду очень благодарен.

Добавлено через 29 минут
помогите ПЛИЗ срочно.

Добавлено через 33 минуты
Если ввожу к примеру 1/2 то есть 0,5

Добавлено через 18 секунд
как найти сам угол

Найти стороны треугольника, зная его углы и радиус описанной окружности
2)Треугольник задан величинами своих углов и радиусом описанной окружности. Найти стороны.

Вычислить углы треугольника зная его стороны.
Задание написать прогу но вместо переменной использовать ссылку на неё.Вычислить углы треугольника.

Найти площадь равностороннего треугольника, если известна его стороны
1. Найти площадь равностороннего треугольника, если известна его стороны. 2. Написать программу.

Добавлено через 16 минут
Люди помогите плиз

Добавлено через 12 минут
Блин уже даже и мыслей нету как еще сделать, уже как только не пробивал.

atan2 даёт угол относительно центра координат, поэтому точки нужно смещать (например B2-A2). параметры функции (y, x)

Создать класс Triangle для представления треугольника. Поля данных должны включать углы и стороны.
Создать класс Triangle для представления треугольника. Поля данных должны включать углы и стороны.

Даны три стороны одного и три стороны другого треугольника. Я, чайник нужно в С++
Даны три стороны одного и три стороны другого треугольника. Эти треугольники равновеликие, т.е.

Для треугольника известны три стороны. Найти его площадь, если этот треугольник прямоугольный
Для треугольника известны три стороны. Найти его площадь, если этот треугольник прямоугольный. В.

С клавиатуры вводятся три числа, считая их сторонами треугольника найти углы этого треугольника
с клавиатуры вводятся три числа, считая их сторонами треугольника найти углы этого треугольника.

Источник статьи: http://www.cyberforum.ru/cpp-beginners/thread2116726.html

Даны три стороны треугольника как найти его углы

Г л а в а П. Решение косоугольных треугольников

Теорема. Разность двух сторон треугольника относится к их сумме, как тангенс полуразности противолежащих углов к тангенсу полусуммы этих углов:

(и две аналогичные формулы для прочих пар сторон а, с и b, с).

Доказательство. В силу теоремы синусов имеем:

Разделив почленно эти равенства, получим доказываемую формулу.

§8(42). Решение треугольника по двум его углам и стороне

Задача. Даны два угла треугольника и сторона, прилежащая к ним; вычислить другие стороны и угол.
Даны
В, С и а; требуется найти b, с и А.

Решение. Условие возможности построения треугольника по этим данным:
А + В 1 /0,9483 ≈ 1,055.

Вычисления выполнены по правилам приближённых вычислений. Значения синусов взяты из таблиц Брадиса; во всех промежуточных результатах сохраняются четыре значащие цифры (правило запасной цифры), а окончательный результат округлён до трёх значащих цифр.

Решение при помощи логарифмических таблиц. Имеем:

b = a sin B /sin A, lg b = lg a + lg sin В — lg sin A.

По таблицам Брадиса найдём b = 12,86. Однако в ответе следует оставить три значащие цифры, так как значение а дано с тремя значащими цифрами; поэтому b ≈ 12,9.

Сторона с вычисляется аналогично:

c = a sin C /sin A, lg c = lg a + lg sin C — lg sin A.

§9(43). Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Задача. Даны две стороны треугольника и угол между ними; вычислить третью сторону и два других угла.

Пусть, например, даны а, b и С, требуется вычислить А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц. Формула косинусов даёт выражение стороны с непосредственно через известные элементы:

с = / а 2 + b 2 — 2ab cos С

Для вычисления А можно также воспользоваться формулой косинусов:

Разность углов A — В можно вычислить, воспользовавшись теоремой тангенсов:

Углы А и В определяются из системы уравнений:

Сторону с можно вычислить по теореме синусов:

Пример. Дано: а ≈ 49,4; b ≈ 26,4; С ≈ 47°20′; найти А, В и с.

Решение при помощи натуральных таблиц. Имеем:

с 2 = а 2 + b 2 — 2ab cos С ≈ 49,4 2 + 26,4 2 — 2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20′

По таблицам квадратов найдём:

а 2 ≈ (49,4) 2 ≈ 2449; b 2 ≈ (26,4) 2 ≈ 697,0

2 • 49,4 • 26,4 • cos 47°20′ ≈ 2 • 49,4 • 2,64 • 0,6778 ≈ 1768.

Следовательно, с 2 ≈ 2440 + 697 — 1768 ≈ 1369. По таблицам квадратных корней
с ≈ 37,0. Далее

А ≈ arc cos (—0,191); угол А — тупой.

Находим дополнительный угол

180° — А ≈ arc cos (0,091) ≈ 79°; А ≈ 180° — 79° = 101°

(с округлением до 10′). Наконец,

Решение при помощи логарифмических таблиц. Вычислим углы A и В.

§ 10 (44). Решение треугольника по двум сторонам и углу,
противолежащему одной из них

Задача. Даны две стороны треугольника и угол А, лежащей против одной из них; вычислить третью сторону и два остальных угла.

Пусть даны a, b и А; требуется вычислить B, С и с

С л у ч а й 1. а > b, т. е, заданный угол А лежит против большей стороны.

Построение показано на чертеже. Из точки С (как из центра), взятой на одной из сторон угла А на расстоянии b от вершины, описана окружность радиуса а; точка В есть точка пересечения этой окружности с другой стороной угла А.
Построение всегда возможно, задача имеет единственное решение.

Острый угол В, противолежащий меньшей стороне, находится по теореме синусов:

откуда

и затем С = 180° — (A + В). Сторона с находится по теореме синусов:

С л у ч а й 2. а 90° задача не имеет решения.
Пусть угол А острый. Из построения на чертеже a) , видно, что окружность радиуса а с центром в точке С пересечёт другую сторону угла А в двух точках при условии а > CD, где D — основание перпендикуляра, опущенного из точки С на другую сторону угла A. Так как CD = b sin A (из треугольника ACD), то условие запишется так: a >b sinA. Для угла В возможны два значения: В = В1 (острый) и В = В2 (тупой). Задача имеет два решения.

Значения угла В вычисляются по теореме синусов:

откуда и B2 = 180° — B1 Значения угла С и стороны с вычисляются так же, как в предыдущем случае.

Из чертежа b) видно, что при
CD = b sin А > а окружность не пересечёт другой стороны угла А; задача не имеет решений.

В этом случае и угол В вычислить нельзя.

При CD = b sin А задача имеет единственное решение: треугольник ABC прямоугольный.

Случай 3. а = b. В этом случае треугольник ABC равнобедренный. Такой треугольник можно решить, разбразбив его высотой CD на два прямоугольных треугольника:

В = А; С = 180° — 2А; с = 2AD = 2а cos A.

Пример. Вычислить стороны и углы треугольника, если дано:

(деление на 73,5 можно заменить умножением на 1 /73,5 ≈ 0,0136, табл. 11).

Так как в данном случае а b sin A /a а + b, то треугольник с данными сторонами не существует. Будем считать, что с 2 =b 2 + с 2 — 2bc cos А
b 2 =c 2 + a 2 — 2ca cos B, откуда

и (так как 0° / р (р — а)(р — b) (р — с) , где р = (а+ b+c)/2

Имеем далее: S = 1 /2 bc sin A. откуда

Угол А острый, так как он лежит против меньшей стороны; следовательно,

Точно также и, наконец, С = 180° — (А + В)

Итак, при решении треугольника по трём сторонам при помощи логарифмических таблиц углы, лежащие против меньших сторон, находятся по формулам, а угол, лежащий против наибольшей стороны, вычисляется как разность между 180е и суммой двух найденных углов.

Пример. Решить треугольник, зная длины (приближенные) его сторон: 24,7; 22,4 и 31,3. Обозначим a ≈ 22,4; b ≈ 24,7; с ≈ 31,3.

Решение при помощи натуральных таблиц. Имеем:

откуда А ≈ 45°20′ (с округлением до 10′).

откуда В ≈ 51°30′ и, наконец, С ≈ 180° — (45°20′ + 51°30′) ≈ 83°10′.

Решение при помощи логарифмических таблиц. Имеем:

sin А = 2S /bc, lg sin А = lg 2S — lg b — lg c.

Решить косоугольные треугольники по заданным основным элементам. (Решение каждого примера следует выполнить при помощи таблиц логарифмов и логарифмической линейки.)

81 (347). Даны сторона и два угла:

1) а ≈ 370,0; В ≈ 86°30′; С ≈ 50°50′

2) а ≈ 450,0; А ≈ 87°50′; В ≈ 10°50′.

3) а ≈ 951; B ≈ 126°40′; С ≈ 13°20′.

4) b ≈ 13,02; A ≈ 11°46′; B ≈ 133°40′.

82 (348). Даны две стороны и угол между ними:

3) а ≈ 2,296; с ≈ 1,687; В ≈ 29°52′.

83 (349). Даны две стороны и угол против одной из них:

3) а ≈ 13,89; с ≈ 8,42; А ≈ 126°41′.

5) b ≈ 263,1; с ≈ 215,4; В ≈ 70°14′.

6) а ≈ 19,06; b ≈ 88,19; А ≈ 31°17′.

85 (351). Решить косоугольные треугольники по заданным моментам:

1) R ≈ 7,92; А ≈ 113°17′; В ≈ 48°16′.

2) S ≈ 501,9; А ≈ 15°28′; B ≈ 45°23′.

5) а + b ≈ 488,8; А ≈ 70°24′; В ≈ 40°16′.

Источник статьи: http://oldskola1.narod.ru/Trigonometrija/trig006.htm

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *